Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre a composição de funções, com dificuldade crescente e explicações passo a passo. Os exercícios abordam o cálculo de \(f\circ g\) e \(g\circ f\), o domínio da função composta, a ordem de composição, a função identidade, a associatividade e a relação entre a composição e a função inversa.
A ideia fundamental a ter presente é que, na composição \(f\circ g\), aplica-se primeiro \(g\) e depois \(f\). Para cada valor de \(x\) em que a composição está definida, tem-se
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=x^2-3. \]
Calcular \(f\circ g\).
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Resolução
Para calcular \(f\circ g\), aplicamos primeiro \(g\) e depois \(f\). Por definição:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que
\[ g(x)=x^2-3, \]
devemos substituir a variável na expressão de \(f\) por \(x^2-3\). Como \(f(x)=2x+1\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1. \]
Simplificando:
\[ 2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5. \]
Portanto
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+4. \]
Calcular \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Resultado
As duas composições são
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Resolução
Calculemos primeiro \(f\circ g\). Por definição:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=x+4\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x+4). \]
Como \(f(x)=x^2\), substituindo \(x\) por \(x+4\) vem
\[ f(x+4)=(x+4)^2. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2. \]
Calculemos agora \(g\circ f\). Neste caso, aplica-se primeiro \(f\) e depois \(g\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Visto que \(f(x)=x^2\), obtemos
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Como \(g(x)=x+4\), vem
\[ g(x^2)=x^2+4. \]
Por conseguinte
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
As duas composições não coincidem: isto mostra que, em geral, a ordem da composição é relevante.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=5x+1. \]
Calcular \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Resultado
As duas composições são
\[ (f\circ g)(x)=15x+1 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Resolução
Calculemos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=5x+1\), obtemos
\[ f(g(x))=f(5x+1). \]
Como \(f(x)=3x-2\), substituindo \(x\) por \(5x+1\) vem
\[ f(5x+1)=3(5x+1)-2. \]
Portanto
\[ (f\circ g)(x)=15x+3-2=15x+1. \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Visto que \(f(x)=3x-2\), obtemos
\[ g(f(x))=g(3x-2). \]
Como \(g(x)=5x+1\), vem
\[ g(3x-2)=5(3x-2)+1. \]
Simplificando:
\[ 5(3x-2)+1=15x-10+1=15x-9. \]
Assim
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=2x-3. \]
Calcular \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Resultado
As duas composições são
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=2x^2-1. \]
Resolução
Calculemos primeiro \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-3). \]
Visto que \(f(x)=x^2+1\), obtemos
\[ f(2x-3)=(2x-3)^2+1. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (2x-3)^2+1=4x^2-12x+9+1=4x^2-12x+10. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10. \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1). \]
Visto que \(g(x)=2x-3\), substituindo \(x\) por \(x^2+1\) obtém-se
\[ g(x^2+1)=2(x^2+1)-3. \]
Portanto
\[ (g\circ f)(x)=2x^2+2-3=2x^2-1. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio real.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4} \]
e o seu domínio real é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Resolução
Por definição:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=x-4\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x-4). \]
Como \(f(x)=\sqrt{x}\), vem
\[ f(x-4)=\sqrt{x-4}. \]
Portanto
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}. \]
Para determinar o domínio real, impomos que o radicando seja não negativo:
\[ x-4\ge 0. \]
Resolvendo:
\[ x\ge 4. \]
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=x^2-9. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9} \]
e o seu domínio é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Resolução
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=x^2-9\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x^2-9). \]
Como \(f(x)=1/x\), vem
\[ f(x^2-9)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Para determinar o domínio, impomos que o denominador seja diferente de zero:
\[ x^2-9\ne 0. \]
Resolvemos:
\[ x^2-9=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=9. \]
Portanto
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Estes dois valores têm de ser excluídos do domínio.
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=\sqrt{x+1},\qquad g(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio real.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1} \]
e o seu domínio real é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Resolução
Calculemos a composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=1/x\), obtemos
\[ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right). \]
Como \(f(x)=\sqrt{x+1}\), substituindo \(x\) por \(1/x\) vem
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1}. \]
Para o domínio, impomos duas condições. Em primeiro lugar, a função interior \(g(x)=1/x\) tem de estar definida:
\[ x\ne 0. \]
Além disso, o argumento da raiz quadrada tem de ser não negativo:
\[ \frac{1}{x}+1\ge 0. \]
Reduzimos ao mesmo denominador:
\[ \frac{1+x}{x}\ge 0. \]
Os pontos críticos são
\[ x=-1,\qquad x=0. \]
Estudando o sinal da fração, obtemos
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x>0. \]
O valor \(x=0\) fica excluído porque anula o denominador.
