Os exercícios propostos nesta secção dizem respeito aos conjuntos abertos e aos conjuntos fechados da recta real. Neles poremos em prática as definições fundamentais e as principais propriedades estudadas na teoria.
Os exercícios estão ordenados por dificuldade crescente. Nos primeiros aplicaremos directamente as definições; em seguida analisaremos conjuntos mais elaborados, sucessões de pontos, famílias infinitas de conjuntos e conjuntos definidos por meio de equações ou inequações.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(2,5) \]
é aberto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=(2,5)\) é aberto em \(\mathbb R\).
Resolução
Para demonstrar que \(A\) é aberto, temos de verificar que todo o ponto de \(A\) possui uma vizinhança completamente contida em \(A\).
Seja \(x_0\in(2,5)\). Então
\[ 2<x_0<5. \]
As quantidades
\[ x_0-2 \qquad\text{e}\qquad 5-x_0 \]
são ambas positivas. Podemos, portanto, escolher
\[ r=\frac12\min\{x_0-2,\;5-x_0\}. \]
Com esta escolha tem-se \(r>0\) e a vizinhança \((x_0-r,x_0+r)\) permanece inteiramente compreendida entre \(2\) e \(5\). Com efeito, o raio escolhido é menor do que a distância de \(x_0\) a cada um dos dois extremos.
Assim,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(2,5). \]
Como \(x_0\) era arbitrário, todo o ponto de \(A\) possui uma vizinhança contida em \(A\). Por conseguinte, \(A\) é aberto.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[2,5] \]
é aberto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=[2,5]\) não é aberto em \(\mathbb R\).
Resolução
Para que \(A\) fosse aberto, todo o seu ponto teria de possuir uma vizinhança completamente contida em \(A\). Consideremos o ponto \(2\), que pertence a \(A\).
Se \(r>0\), a vizinhança de centro \(2\) e raio \(r\) é
\[ (2-r,2+r). \]
Tal vizinhança contém pontos menores do que \(2\). Por exemplo,
\[ 2-\frac r2\in(2-r,2+r), \]
mas
\[ 2-\frac r2\notin[2,5]. \]
Logo, nenhuma vizinhança de \(2\) está contida em \([2,5]\). Em consequência, \(A\) não é aberto.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[-1,3] \]
é fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=[-1,3]\) é fechado em \(\mathbb R\).
Resolução
Um conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) é fechado se e só se o seu complementar \(\mathbb R\setminus A\) for aberto.
Calculemos o complementar:
\[ \mathbb R\setminus[-1,3]=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
As semi-rectas \((-\infty,-1)\) e \((3,+\infty)\) são abertas em \(\mathbb R\). Além disso, a reunião de conjuntos abertos é aberta. Logo,
\[ \mathbb R\setminus[-1,3] \]
é aberto.
Visto que o complementar de \(A\) é aberto, \(A\) é fechado.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(0,1] \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A=(0,1]\) não é aberto nem fechado.
Resolução
O conjunto \(A\) não é aberto. Com efeito, \(1\in A\), mas nenhuma vizinhança de \(1\) está contida em \(A\).
Para todo o \(r>0\), a vizinhança
\[ (1-r,1+r) \]
contém pontos maiores do que \(1\), que não pertencem a \((0,1]\). Logo, \(A\) não é aberto.
Estudemos agora se \(A\) é fechado. O complementar é
\[ \mathbb R\setminus(0,1]=(-\infty,0]\cup(1,+\infty). \]
Este complementar não é aberto, porque o ponto \(0\) lhe pertence, mas toda a vizinhança de \(0\) contém pontos positivos pertencentes a \((0,1]\).
Assim, o complementar de \(A\) não é aberto e, em consequência, \(A\) não é fechado.
Por conseguinte, \(A=(0,1]\) não é aberto nem fechado.
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Demonstrar que o conjunto
\[ A=(-\infty,4) \]
é aberto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=(-\infty,4)\) é aberto em \(\mathbb R\).
Resolução
Seja \(x_0\in(-\infty,4)\). Então
\[ x_0<4. \]
A quantidade \(4-x_0\) é positiva. Escolhamos
\[ r=\frac{4-x_0}{2}. \]
Então \(r>0\). Além disso,
\[ x_0+r=x_0+\frac{4-x_0}{2}=\frac{x_0+4}{2}<4. \]
Logo, todos os pontos da vizinhança \((x_0-r,x_0+r)\) são menores do que \(4\). Em consequência,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(-\infty,4). \]
Como \(x_0\) era arbitrário, todo o ponto de \(A\) possui uma vizinhança contida em \(A\). Assim, \(A\) é aberto.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[3,+\infty) \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A=[3,+\infty)\) é fechado mas não aberto.
