Uma colectânea acessível para aprender a reconhecer e a desenvolver quadrados de binómio, diferenças de quadrados e cubos. Encontrará passagens detalhadas e pequenas dicas para não confundir os sinais, ganhando confiança nos cálculos passo a passo.
Resultado
Resolução
Ideia central
A expressão é o quadrado de um binómio da forma \((a + b)^2\). Aplica-se directamente a fórmula do quadrado do binómio soma, evitando assim multiplicar o binómio por si mesmo.
Fórmula utilizada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
Comparando \((x + 3)^2\) com o modelo \((a + b)^2\): \[ a = x \qquad b = 3 \]
Aplicação da fórmula
Substituem-se \(a = x\) e \(b = 3\) na fórmula:
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \(x^2\)
Termo central: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
Último termo: \(3^2 = 9\)
Resultado
\[ \boxed{x^2 + 6x + 9} \]
Resultado
Resolução
Ideia central
Reconhece-se o quadrado de um binómio diferença \((a - b)^2\). A fórmula é análoga à da soma, mas o termo central muda de sinal.
Fórmula utilizada
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 4 \]
Aplicação da fórmula
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \(x^2\)
Termo central: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), com sinal negativo: \(-8x\)
Último termo: \(4^2 = 16\)
Resultado
\[ \boxed{x^2 - 8x + 16} \]
Resultado
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Ideia central
O produto é da forma \((a + b)(a - b)\): uma soma multiplicada pela diferença correspondente. Aplica-se a fórmula da diferença de quadrados, que produz um resultado composto por apenas dois termos.
Fórmula utilizada
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 5 \]
Aplicação da fórmula
\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]
Cálculo
\[ x^2 - 25 \]
Resultado
\[ \boxed{x^2 - 25} \]
Resultado
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Ideia central
A estrutura é ainda \((a + b)^2\), mas agora \(a = 2x\) contém um coeficiente. É preciso ter atenção ao cálculo de \(a^2 = (2x)^2\), que não é \(2x^2\), mas sim \(4x^2\).
Fórmula utilizada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 1 \]
Aplicação da fórmula
\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \((2x)^2 = 4x^2\)
Termo central: \(2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x\)
Último termo: \(1^2 = 1\)
Resultado
\[ \boxed{4x^2 + 4x + 1} \]
Resultado
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Ideia central
Trata-se do quadrado de um binómio diferença com coeficiente à frente de \(x\). Aplica-se \((a - b)^2\) com \(a = 3x\).
Fórmula utilizada
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = 3x \qquad b = 5 \]
Aplicação da fórmula
\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \((3x)^2 = 9x^2\)
Termo central: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\), com sinal negativo: \(-30x\)
Último termo: \(5^2 = 25\)
Resultado
\[ \boxed{9x^2 - 30x + 25} \]
Resultado
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Ideia central
Trata-se de uma diferença de quadrados com coeficiente. A fórmula aplica-se directamente, desde que se identifique correctamente \(a = 4x\).
Fórmula utilizada
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = 4x \qquad b = 3 \]
Aplicação da fórmula
\[ (4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 \]
Cálculo
\[ (4x)^2 = 16x^2 \qquad 3^2 = 9 \]
Resultado
\[ \boxed{16x^2 - 9} \]
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Ideia central
A expressão é o cubo de um binómio soma \((a + b)^3\). A fórmula produz quatro termos com coeficientes binomiais \(1, 3, 3, 1\).
Fórmula utilizada
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Aplicação da fórmula
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \(x^3\)
Segundo termo: \(3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2\)
Terceiro termo: \(3 \cdot x \cdot 4 = 12x\)
Quarto termo: \(2^3 = 8\)
Resultado
\[ \boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} \]
Resultado
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Ideia central
Aplica-se a fórmula do cubo do binómio diferença \((a - b)^3\). Os sinais alternam-se: \(+, -, +, -\).