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x}. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio real.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \]
e o seu domínio real é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Resolução
Calculemos:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x}). \]
Visto que \(f(x)=1/(x-1)\), obtemos
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}. \]
Para o domínio, impomos em primeiro lugar que a função interior \(g(x)=\sqrt{x}\) esteja definida:
\[ x\ge 0. \]
Além disso, o denominador da função composta tem de ser diferente de zero:
\[ \sqrt{x}-1\ne 0. \]
Resolvendo:
\[ \sqrt{x}\ne 1. \]
Visto que \(\sqrt{x}=1\) se e só se \(x=1\), temos de excluir \(x=1\).
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ f(x)=\sqrt{2-x},\qquad g(x)=x^2. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio real.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2} \]
e o seu domínio real é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Resolução
Por definição:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=x^2\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x^2). \]
Como \(f(x)=\sqrt{2-x}\), vem
\[ f(x^2)=\sqrt{2-x^2}. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2}. \]
Para o domínio real, impomos que o radicando seja não negativo:
\[ 2-x^2\ge 0. \]
Esta inequação equivale a
\[ x^2\le 2. \]
Portanto
\[ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}. \]
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad g(x)=x+2. \]
Determinar \(f\circ g\) e o seu domínio.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{para } x\ne -1. \]
O seu domínio é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Resolução
Calculemos a função composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2). \]
Substituímos \(x+2\) na expressão de \(f\):
\[ f(x+2)=\frac{(x+2)^2-1}{(x+2)-1}. \]
Simplificamos o numerador e o denominador:
\[ f(x+2)=\frac{x^2+4x+4-1}{x+1} =\frac{x^2+4x+3}{x+1}. \]
Fatorizamos o numerador:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Então, para \(x\ne -1\),
\[ \frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3. \]
Assim, a expressão simplificada da composta é
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{para } x\ne -1. \]
No entanto, o valor \(x=-1\) tem de ser excluído, pois na expressão não simplificada figura o denominador \(x+1\). De modo equivalente, a função \(f\) não está definida quando o seu argumento vale \(1\). Como o argumento é \(x+2\), impomos
\[ x+2\ne 1. \]
Portanto
\[ x\ne -1. \]
Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
A simplificação algébrica não elimina a restrição sobre o domínio.
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Sejam
\[ f(x)=|x|,\qquad g(x)=x-2. \]
Calcular \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Resultado
As duas composições são
\[ (f\circ g)(x)=|x-2| \]
e
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Resolução
Calculemos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Visto que \(f(x)=|x|\), substituindo \(x\) por \(x-2\) obtemos
\[ f(x-2)=|x-2|. \]
Portanto
\[ (f\circ g)(x)=|x-2|. \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(|x|). \]
Visto que \(g(x)=x-2\), obtemos
\[ g(|x|)=|x|-2. \]
Assim
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
As duas funções são distintas. Por exemplo, para \(x=-1\),
\[ (f\circ g)(-1)=|-1-2|=3, \]
ao passo que
\[ (g\circ f)(-1)=|-1|-2=1-2=-1. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^2-1. \]
Determinar \(f\circ g\), \(g\circ f\) e os respetivos domínios reais.
Resultado
Tem-se
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty), \]
ao passo que
\[ (g\circ f)(x)=x-1 \qquad \text{para } x\ge 0, \]
isto é,
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Resolução
Calculemos primeiro \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Para o domínio real, impomos
\[ x^2-1\ge 0. \]
Visto que
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
a inequação verifica-se para
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x\ge 1. \]
Portanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x}). \]
Como \(g(x)=x^2-1\), obtemos
\[ g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Contudo, o domínio não é todo o \(\mathbb R\), porque a função interior \(f(x)=\sqrt{x}\) só está definida para
\[ x\ge 0. \]
Assim
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Este exercício mostra que \(f\circ g\) e \(g\circ f\) podem ter expressões distintas e domínios distintos.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-2x+1. \]
Calcular \(f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}\) e \(\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f\).
