A parábola é uma curva plana definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. O seu eixo de simetria passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
Índice
- Equação Canónica da Parábola
- Parábola com Eixo Vertical e Parábola com Eixo Horizontal
- Forma do Vértice da Parábola
- Vértice, Foco, Diretriz e Eixo de Simetria
- Equação da Parábola Dados o Vértice e um Ponto
- Exercícios Resolvidos sobre a Parábola
Equação Canónica da Parábola
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz.
Consideremos o caso mais simples: o foco é \(F(0,p)\), com \(p>0\), e a diretriz é a reta \(y=-p\). Um ponto \(P(x,y)\) pertence à parábola se e somente se a sua distância ao foco for igual à sua distância à diretriz:
Consideremos o caso mais simples: o foco é \(F(0,p)\), com \(p>0\), e a diretriz é a reta \(r\) de equação \(y=-p\). Um ponto \(P(x,y)\) pertence à parábola se e somente se a sua distância ao foco for igual à sua distância à diretriz:
Uma vez que
\[ d(P,F)=\sqrt{x^2+(y-p)^2} \]
e
\[ d(P,r)=|y+p|, \]
obtemos a equação
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]
Neste caso a parábola encontra-se acima da diretriz, logo \(y\geq -p\) e \(y+p\geq 0\). Podemos então escrever:
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p. \]
Elevando ao quadrado ambos os membros, obtém-se
\[ x^2+(y-p)^2=(y+p)^2. \]
Desenvolvendo os quadrados:
\[ x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2. \]
Simplificando, obtemos
\[ x^2=4py. \]
Uma vez que \(p>0\), podemos dividir por \(4p\) e obter:
\[ y=\frac{1}{4p}x^2. \]
Fazendo
\[ a=\frac{1}{4p}, \]
a equação torna-se
\[ y=ax^2. \]
Esta é a equação canónica da parábola com vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo \(y\).
No caso que acabámos de estudar temos \(a>0\), logo a concavidade está voltada para cima. De um modo mais geral, para todo \(a\neq 0\), a parábola de equação
\[ y=ax^2 \]
tem vértice \(V(0,0)\), eixo de simetria \(x=0\), foco
\[ F\left(0,\frac{1}{4a}\right) \]
e diretriz
\[ y=-\frac{1}{4a}. \]
A quantidade
\[ \frac{1}{4|a|} \]
representa a distância entre o vértice e o foco. A parábola tem concavidade voltada para cima se \(a>0\), e concavidade voltada para baixo se \(a<0\).
Parábola com Eixo Vertical e Parábola com Eixo Horizontal
A equação da parábola assume formas diferentes consoante a orientação do seu eixo de simetria. Os dois casos fundamentais são a parábola com eixo vertical e a parábola com eixo horizontal.
Parábola com Eixo Vertical
Uma parábola com eixo vertical e vértice na origem tem equação
\[ y=ax^2, \qquad a\neq 0. \]
O eixo de simetria coincide com o eixo \(y\), isto é, com a reta \(x=0\). Se \(a>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima; se, em vez disso, \(a<0\), tem concavidade voltada para baixo.
Os elementos característicos são: vértice \(V(0,0)\), eixo de simetria \(x=0\), foco \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) e diretriz \(y=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
A mesma equação também pode ser escrita na forma
\[ x^2=4py, \]
onde \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) é o parâmetro da parábola. O sinal de \(p\) indica o sentido de abertura, enquanto a distância entre o vértice e o foco é \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \).
Exemplo. Consideremos a parábola
\[ y=2x^2. \]
Neste caso \(a=2\), logo
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
O vértice é \(V(0,0)\), o eixo de simetria é \(x=0\), o foco é \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{8}\right)\) e a diretriz tem equação \(y=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Uma vez que \(a>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima.
Parábola com Eixo Horizontal
Uma parábola com eixo horizontal e vértice na origem tem equação
\[ x=ay^2, \qquad a\neq 0. \]
Neste caso, o eixo de simetria coincide com o eixo \(x\), isto é, com a reta \(y=0\). Se \(a>0\), a parábola abre para a direita; se \(a<0\), abre para a esquerda.
Os elementos característicos são: vértice \(V(0,0)\), eixo de simetria \(y=0\), foco \(F\left(\displaystyle \frac{1}{4a},0\right)\) e diretriz \(x=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
De modo equivalente, a equação pode ser escrita na forma
\[ y^2=4px, \]
onde, também neste caso, \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) é o parâmetro da parábola. O sinal de \(p\) indica o sentido de abertura, enquanto \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \) representa a distância entre o vértice e o foco.
