A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm distância constante a um ponto fixo, designado centro. Essa distância constante recebe o nome de raio. A circunferência é uma curva fechada, simétrica em relação ao seu centro, e constitui um caso particular de cónica não degenerada, obtida ao seccionar um cone circular reto com um plano perpendicular ao eixo do cone e que não passe pelo vértice.
Índice
- Definição geométrica e dedução da equação
- Equação da circunferência com centro na origem
- Equação da circunferência com centro genérico
- Forma geral e completamento do quadrado
- Condições para representar uma circunferência real
- Posição de um ponto em relação à circunferência
- Reta tangente à circunferência
- Interseção entre duas circunferências
- Feixe de circunferências
- Simetrias e propriedades geométricas
- Exercícios
Definição geométrica e dedução da equação
Consideremos um ponto fixo \( C(x_0, y_0) \) num sistema de coordenadas cartesianas ortonormais. A circunferência de centro \( C \) e raio \( r > 0 \) é o conjunto dos pontos \( P(x, y) \) do plano tais que:
\[ \text{dist}(P,C)=r \]
Aplicando a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos no plano cartesiano, temos:
\[ \text{dist}(P, C) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
Impondo a condição \( \text{dist}(P, C) = r \), obtemos:
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \]
Elevando ao quadrado ambos os membros (operação lícita, uma vez que ambos são não negativos, sendo \( r > 0 \) por definição):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Esta é a forma canónica (ou forma normal) da equação da circunferência de centro \( C(x_0, y_0) \) e raio \( r \). A equação representa exatamente os pontos que satisfazem a condição geométrica de pertença à circunferência.
Equação da circunferência com centro na origem
No caso particular em que o centro coincide com a origem do referencial, isto é, \( C(0, 0) \), fazendo \( x_0 = 0 \) e \( y_0 = 0 \) na forma canónica, a equação simplifica-se consideravelmente:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Esta é a equação mais elementar da circunferência e descreve o conjunto de todos os pontos equidistantes da origem dos eixos cartesianos. A equação goza das seguintes propriedades de simetria:
- Simetria em relação ao eixo das abcissas: se \( (x, y) \) pertence à circunferência, então \( (x, -y) \) também lhe pertence
- Simetria em relação ao eixo das ordenadas: se \( (x, y) \) pertence à circunferência, então \( (-x, y) \) também lhe pertence
- Simetria central em relação à origem: se \( (x, y) \) pertence à circunferência, então \( (-x, -y) \) também lhe pertence
Além disso, todos os diâmetros da circunferência passam pela origem e têm comprimento \( 2r \). O ponto \( (r, 0) \) representa a interseção da circunferência com o semieixo positivo do eixo \(x\).
Equação da circunferência com centro genérico
Consideremos agora o caso geral de uma circunferência com centro num ponto arbitrário \( C(x_0, y_0) \) do plano e raio \( r > 0 \). A equação canónica é:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Desenvolvendo os quadrados dos binómios por meio das identidades algébricas \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), obtemos:
\[ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2 \]
Reordenando os termos e transpondo todas as quantidades para o primeiro membro:
\[ x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - r^2) = 0 \]
Introduzamos agora os parâmetros:
\[ D = -2x_0 \quad , \quad E = -2y_0 \quad , \quad F = x_0^2 + y_0^2 - r^2 \]
A partir destas relações, podemos obter:
\[ x_0 = -\frac{D}{2} \quad , \quad y_0 = -\frac{E}{2} \quad , \quad r^2 = x_0^2 + y_0^2 - F = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Substituindo na forma desenvolvida, obtemos a forma geral da equação da circunferência:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Forma geral e completamento do quadrado
Dada uma equação na forma geral:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
para a reduzir à forma canónica e determinar o centro e o raio, utilizamos a técnica de completamento do quadrado. O método consiste em transformar as expressões \( x^2 + Dx \) e \( y^2 + Ey \) em quadrados perfeitos.
Para o termo em \( x \):
\[ x^2 + Dx = x^2 + Dx + \frac{D^2}{4} - \frac{D^2}{4} = \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} \]
Analogamente, para o termo em \( y \):
\[ y^2 + Ey = y^2 + Ey + \frac{E^2}{4} - \frac{E^2}{4} = \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} \]
Substituindo na equação geral:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0 \]
Reordenando:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Esta é a forma canónica, a partir da qual podemos ler diretamente:
- Centro: \( C\left( -\displaystyle \frac{D}{2}, -\displaystyle\frac{E}{2} \right) \)
- Raio: \( r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2 + E^2}{4} - F} \) (desde que a expressão sob o radical seja positiva)
Condições para representar uma circunferência real
Consideremos uma equação do segundo grau nas duas variáveis \(x\) e \(y\):
\[ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 \]
Esta pode representar uma circunferência apenas se os coeficientes dos termos quadráticos puros forem iguais e o termo misto estiver ausente. Mais precisamente, devem verificar-se as condições:
- coeficientes dos termos quadráticos iguais e não nulos: \(a=b\ne 0\);
- ausência do termo misto: \(c=0\).