Resultado
Tem-se
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f \]
e
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Resolução
A função identidade em \(\mathbb R\) é definida por
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x. \]
Calculemos a primeira composição:
\[ (f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R})(x)=f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)). \]
Visto que \(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x\), obtemos
\[ f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x))=f(x). \]
Portanto
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f. \]
Calculemos agora a segunda composição:
\[ (\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f)(x)=\operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x)). \]
A função identidade devolve o seu próprio argumento, pelo que
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x))=f(x). \]
Assim
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
A função identidade é, portanto, o elemento neutro em relação à composição.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,\qquad h(x)=2x. \]
Verificar que
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). \]
Resultado
As duas composições coincidem e são ambas dadas por
\[ (2x+1)^2. \]
Resolução
Calculemos primeiro \((f\circ g)\circ h\). Determinemos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1). \]
Visto que \(f(x)=x^2\), obtemos
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2. \]
Agora compomos com \(h\):
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x)). \]
Visto que \(h(x)=2x\), vem
\[ (f\circ g)(h(x))=(f\circ g)(2x)=(2x+1)^2. \]
Portanto
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(2x+1)^2. \]
Calculemos agora \(f\circ(g\circ h)\). Determinemos \(g\circ h\):
\[ (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2x)=2x+1. \]
Agora compomos com \(f\):
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(2x+1). \]
Visto que \(f(x)=x^2\), obtemos
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=(2x+1)^2. \]
As duas funções coincidem. Isto confirma, neste caso concreto, a associatividade da composição.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=4x-7, \]
e
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=\frac{x+7}{4}. \]
Verificar, por composição, que \(g=f^{-1}\).
Resultado
A função \(g\) é a inversa de \(f\), pois
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \]
e
\[ f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Resolução
Para verificar que \(g=f^{-1}\), temos de confirmar ambas as composições.
Calculemos primeiro \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Visto que \(f(x)=4x-7\), obtemos
\[ g(f(x))=g(4x-7). \]
Substituindo na expressão de \(g\):
\[ g(4x-7)=\frac{(4x-7)+7}{4}=\frac{4x}{4}=x. \]
Portanto
\[ (g\circ f)(x)=x. \]
Calculemos agora \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=\frac{x+7}{4}\), obtemos
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x+7}{4}\right). \]
Substituindo na expressão de \(f\):
\[ f\left(\frac{x+7}{4}\right)=4\cdot\frac{x+7}{4}-7=x+7-7=x. \]
Portanto
\[ (f\circ g)(x)=x. \]
Demonstrámos que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{e}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Assim, \(g=f^{-1}\).
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Sejam
\[ g(x)=x+2,\qquad f(x)=3x. \]
Calcular \(f\circ g\) e determinar a inversa da função composta.
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)=3x+6 \]
e a sua inversa é
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Resolução
Calculemos a composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=x+2\), obtemos
\[ f(g(x))=f(x+2). \]
Como \(f(x)=3x\), vem
\[ f(x+2)=3(x+2)=3x+6. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)=3x+6. \]
Designemos a função composta por
\[ h(x)=3x+6. \]
Para determinar a inversa, fazemos
\[ y=3x+6. \]
Resolvemos em ordem a \(x\). Subtraindo \(6\) a ambos os membros:
\[ y-6=3x. \]
Dividindo por \(3\):
\[ x=\frac{y-6}{3}. \]
Portanto
\[ h^{-1}(y)=\frac{y-6}{3}. \]
Renomeando a variável independente:
\[ h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Visto que \(h=f\circ g\), obtemos
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Seja
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{se } x\ge 0,\\ x^2 & \text{se } x<0, \end{cases} \qquad g(x)=x-2. \]
Determinar \(f\circ g\).
Resultado
A função composta é
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{se } x<2,\\ x-1 & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Resolução
Temos de calcular
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
A função \(f\) está definida por ramos. O ramo a usar depende do sinal do argumento de \(f\). Neste caso, o argumento não é \(x\), mas sim \(x-2\).
Temos, pois, de distinguir dois casos.