Fórmula utilizada
\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Aplicação da fórmula
\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 \]
Cálculo de cada termo
Qualquer potência de \(1\) é igual a \(1\), pelo que os coeficientes numéricos não se alteram:
Primeiro termo: \(x^3\)
Segundo termo: \(-3x^2\)
Terceiro termo: \(+3x\)
Quarto termo: \(-1\)
Resultado
\[ \boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} \]
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Ideia central
Aplica-se \((a + b)^3\) com \(a = 2x\). A atenção deve recair sobre o cálculo de \((2x)^3\) e \((2x)^2\), que envolvem o cubo e o quadrado do coeficiente \(2\).
Fórmula utilizada
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 3 \]
Aplicação da fórmula
\[ (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \((2x)^3 = 8x^3\)
Segundo termo: \(3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2\)
Terceiro termo: \(3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x\)
Quarto termo: \(3^3 = 27\)
Resultado
\[ \boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27} \]
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Ideia central
Aplica-se \((a + b)^2\) em que um dos termos já é uma potência: \(a = x^2\). Importa recordar que \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Fórmula utilizada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x^2 \qquad b = y \]
Aplicação da fórmula
\[ (x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 \]
Cálculo de cada termo
Primeiro termo: \((x^2)^2 = x^4\) (multiplicam-se os expoentes)
Termo central: \(2x^2 y\)
Último termo: \(y^2\)
Resultado
\[ \boxed{x^4 + 2x^2 y + y^2} \]
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Ideia central
Reconhece-se a fórmula da soma de cubos: o segundo factor \(x^2 - x + 1\) é exactamente o trinómio complementar associado a \((x + 1)\) nessa fórmula. Identificar este padrão evita um longo desenvolvimento algébrico.
Fórmula utilizada
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Verificação do segundo factor
O segundo factor deve corresponder a \(a^2 - ab + b^2\):
\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1 \checkmark \]
Aplicação da fórmula
\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]
Resultado
\[ \boxed{x^3 + 1} \]
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Ideia central
Reconhece-se a fórmula da diferença de cubos: o segundo factor \(x^2 + 2x + 4\) é o trinómio complementar associado a \((x - 2)\).
Fórmula utilizada
\[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]
Identificação de \(a\) e \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Verificação do segundo factor
\[ a^2 + ab + b^2 = x^2 + 2x + 4 \checkmark \]
Aplicação da fórmula
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 \]
Resultado
\[ \boxed{x^3 - 8} \]
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Ideia central
Desenvolvem-se separadamente os dois quadrados de binómio e, de seguida, somam-se os polinómios obtidos, reunindo os termos semelhantes.
Desenvolvimento de \((x+1)^2\)
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Desenvolvimento de \((x-1)^2\)
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Soma dos dois desenvolvimentos
\[ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) \]
Reunião dos termos semelhantes
Os termos em \(x\) cancelam-se: \(+2x - 2x = 0\).
\[ x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2 \]
Resultado
\[ \boxed{2x^2 + 2} \]
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Ideia central
Desenvolvem-se ambos os quadrados de binómio e efectua-se a subtracção. Em alternativa, pode aplicar-se a diferença de quadrados: tomando \(A = (x+3)\) e \(B = (x-3)\), obtém-se \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\).
Método directo — desenvolvimento
\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Subtracção
\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) \]
Distribuindo o sinal negativo:
\[ x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 \]
Reunião dos termos semelhantes
\(x^2\) e \(9\) cancelam-se aos pares:
\[ 6x + 6x = 12x \]
Resultado
\[ \boxed{12x} \]
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Ideia central
Pode desenvolver-se os dois quadrados e subtrair, ou — de forma mais elegante — aplicar a diferença de quadrados fazendo \(A = x+y\) e \(B = x-y\), obtendo \((A+B)(A-B)\).
Método por diferença de quadrados
Sejam \(A = x+y\) e \(B = x-y\). Então:
\[ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) \]
\[ A + B = (x+y) + (x-y) = 2x \]
\[ A - B = (x+y) - (x-y) = 2y \]
Produto
\[ (2x)(2y) = 4xy \]
Resultado
\[ \boxed{4xy} \]
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Ideia central
Trata-se a quantidade \((x+y)\) como uma única entidade e aplica-se \((a + b)^2\) com \(a = x+y\) e \(b = 2\). Só num segundo momento se expande \((x+y)^2\).