Resolução
Calculemos o complementar de \(A\):
\[ \mathbb R\setminus[3,+\infty)=(-\infty,3). \]
A semi-recta \((-\infty,3)\) é aberta. Em consequência, o complementar de \(A\) é aberto e, portanto, \(A\) é fechado.
Verifiquemos agora que \(A\) não é aberto. O ponto \(3\) pertence a \(A\), mas toda a vizinhança de \(3\) contém pontos menores do que \(3\).
Com efeito, para todo o \(r>0\),
\[ 3-\frac r2\in(3-r,3+r), \]
ao passo que
\[ 3-\frac r2\notin[3,+\infty). \]
Nenhuma vizinhança de \(3\) está, pois, contida em \(A\). Por conseguinte, \(A\) não é aberto.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\{1,2,5\} \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A=\{1,2,5\}\) é fechado mas não aberto.
Resolução
Calculemos o complementar:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,5)\cup(5,+\infty). \]
Todos os intervalos que figuram na reunião são abertos. Como a reunião de conjuntos abertos é aberta, também \(\mathbb R\setminus A\) é aberto.
Em consequência, \(A\) é fechado.
O conjunto não é aberto. Consideremos o ponto \(1\in A\). Qualquer vizinhança de \(1\) contém uma infinidade de números reais distintos de \(1\), \(2\) e \(5\).
Por exemplo, se \(0<r<1\),
\[ 1+\frac r2\in(1-r,1+r), \]
mas
\[ 1+\frac r2\notin A. \]
Logo, nenhuma vizinhança de \(1\) está contida em \(A\). Assim, \(A\) não é aberto.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar se os conjuntos
\[ \varnothing \qquad\text{e}\qquad \mathbb R \]
são abertos, fechados, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
Os conjuntos \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) são simultaneamente abertos e fechados.
Resolução
O conjunto \(\mathbb R\) é aberto porque, fixado um ponto qualquer \(x_0\in\mathbb R\), toda a vizinhança
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
com \(r>0\) está contida em \(\mathbb R\).
O conjunto vazio \(\varnothing\) é também aberto. Com efeito, a definição de conjunto aberto exige uma propriedade para todos os pontos do conjunto; como \(\varnothing\) não contém ponto algum, tal condição verifica-se de forma trivial.
Além disso,
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R=\varnothing. \]
Como \(\varnothing\) é aberto, \(\mathbb R\) é fechado.
Analogamente,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R, \]
e, como \(\mathbb R\) é aberto, \(\varnothing\) é fechado.
Por conseguinte, \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) são simultaneamente abertos e fechados.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(-2,1)\cup(3,6) \]
é aberto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=(-2,1)\cup(3,6)\) é aberto.
Resolução
Os intervalos
\[ (-2,1) \qquad\text{e}\qquad (3,6) \]
são ambos abertos.
Como a reunião de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto, segue-se de imediato que
\[ (-2,1)\cup(3,6) \]
é aberto.
Podemos igualmente verificá-lo de forma directa. Se \(x_0\in A\), então \(x_0\) pertence a um dos dois intervalos.
Sendo esse intervalo aberto, existe uma vizinhança de \(x_0\) completamente contida nele e, portanto, contida em \(A\).
Assim, todo o ponto de \(A\) possui uma vizinhança contida em \(A\), pelo que \(A\) é aberto.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(-1,4)\cap(2,7) \]
é aberto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto é aberto e coincide com o intervalo
\[ (2,4). \]
Resolução
Um número real pertence à intersecção se e só se pertencer simultaneamente aos dois intervalos.
Deve, pois, satisfazer as condições
\[ -1<x<4 \]
e
\[ 2<x<7. \]
Conjugando as duas condições, obtemos
\[ 2<x<4. \]
Por conseguinte,
\[ (-1,4)\cap(2,7)=(2,4). \]
O intervalo \((2,4)\) é aberto. Logo, o conjunto dado é aberto.
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4) \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A=\mathbb R\setminus(1,4)\) é fechado mas não aberto.
