Inequações do Primeiro Grau: Exercícios Resolvidos e Regras Básicas. Guia prático para resolver inequações do primeiro grau passo a passo. Descobre como gerir a inversão do sentido, aplicar os princípios de equivalência e escrever correctamente as soluções na forma de intervalo.
Exercício de 26/03/2026 - 09:00 — nível ★★☆☆☆
\[ 2x + 3 > 7 \]
Resultado
\[ x > 2 \]
Resolução
Ideia de resolução
Isola-se \(x\) no primeiro membro aplicando as mesmas operações de uma equação. Como se divide por um número positivo, o sentido da desigualdade não se altera.
Isolamento da incógnita
Subtraem-se \(3\) a ambos os membros:
\[ 2x > 7-3 \implies 2x > 4 \]
Divide-se por \(2\) (positivo, o sentido mantém-se):
\[ x > 2 \]
Conjunto solução
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 2} \]
Exercício de 26/03/2026 - 09:10 — nível ★★☆☆☆
\[ 3x - 5 \leq 4 \]
Resultado
\[ x \leq 3 \]
Resolução
Isolamento da incógnita
Somam-se \(5\) a ambos os membros:
\[ 3x \leq 9 \]
Divide-se por \(3\) (positivo, sentido invariado):
\[ x \leq 3 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 3} \]
Exercício de 26/03/2026 - 09:20 — nível ★★☆☆☆
\[ -2x + 1 < 5 \]
Resultado
\[ x > -2 \]
Resolução
Atenção ao sinal
Quando se divide ou multiplica por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte-se.
Isolamento da incógnita
Subtrai-se \(1\) a ambos os membros:
\[ -2x < 4 \]
Divide-se por \(-2\) (negativo): o sentido inverte-se de \(<\) para \(>\):
\[ x > -2 \]
Conjunto solução
\[ S = (-2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > -2} \]
Exercício de 26/03/2026 - 09:30 — nível ★★☆☆☆
\[ 4x - 8 \geq 0 \]
Resultado
\[ x \geq 2 \]
Resolução
Isolamento da incógnita
Somam-se \(8\) a ambos os membros:
\[ 4x \geq 8 \]
Divide-se por \(4\) (positivo, sentido invariado):
\[ x \geq 2 \]
Conjunto solução
\[ S = [2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq 2} \]
Exercício de 26/03/2026 - 09:45 — nível ★★★☆☆
\[ 3x + 2 > x + 8 \]
Resultado
\[ x > 3 \]
Resolução
Recolha dos termos em \(x\)
Transportam-se os termos com \(x\) para o primeiro membro e as constantes para o segundo:
\[ 3x-x > 8-2 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \]
Conjunto solução
\[ S = (3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 3} \]
Exercício de 26/03/2026 - 10:00 — nível ★★★☆☆
\[ 5x - 3 \leq 2x + 9 \]
Resultado
\[ x \leq 4 \]
Resolução
Recolha dos termos
\[ 5x-2x \leq 9+3 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,4] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 4} \]
Exercício de 26/03/2026 - 10:15 — nível ★★★☆☆
\[ 2(x + 1) < 3(x - 1) \]
Resultado
\[ x > 5 \]
Resolução
Distribuição dos factores
\[ 2x+2 < 3x-3 \]
Recolha dos termos
\[ 2-3x < -3-2x \implies \text{ou: } 2+3 < 3x-2x \implies 5 < x \]
Mais precisamente: \(2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5\) (o sentido inverte-se ao dividir por \(-1\)).
