Nesta página veremos como calcular a derivada da função exponencial utilizando duas formas equivalentes do quociente incremental: uma na variável \(h\), com \(h\to 0\), e outra na variável \(x\), com \(x\to x_0\).
Seja \(a>0\), com \(a\neq 1\), e consideremos a função exponencial:
\[ f(x)=a^x \]
As duas formas do quociente incremental são:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Índice
Quociente incremental para \( h\to 0 \)
Calculemos a derivada da função exponencial como limite do quociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h} \]
Utilizamos a propriedade das potências:
\[ a^{x_0+h} = a^{x_0}\cdot a^h \]
Substituindo no quociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0}a^h-a^{x_0}}{h} \]
Colocando \(a^{x_0}\) em evidência:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \]
O limite notável da função exponencial é:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a) \]
Portanto:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Quociente incremental para \( x\to x_0 \)
Apliquemos agora a definição de derivada na forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Reescrevemos \(a^x\) como:
\[ a^x = a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \]
Substituindo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x_0}a^{x-x_0}-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Colocando \(a^{x_0}\) em evidência:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} \]
Introduzimos a variável auxiliar:
\[ u=x-x_0 \]
Como \(x\to x_0\), temos:
\[ u\to 0 \]
Portanto, o limite torna-se:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} \]
Pelo limite notável da função exponencial:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} = \ln(a) \]
Obtemos então:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Em conclusão, a derivada da função exponencial é:
\[ f'(x) = a^x\ln(a) \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]