Resolução
Escrevamos o conjunto de forma explícita:
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4)=(-\infty,1]\cup[4,+\infty). \]
Como \(A\) é o complementar do conjunto aberto \((1,4)\), segue-se que \(A\) é fechado.
O conjunto não é aberto. Com efeito, \(1\in A\), mas toda a vizinhança de \(1\) contém pontos maiores do que \(1\) e menores do que \(4\), isto é, pontos que não pertencem a \(A\).
Logo, nenhuma vizinhança de \(1\) está contida em \(A\). Por conseguinte, \(A\) não é aberto.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(0,2)\setminus\{1\} \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A=(0,2)\setminus\{1\}\) é aberto mas não fechado.
Resolução
Escrevamos o conjunto como reunião de intervalos:
\[ A=(0,1)\cup(1,2). \]
Os intervalos \((0,1)\) e \((1,2)\) são abertos. Como a reunião de conjuntos abertos é aberta, \(A\) é aberto.
Mostremos agora que \(A\) não é fechado. O ponto \(1\) é um ponto de acumulação de \(A\), porque toda a vizinhança reduzida de \(1\) contém pontos de \(A\).
Contudo,
\[ 1\notin A. \]
Assim, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é fechado.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ \mathbb Q \]
é aberto ou fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(\mathbb Q\) não é aberto nem fechado em \(\mathbb R\).
Resolução
O conjunto \(\mathbb Q\) não é aberto. Com efeito, toda a vizinhança de um número racional contém números irracionais.
Logo, se \(q\in\mathbb Q\), não existe qualquer \(r>0\) tal que
\[ (q-r,q+r)\subseteq\mathbb Q. \]
Por conseguinte, \(\mathbb Q\) não é aberto.
O conjunto \(\mathbb Q\) não é fechado. Com efeito, todo o número real é ponto de acumulação de \(\mathbb Q\), porque toda a vizinhança de qualquer número real contém números racionais.
Em particular, \(\sqrt2\) é um ponto de acumulação de \(\mathbb Q\), mas
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Logo, \(\mathbb Q\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Assim, \(\mathbb Q\) não é fechado.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q \]
é aberto ou fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) não é aberto nem fechado em \(\mathbb R\).
Resolução
O conjunto dos irracionais não é aberto. Com efeito, toda a vizinhança de um número irracional contém números racionais.
Logo, nenhuma vizinhança de um ponto irracional está completamente contida em \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). Por conseguinte, \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) não é aberto.
O conjunto dos irracionais não é fechado. Com efeito, todo o número racional é ponto de acumulação de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), porque toda a vizinhança de um número racional contém números irracionais.
Em particular, \(0\) é um ponto de acumulação de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), mas
\[ 0\notin\mathbb R\setminus\mathbb Q. \]
Logo, o conjunto não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, não é fechado.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
é aberto ou fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é aberto nem fechado.
Resolução
O conjunto é
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Não é aberto. Com efeito, nenhuma vizinhança de um ponto de \(A\) está contida em \(A\), porque toda a vizinhança contém uma infinidade de números reais que não pertencem a \(A\).
Estudemos agora se \(A\) é fechado. Observemos que
\[ \frac1n\to0. \]
Logo, \(0\) é um ponto de acumulação de \(A\). Com efeito, para todo o \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r, \]
e, portanto,
\[ \frac1n\in(-r,r)\setminus\{0\}. \]
Contudo,
\[ 0\notin A. \]
Logo, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é fechado.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
é aberto ou fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) é fechado mas não aberto.
Resolução
O conjunto pode escrever-se na forma
\[ A=\left\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Não é aberto. Com efeito, nenhuma vizinhança de \(0\) está contida em \(A\), porque toda a vizinhança de \(0\) contém uma infinidade de números reais que não pertencem a \(A\).
Estudemos agora se \(A\) é fechado. A sucessão
\[ \frac1n \]
converge para \(0\). Assim, \(0\) é um ponto de acumulação de \(A\).
Além disso, \(0\in A\).
Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\), por seu lado, são pontos isolados do conjunto. Com efeito, fixado \(n\), o ponto \(\displaystyle \frac1n\) pode ser separado dos restantes elementos de \(A\) por meio de uma vizinhança suficientemente pequena.
Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são isolados e qualquer número real distinto de \(0\) e dos elementos da sucessão possui uma vizinhança que não contém pontos de \(A\). Logo, o único ponto de acumulação de \(A\) é \(0\), e esse ponto pertence a \(A\). Assim, \(A\) contém todos os seus pontos de acumulação.