Passo 1: aplicação da fórmula com \(a = x+y,\ b = 2\)
\[ \left[(x+y)+2\right]^2 = (x+y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot 2 + 2^2 \]
Passo 2: desenvolvimento de \((x+y)^2\)
\[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Passo 3: desenvolvimento do termo central
\[ 2 \cdot (x+y) \cdot 2 = 4(x+y) = 4x + 4y \]
Reagrupamento final
\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]
Resultado
\[ \boxed{x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4} \]
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Ideia central
Em vez de desenvolver separadamente os dois quadrados e multiplicar, é mais vantajoso agrupar os factores aproveitando as propriedades das potências: \((x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2\).
Passo 1: agrupamento estratégico
\[ (x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2 \]
Passo 2: diferença de quadrados no interior
\[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \]
Passo 3: quadrado do resultado
\[ (x^2 - 1)^2 \]
Aplica-se \((a - b)^2\) com \(a = x^2,\ b = 1\):
\[ = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \]
Resultado
\[ \boxed{x^4 - 2x^2 + 1} \]
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Ideia central
Desenvolvem-se os dois cubos separadamente e efectua-se a subtracção reunindo os termos semelhantes. É necessário distribuir correctamente o sinal negativo à frente do segundo cubo.
Desenvolvimento de \((x+1)^3\)
\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
Desenvolvimento de \((x-1)^3\)
\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Subtracção (distribuição do sinal negativo)
\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \]
\[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \]
Reunião dos termos semelhantes
\(x^3 - x^3 = 0\) \(3x - 3x = 0\) \(3x^2 + 3x^2 = 6x^2\) \(1 + 1 = 2\)
\[ = 6x^2 + 2 \]
Resultado
\[ \boxed{6x^2 + 2} \]
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Ideia central
O quadrado do trinómio não é um produto notável elementar, mas pode reduzir-se a um desses produtos agrupando dois dos três termos: trata-se \((a+b)\) como uma única entidade e escreve-se \((a+b+c)^2 = \left[(a+b)+c\right]^2\).
Passo 1: agrupamento
Seja \(P = a + b\). Então:
\[ (a+b+c)^2 = (P + c)^2 = P^2 + 2Pc + c^2 \]
Passo 2: desenvolvimento de \(P^2 = (a+b)^2\)
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Passo 3: desenvolvimento de \(2Pc\)
\[ 2(a+b)c = 2ac + 2bc \]
Passo 4: reagrupamento final
\[ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \]
Reordenando por convenção:
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Regra mnemónica
O quadrado de um trinómio é igual à soma dos quadrados dos três termos mais o dobro de todos os produtos tomados dois a dois.
Resultado
\[ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} \]
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Ideia central
A expressão envolve três blocos distintos. Simplifica-se cada bloco recorrendo aos produtos notáveis e, em seguida, combinam-se os resultados. A observação crucial é que o primeiro bloco se reduz exactamente ao segundo, o que permite uma cancelação imediata.
Simplificação do primeiro bloco
Usa-se a propriedade das potências: \(A^2 \cdot B^2 = (AB)^2\).
\[ (x+y)^2(x-y)^2 = \left[(x+y)(x-y)\right]^2 \]
Aplica-se a diferença de quadrados ao produto interior:
\[ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \]
Assim, o primeiro bloco torna-se:
\[ (x^2 - y^2)^2 \]
Substituição na expressão
\[ (x^2 - y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]
Cancelação
Os dois primeiros termos são idênticos e cancelam-se:
\[ 0 + (x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 \]
Desenvolvimento do termo restante
Aplica-se \((a+b)^2\) com \(a = x^2,\ b = y^2\):
\[ (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]
Resultado
\[ \boxed{x^4 + 2x^2y^2 + y^4} \]