Se
\[ x-2\ge 0, \]
então
\[ x\ge 2. \]
Neste caso, usamos o primeiro ramo de \(f\), isto é, \(f(t)=t+1\). Portanto
\[ f(x-2)=(x-2)+1=x-1. \]
Se, pelo contrário,
\[ x-2<0, \]
então
\[ x<2. \]
Neste caso, usamos o segundo ramo de \(f\), isto é, \(f(t)=t^2\). Portanto
\[ f(x-2)=(x-2)^2. \]
Assim
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{se } x<2,\\ x-1 & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Sejam
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Demonstrar que, se \(g\) e \(f\) são injetivas, então \(f\circ g:A\to C\) é injetiva.
Resultado
Se \(g\) e \(f\) são injetivas, então \(f\circ g\) também é injetiva.
Resolução
Para demonstrar que \(f\circ g\) é injetiva, tomemos dois elementos arbitrários \(x_1,x_2\in A\) e suponhamos que têm a mesma imagem por \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Pela definição de composição, esta igualdade torna-se
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Visto que \(f\) é injetiva, da igualdade das imagens decorre a igualdade dos argumentos:
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Visto que \(g\) também é injetiva, de \(g(x_1)=g(x_2)\) decorre
\[ x_1=x_2. \]
Demonstrámos que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Logo, \(f\circ g\) é injetiva.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Sejam
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Demonstrar que, se \(g\) e \(f\) são sobrejetivas, então \(f\circ g:A\to C\) é sobrejetiva.
Resultado
Se \(g\) e \(f\) são sobrejetivas, então \(f\circ g\) também é sobrejetiva.
Resolução
Para demonstrar que \(f\circ g\) é sobrejetiva, temos de mostrar que todo o elemento de \(C\) é imagem de pelo menos um elemento de \(A\) por \(f\circ g\).
Seja, pois, \(z\in C\).
Visto que \(f:B\to C\) é sobrejetiva, existe pelo menos um elemento \(y\in B\) tal que
\[ f(y)=z. \]
Visto que \(g:A\to B\) é sobrejetiva, existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que
\[ g(x)=y. \]
Então
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Visto que \(g(x)=y\), obtemos
\[ (f\circ g)(x)=f(y). \]
Mas \(f(y)=z\), pelo que
\[ (f\circ g)(x)=z. \]
Encontrámos um elemento \(x\in A\) tal que \((f\circ g)(x)=z\).
Como \(z\in C\) era arbitrário, todo o elemento de \(C\) é imagem de pelo menos um elemento de \(A\). Logo, \(f\circ g\) é sobrejetiva.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Sejam
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x+2}. \]
Determinar \(f\circ g\), \(g\circ f\) e os respetivos domínios reais.
Resultado
Tem-se
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}, \qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Além disso
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}, \qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Resolução
Calculemos primeiro \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+2}). \]
Visto que \(f(x)=1/(x-1)\), obtemos
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}. \]
Para determinar o domínio, impomos em primeiro lugar que a função interior \(g(x)=\sqrt{x+2}\) esteja definida:
\[ x+2\ge 0. \]
Portanto
\[ x\ge -2. \]
Além disso, o denominador da composta tem de ser diferente de zero:
\[ \sqrt{x+2}-1\ne 0. \]
Esta condição equivale a
\[ \sqrt{x+2}\ne 1. \]
Visto que \(\sqrt{x+2}=1\) se e só se \(x+2=1\), obtemos \(x=-1\). Assim
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x-1}\right). \]
Visto que \(g(x)=\sqrt{x+2}\), substituindo \(x\) por \(1/(x-1)\) vem
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}. \]
Para o domínio, impomos antes de mais que \(f(x)=1/(x-1)\) esteja definida:
\[ x-1\ne 0. \]
Portanto
\[ x\ne 1. \]
Além disso, o argumento da raiz tem de ser não negativo:
\[ \frac{1}{x-1}+2\ge 0. \]
Reduzimos ao mesmo denominador:
\[ \frac{1+2(x-1)}{x-1}\ge 0. \]
Simplificando o numerador:
\[ \frac{2x-1}{x-1}\ge 0. \]
Os pontos críticos são
\[ x=\frac{1}{2},\qquad x=1. \]
Estudando o sinal da fração, obtemos
\[ x\le \frac{1}{2} \qquad \text{ou} \qquad x>1. \]
O valor \(x=1\) permanece excluído, porque anula o denominador.
Assim
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Este exercício reúne os dois aspetos fundamentais da composição: a ordem de aplicação e o controlo do domínio.