Em consequência, \(A\) é fechado.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Seja
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Estudar o conjunto
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n \]
e determinar se é aberto.
Resultado
Tem-se
\[ A=\{0\}. \]
O conjunto \(A\) não é aberto.
Resolução
Cada conjunto
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right) \]
é aberto em \(\mathbb R\). Todavia, temos de estudar a sua intersecção:
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Observemos, antes de mais, que \(0\in A_n\) para todo o \(n\in\mathbb N\). Logo,
\[ 0\in A. \]
Mostremos agora que nenhum outro ponto pertence a \(A\). Seja \(x\neq0\). Então \(|x|>0\). Pela propriedade arquimediana, existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n<|x|. \]
Daqui resulta que
\[ x\notin\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Logo, \(x\notin A\).
Demonstrámos que o único ponto que pertence a todos os intervalos \(A_n\) é \(0\). Por conseguinte,
\[ A=\{0\}. \]
O conjunto \(\{0\}\) não é aberto, porque nenhuma vizinhança de \(0\) está contida em \(\{0\}\). Com efeito, toda a vizinhança de \(0\) contém pontos reais distintos de \(0\).
Assim, \(A\) não é aberto.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Seja
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right], \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Estudar o conjunto
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n \]
e determinar se é fechado.
Resultado
Tem-se
\[ A=(0,1]. \]
O conjunto \(A\) não é fechado.
Resolução
Cada conjunto
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right] \]
é fechado em \(\mathbb R\). Estudemos, porém, a sua reunião:
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right]. \]
Demonstremos que
\[ A=(0,1]. \]
Se \(x\in A\), então existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Logo,
\[ \frac1n\le x\le1. \]
Em particular, \(x>0\). Assim,
\[ x\in(0,1]. \]
Provámos, então, que \(A\subseteq(0,1]\).
Reciprocamente, seja \(x\in(0,1]\). Como \(x>0\), pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n\le x. \]
E, sendo também \(x\le1\), obtemos
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Logo, \(x\in A\). Por conseguinte,
\[ (0,1]\subseteq A. \]
Das duas inclusões resulta que
\[ A=(0,1]. \]
O conjunto \((0,1]\) não é fechado, porque \(0\) é um ponto de acumulação de \(A\), mas
\[ 0\notin A. \]
Logo, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é fechado.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<4\} \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A\) é aberto mas não fechado.
Resolução
Resolvamos a inequação que define \(A\):
\[ x^2<4. \]
Como \(4=2^2\), a inequação equivale a
\[ -2<x<2. \]
Logo,
\[ A=(-2,2). \]
O intervalo \((-2,2)\) é aberto em \(\mathbb R\). Por conseguinte, \(A\) é aberto.
O conjunto não é fechado. Com efeito, os pontos \(-2\) e \(2\) são pontos de acumulação de \(A\), mas não pertencem a \(A\).
Mais precisamente,
\[ -2\notin A \qquad\text{e}\qquad 2\notin A. \]
Logo, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é fechado.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Determinar se o conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:0<|x-2|\le3\} \]
é aberto, fechado, ambas as coisas ou nenhuma delas.
Resultado
O conjunto \(A\) não é aberto nem fechado.
Resolução
A condição
\[ 0<|x-2|\le3 \]
significa que a distância de \(x\) a \(2\) é positiva e não excede \(3\).
Estudemos primeiro a condição
\[ |x-2|\le3. \]
Ela equivale a
\[ -3\le x-2\le3. \]
Somando \(2\) aos três membros, obtemos
\[ -1\le x\le5. \]
A condição
\[ 0<|x-2| \]
equivale, por sua vez, a \(x\neq2\). Por conseguinte,
\[ A=[-1,5]\setminus\{2\}. \]
Podemos, então, escrever
\[ A=[-1,2)\cup(2,5]. \]
O conjunto não é aberto, porque \(-1\in A\), mas nenhuma vizinhança de \(-1\) está contida em \(A\). Com efeito, toda a vizinhança de \(-1\) contém pontos menores do que \(-1\), que não pertencem a \(A\).
O conjunto não é fechado, porque \(2\) é um ponto de acumulação de \(A\), mas
\[ 2\notin A. \]
Com efeito, toda a vizinhança reduzida de \(2\) contém pontos de \(A\), tanto à esquerda como à direita de \(2\).
Logo, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é aberto nem fechado.