Nesse caso, dividindo a equação por \(a\), obtém-se:
\[ x^2+y^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}y+\frac{f}{a}=0. \]
O centro e o quadrado do raio são, portanto:
\[ C\left(-\frac{d}{2a},-\frac{e}{2a}\right), \qquad r^2=\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}. \]
Consequentemente:
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}>0 \), a equação representa uma circunferência real não degenerada;
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}=0 \), a equação representa uma circunferência degenerada, reduzida a um ponto;
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}<0 \), a equação não possui pontos reais.
No caso da forma padrão
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
o centro e o quadrado do raio são:
\[ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. \]
A condição para que a equação represente uma circunferência real não degenerada é:
\[ \frac{D^2+E^2}{4}-F>0 \quad \Longleftrightarrow \quad D^2+E^2-4F>0. \]
Distinguimos, assim, três casos:
- se \(D^2+E^2-4F>0\): a equação representa uma circunferência real não degenerada, de raio \( \displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} \);
- se \(D^2+E^2-4F=0\): a equação representa uma circunferência degenerada, reduzida apenas ao centro;
- se \(D^2+E^2-4F<0\): a equação não possui pontos reais.
Posição de um ponto em relação à circunferência
Dada uma circunferência de equação \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \) e um ponto \( P(x_P, y_P) \), podemos determinar a posição relativa do ponto em relação à circunferência calculando a quantidade:
\[ \delta = (x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 - r^2 \]
Há três possibilidades:
- Se \( \delta = 0 \): o ponto pertence à circunferência
- Se \( \delta < 0 \): o ponto é interior à circunferência
- Se \( \delta > 0 \): o ponto é exterior à circunferência
De modo equivalente, comparando a distância \( d = \sqrt{(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2} \) do ponto ao centro com o raio:
- Se \( d = r \): ponto sobre a circunferência
- Se \( d < r \): ponto interior
- Se \( d > r \): ponto exterior
Reta tangente à circunferência
Dada uma circunferência de centro \( C(x_0, y_0) \) e raio \( r \), e um ponto \( P(x_1, y_1) \) pertencente à circunferência, a equação da reta tangente à circunferência no ponto \( P \) é:
\[ (x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) = r^2 \]
No caso particular de uma circunferência centrada na origem \( x^2 + y^2 = r^2 \), a equação da tangente no ponto \( P(x_1, y_1) \) simplifica-se para:
\[ x_1 x + y_1 y = r^2 \]
A reta tangente é perpendicular ao raio traçado no ponto de tangência. Este resultado decorre do facto de o vetor \( \overrightarrow{CP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \) ser normal à tangente.
Tangentes a partir de um ponto exterior
A partir de um ponto exterior \( P(x_P, y_P) \) a uma circunferência, podem traçar-se exatamente duas retas tangentes. Para as determinar, pode considerar-se uma reta genérica que passe por \(P\) e impor que a sua distância ao centro seja igual ao raio. Alternativamente, podem procurar-se diretamente os pontos de tangência \(T\), impondo que \(T\) pertença à circunferência e que a tangente em \(T\) passe pelo ponto exterior \(P\).
Interseção entre duas circunferências
Dadas duas circunferências:
\[ \Gamma_1:\quad x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 \]
\[ \Gamma_2:\quad x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0, \]
para encontrar os eventuais pontos de interseção, resolve-se o sistema formado pelas duas equações. Subtraindo a segunda equação da primeira, obtém-se:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Se as duas circunferências não forem concêntricas e não coincidirem, esta equação representa uma reta, designada eixo radical. Quando as circunferências são secantes, o eixo radical passa pelos dois pontos de interseção; quando são tangentes, passa pelo seu único ponto comum.
Se, pelo contrário, as duas circunferências forem concêntricas, isto é, tiverem o mesmo centro, a subtração das duas equações não produz uma reta: obtém-se uma equação impossível, no caso de raios diferentes, ou uma identidade, no caso de circunferências coincidentes.
As posições relativas das duas circunferências dependem da distância \(d\) entre os centros e dos raios \(r_1\) e \(r_2\):
- se \(d=0\) e \(r_1=r_2\): as duas circunferências são coincidentes e têm infinitos pontos em comum;
- se \(d=0\) e \(r_1\ne r_2\): as duas circunferências são concêntricas e não têm pontos em comum;
- se \(d>r_1+r_2\): as duas circunferências são exteriores uma à outra e não têm pontos em comum;
- se \(d=r_1+r_2\): as duas circunferências são tangentes exteriormente e têm um único ponto em comum;
- se \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\): as duas circunferências são secantes e têm dois pontos em comum;
- se \(d=|r_1-r_2|\) e \(d>0\): as duas circunferências são tangentes interiormente e têm um único ponto em comum;
- se \(0<d<|r_1-r_2|\): uma circunferência é interior à outra e não têm pontos em comum.