Conjunto solução
\[ S = (5,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 5} \]
Exercício de 26/03/2026 - 10:30 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{3} \]
Resultado
\[ x > -6 \]
Resolução
Eliminação das frações
O mmc de \(2\) e \(3\) é \(6\). Multiplica-se tudo por \(6\) (positivo, sentido invariado):
\[ 3x + 6 > 2x \]
Recolha dos termos
\[ 3x-2x > -6 \implies x > -6 \]
Conjunto solução
\[ S = (-6,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > -6} \]
Exercício de 26/03/2026 - 10:45 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x + 3}{4} \]
Resultado
\[ x \leq 5 \]
Resolução
Eliminação das frações
O mmc de \(2\) e \(4\) é \(4\). Multiplica-se tudo por \(4\):
\[ 2(x-1) \leq x+3 \implies 2x-2 \leq x+3 \]
Recolha dos termos
\[ 2x-x \leq 3+2 \implies x \leq 5 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,5] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 5} \]
Exercício de 26/03/2026 - 11:00 — nível ★★★☆☆
\[ 3(2x - 1) \geq 2(x + 5) \]
Resultado
\[ x \geq \dfrac{13}{4} \]
Resolução
Distribuição dos factores
\[ 6x-3 \geq 2x+10 \]
Recolha dos termos
\[ 6x-2x \geq 10+3 \implies 4x \geq 13 \implies x \geq \frac{13}{4} \]
Conjunto solução
\[ S = \left[\frac{13}{4},\,+\infty\right) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq \dfrac{13}{4}} \]
Exercício de 26/03/2026 - 11:20 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < 5 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 < x < 4 \]
Resolução
Ideia de resolução
Resolve-se cada inequação separadamente e depois toma-se a interseção dos conjuntos solução.
Primeira inequação
\[ x+1>0 \implies x>-1 \]
Segunda inequação
\[ 2x-3<5 \implies 2x<8 \implies x<4 \]
Interseção
\[ x>-1 \;\text{ e }\; x<4 \implies -1<x<4 \]
Conjunto solução
\[ S = (-1,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 < x < 4} \]
Exercício de 26/03/2026 - 11:35 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 1 \\ x + 5 > 2x \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 \leq x < 5 \]
Resolução
Primeira inequação
\[ 3x-2\geq1 \implies 3x\geq3 \implies x\geq1 \]
Segunda inequação
\[ x+5>2x \implies 5>x \implies x<5 \]
Interseção
\[ x\geq1 \;\text{ e }\; x<5 \implies 1\leq x<5 \]
Conjunto solução
\[ S = [1,\,5) \]
Resultado
\[ \boxed{1 \leq x < 5} \]
Exercício de 26/03/2026 - 11:50 — nível ★★★★☆
\[ -1 < 2x + 3 < 7 \]
Resultado
\[ -2 < x < 2 \]
Resolução
Ideia de resolução
Trata-se de uma desigualdade dupla. Aplicam-se as mesmas operações aos três membros em simultâneo.
Subtração de \(3\) em todos os membros
\[ -1-3 < 2x+3-3 < 7-3 \implies -4 < 2x < 4 \]
Divisão por \(2\) em todos os membros
O divisor é positivo, os sentidos mantêm-se:
\[ -2 < x < 2 \]
Conjunto solução
\[ S = (-2,\,2) \]
Resultado
\[ \boxed{-2 < x < 2} \]
Exercício de 26/03/2026 - 12:05 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x + 2 < 14 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 < x < 4 \]
Resolução
Primeira inequação
\[ 2x-1>3 \implies 2x>4 \implies x>2 \]
Segunda inequação
\[ 3x+2<14 \implies 3x<12 \implies x<4 \]
Interseção
\[ x>2 \;\text{ e }\; x<4 \implies 2<x<4 \]
Conjunto solução
\[ S = (2,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercício de 26/03/2026 - 12:20 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - 1 \geq 0 \\[6pt] \dfrac{x + 3}{3} < 2 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 \leq x < 3 \]
Resolução
Primeira inequação
\[ \frac{x}{2}\geq1 \implies x\geq2 \]
Segunda inequação
Multiplica-se por \(3\) (positivo):
\[ x+3<6 \implies x<3 \]
Interseção
\[ x\geq2 \;\text{ e }\; x<3 \implies 2\leq x<3 \]
Conjunto solução
\[ S = [2,\,3) \]
Resultado
\[ \boxed{2 \leq x < 3} \]
Exercício de 26/03/2026 - 12:35 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases} \]
Resultado
Sem solução
Resolução
Primeira inequação
\[ x>5 \implies S_1=(5,\,+\infty) \]
Segunda inequação
\[ x<3 \implies S_2=(-\infty,\,3) \]
Interseção
\[ S_1 \cap S_2 = (5,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = \emptyset \]
Não existe nenhum número real que seja simultaneamente maior que \(5\) e menor que \(3\).
