Nesta página veremos como calcular a derivada da função potência utilizando duas formas equivalentes do quociente incremental: uma na variável \(h\), com \(h\to 0\), e outra na variável \(x\), com \(x\to x_0\).
Seja \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) e consideremos a função potência:
\[ f(x)=x^n \]
As duas formas do quociente incremental são:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Índice
- Limite do quociente incremental para \( h\to 0 \)
- Limite do quociente incremental para \( x\to x_0 \)
Limite do quociente incremental para \( h\to 0 \)
Calculemos a derivada da função potência através da definição do quociente incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Substituindo \(f(x)=x^n\), obtemos:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Aplicamos agora o teorema binomial:
\[ (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \]
Substituindo o desenvolvimento binomial no quociente incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n }{h} \]
Simplificando os termos \(x^n\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n }{h} \]
Dividindo cada termo por \(h\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} \right) \]
Fazendo \(h\to 0\), todos os termos que contêm potências positivas de \(h\) tendem a \(0\). Assim:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Concluímos então que:
\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Limite do quociente incremental para \( x\to x_0 \)
Calculemos agora a derivada da função potência na forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Substituindo \(f(x)=x^n\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
O numerador é uma diferença de potências. Utilizamos então a fatorização:
\[ x^n-x_0^n = (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Substituindo no quociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{ (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) }{x-x_0} \]
Simplificando o fator \(x-x_0\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Fazendo \(x\to x_0\), cada termo tende para \(x_0^{\,n-1}\). Como aparecem \(n\) termos iguais a \(x_0^{\,n-1}\), obtemos:
\[ f'(x_0) = nx_0^{\,n-1} \]
Em conclusão:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]