Feixe de circunferências
Consideremos duas circunferências de equações:
\[ \Gamma_1(x,y)=x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 \]
\[ \Gamma_2(x,y)=x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0. \]
O feixe de circunferências gerado por \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) é o conjunto das equações:
\[ \lambda \Gamma_1(x,y)+\mu \Gamma_2(x,y)=0, \]
onde \(\lambda\) e \(\mu\) são parâmetros reais não simultaneamente nulos.
Explicitamente:
\[ \lambda(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+ \mu(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0. \]
Se \(\lambda+\mu\ne 0\), a equação ainda contém os termos quadráticos \(x^2+y^2\) e pode representar uma circunferência, uma circunferência degenerada ou um lugar geométrico sem pontos reais, consoante o valor do quadrado do raio.
Se, pelo contrário, \(\lambda+\mu=0\), os termos quadráticos anulam-se. Neste caso, quando as duas circunferências não são concêntricas, obtém-se a equação do eixo radical:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Do ponto de vista geométrico, distinguem-se alguns casos fundamentais:
- circunferências geratrizes secantes: todas as circunferências do feixe passam pelos dois pontos comuns às geratrizes;
- circunferências geratrizes tangentes: todas as circunferências do feixe passam pelo ponto de tangência comum;
- circunferências geratrizes não secantes: as circunferências do feixe não têm pontos base reais comuns;
- circunferências geratrizes concêntricas: as circunferências do feixe têm o mesmo centro.
Em qualquer caso, nem todas as equações do feixe representam necessariamente circunferências reais não degeneradas: certos valores do parâmetro podem originar uma circunferência degenerada, um lugar geométrico sem pontos reais ou, quando \(\lambda+\mu=0\) e as geratrizes não são concêntricas, uma reta.
Simetrias e propriedades geométricas
A circunferência possui notáveis propriedades de simetria que a tornam uma figura geométrica de particular interesse:
Simetrias
- Simetria central: toda circunferência é simétrica em relação ao seu próprio centro
- Eixos de simetria: toda reta que passa pelo centro é um eixo de simetria
- Invariância por rotação: a circunferência é invariante sob qualquer rotação em torno do centro
Propriedades métricas
- Comprimento da circunferência: \( L = 2\pi r \)
- Área do círculo: \( A = \pi r^2 \)
- Ângulos centrais e inscritos: um ângulo inscrito na circunferência mede metade do ângulo central correspondente ao mesmo arco
Exercícios
Exercício 1. Verificar se o ponto \( P(3, 4) \) pertence à circunferência de equação \( x^2 + y^2 = 25 \).
Resolução. Substituímos as coordenadas do ponto na equação:
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Uma vez que a igualdade se verifica, o ponto \( P(3, 4) \) pertence à circunferência. Geometricamente, isto significa que a distância de \( P \) à origem é exatamente igual ao raio \( r = 5 \).
Exercício 2. Determinar a equação da circunferência de centro \( C(2, -3) \) e raio \( r = 4 \).
Resolução. Aplicando a forma canónica:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. \]
Desenvolvendo, obtemos a forma geral:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]
Exercício 3. Dada a equação \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 5 = 0 \), determinar o centro e o raio da circunferência.
Resolução. Completamos os quadrados:
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16. \]
Substituindo:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 5 = 0 \]
\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20. \]
Logo:
- Centro: \( C(-3, 4) \)
- Raio: \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Exercício 4. Encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) e \( R(-1, 0) \).
Resolução. Utilizamos a forma geral \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) e impomos a passagem pelos três pontos:
Para \( A(1, 0) \), tem-se
\[ 1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \]
Para \( B(0, 1) \), tem-se
\[ 0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \]
Para \( R(-1, 0) \), tem-se
\[ 1 + 0 - D + 0 + F = 0 \implies -D + F = -1 \]
Resolvendo o sistema:
\[ \begin{cases} D + F = -1 \\ E + F = -1 \\ -D + F = -1 \end{cases} \]
Da primeira e da terceira equações: \( D = 0 \), logo \( F = -1 \). Da segunda equação: \( E = 0 \).
A equação procurada é: \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 = 1 \).
Esta é a circunferência unitária centrada na origem.
Exercício 5. Determinar as tangentes à circunferência \( x^2 + y^2 = 9 \) traçadas a partir do ponto exterior \( P(5, 0) \).
Resolução. Seja \( T(x_T, y_T) \) um ponto de tangência. Uma vez que a circunferência tem equação \(x^2+y^2=9\), a tangente no ponto \(T(x_T,y_T)\) tem equação:
\[ x_T x + y_T y = 9. \]
Uma vez que esta reta passa por \( P(5, 0) \):
\[ 5x_T + 0 \cdot y_T = 9 \Rightarrow x_T = \frac{9}{5} \]
Sendo \( T \) um ponto da circunferência: \( x_T^2 + y_T^2 = 9 \), logo:
\[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 + y_T^2 = 9 \Rightarrow y_T^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \Rightarrow y_T = \pm\frac{12}{5} \]
Os pontos de tangência são
\[ T_1\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right) \quad \text{e} \quad T_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right) \]
As equações das tangentes são:
\[ \frac{9}{5}x + \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x + 4y = 15 \]
\[ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x - 4y = 15. \]