Resultado
\[ \boxed{\text{Sem solução} \quad S = \emptyset} \]
Exercício de 26/03/2026 - 12:50 — nível ★★★★★
\[ \frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} > \frac{1}{6} \]
Resultado
\[ x > \dfrac{15}{2} \]
Resolução
Eliminação das frações
O mmc de \(4\), \(3\) e \(6\) é \(12\). Multiplica-se tudo por \(12\) (positivo):
\[ 3(2x-3) - 4(x+1) > 2 \]
Distribuição
\[ 6x-9-4x-4 > 2 \implies 2x-13 > 2 \implies 2x > 15 \implies x > \frac{15}{2} \]
Verificação com \(x=8\)
\[ \frac{13}{4}-\frac{9}{3}=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}>\frac{1}{6} \]
Conjunto solução
\[ S = \left(\frac{15}{2},\,+\infty\right) \]
Resultado
\[ \boxed{x > \dfrac{15}{2}} \]
Exercício de 26/03/2026 - 13:05 — nível ★★★★★
\[ 3(x - 2) - 2(2x + 1) \geq x - 5 \]
Resultado
\[ x \leq -\dfrac{3}{2} \]
Resolução
Distribuição dos factores
\[ 3x-6-4x-2 \geq x-5 \implies -x-8 \geq x-5 \]
Recolha dos termos
\[ -x-x \geq -5+8 \implies -2x \geq 3 \]
Divide-se por \(-2\) (negativo): o sentido inverte-se de \(\geq\) para \(\leq\):
\[ x \leq -\frac{3}{2} \]
Verificação com \(x=-2\)
\[ 3(-4)-2(-3)=-12+6=-6 \] e \[ -2-5=-7 \]. Como \(-6\geq-7\)
Conjunto solução
\[ S = \left(-\infty,\,-\frac{3}{2}\right] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq -\dfrac{3}{2}} \]
Exercício de 26/03/2026 - 13:20 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x}{3} + 1 \\[8pt] 2x - 3 > x - 7 \end{cases} \]
Resultado
\[ -4 < x < 9 \]
Resolução
Primeira inequação
Multiplica-se pelo mmc \(6\):
\[ 3(x-1)<2x+6 \implies 3x-3<2x+6 \implies x<9 \]
Segunda inequação
\[ 2x-x>-7+3 \implies x>-4 \]
Interseção
\[ x>-4 \;\text{ e }\; x<9 \implies -4<x<9 \]
Conjunto solução
\[ S = (-4,\,9) \]
Resultado
\[ \boxed{-4 < x < 9} \]
Exercício de 26/03/2026 - 13:35 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - 1 \leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \\[8pt] 2x + 3 \geq \dfrac{x}{2} - 3 \end{cases} \]
Resultado
\[ x \geq -4 \]
Resolução
Primeira inequação
Multiplica-se pelo mmc \(6\):
\[ 2x-6 \leq 3x+1 \implies -x\leq7 \implies x\geq-7 \]
Segunda inequação
Multiplica-se por \(2\):
\[ 4x+6 \geq x-6 \implies 3x\geq-12 \implies x\geq-4 \]
Interseção
\[ x\geq-7 \;\text{ e }\; x\geq-4 \]
A condição mais restritiva é \(x\geq-4\).
Conjunto solução
\[ S = [-4,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq -4} \]