Exemplo. Consideremos a parábola
\[ x=2y^2. \]
Neste caso \(a=2\), logo
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
O vértice é \(V(0,0)\), o eixo de simetria é \(y=0\), o foco é \(F\left(\displaystyle \frac{1}{8},0\right)\) e a diretriz tem equação \(x=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Uma vez que \(a>0\), a parábola abre para a direita.
Relação entre o Coeficiente e o Parâmetro da Parábola
Nas formas canónicas
\[ y=ax^2 \qquad \text{e} \qquad x=ay^2, \]
o coeficiente \(a\) determina simultaneamente a abertura e a orientação da parábola. Mais precisamente, o parâmetro da parábola é
\[ p=\frac{1}{4a}. \]
Se \(a>0\), então \(p>0\) e a parábola abre no sentido positivo do eixo de simetria. Se \(a<0\), então \(p<0\) e a parábola abre no sentido negativo do eixo de simetria.
A distância entre o vértice e o foco, por sua vez, é sempre positiva e é dada por
\[ |p|=\frac{1}{4|a|}. \]
Esta distinção é importante: \(p\) conserva a informação sobre o sentido de abertura, enquanto \( |p| \) mede uma distância.
Forma do Vértice da Parábola
Até agora considerámos parábolas com vértice na origem. Em muitos casos, porém, o vértice encontra-se num ponto qualquer do plano. Nessa situação, convém escrever a parábola na forma do vértice.
Uma translação desloca todos os pontos do plano segundo o mesmo vetor. Por esse motivo, ao aplicar uma translação a uma parábola, a sua forma não muda: mudam apenas a posição do vértice, do foco, da diretriz e do eixo de simetria.
Parábola com Eixo Vertical na Forma do Vértice
Partamos da parábola canónica
\[ y=ax^2. \]
Se o vértice for deslocado para o ponto \(V(h,k)\), a equação torna-se
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Esta forma é designada forma do vértice. É particularmente útil porque permite identificar de imediato o vértice da parábola.
Com efeito, na parábola
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
o vértice é \(V(h,k)\), enquanto o eixo de simetria é a reta
\[ x=h. \]
O sinal de \(a\) determina o sentido da concavidade: a parábola está voltada para cima se \(a>0\), para baixo se \(a<0\).
Da Forma do Vértice à Forma Geral
Desenvolvendo o quadrado na forma do vértice, obtemos:
\[ y=a(x-h)^2+k =a(x^2-2hx+h^2)+k. \]
Logo
\[ y=ax^2-2ahx+ah^2+k. \]
Fazendo
\[ b=-2ah, \qquad c=ah^2+k, \]
recuperamos a forma geral
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Reciprocamente, partindo da forma geral \(y=ax^2+bx+c\), com \(a\neq 0\), as coordenadas do vértice são
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=c-\frac{b^2}{4a}. \]
Elementos Geométricos na Forma do Vértice
Para uma parábola com eixo vertical de equação
\[ y=a(x-h)^2+k, \qquad a\neq 0, \]
os elementos característicos são: vértice \(V(h,k)\), eixo de simetria \(x=h\), foco \(F\left(h,k+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) e diretriz \(y=k-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
A distância entre o vértice e o foco é
\[ \frac{1}{4|a|}, \]
enquanto a distância entre o foco e a diretriz é
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Exemplo. Consideremos a parábola
\[ y=2(x-3)^2-5. \]
Esta é obtida aplicando à parábola \(y=2x^2\) uma translação de \(3\) unidades para a direita e \(5\) unidades para baixo.
O vértice é, portanto,
\[ V(3,-5), \]
e o eixo de simetria tem equação
\[ x=3. \]
Uma vez que \(a=2\), temos
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
O foco é
\[ F\left(3,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(3,-\frac{39}{8}\right), \]
enquanto a diretriz tem equação
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Vértice, Foco, Diretriz e Eixo de Simetria
Os elementos geométricos fundamentais de uma parábola são o seu vértice, o seu foco, a sua diretriz e o seu eixo de simetria. Estes elementos permitem descrever por completo a posição da parábola no plano cartesiano.
Nesta secção consideramos as parábolas com eixo vertical, isto é, as parábolas representadas pela equação
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0. \]
Vértice da Parábola
Para uma parábola com eixo vertical, o vértice é o ponto no qual a função quadrática atinge o seu valor mínimo, se \(a>0\), ou o seu valor máximo, se \(a<0\).
Para determinar as coordenadas do vértice, partimos da equação geral
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Colocamos \(a\) em evidência nos dois primeiros termos:
\[ y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c. \]
Completamos o quadrado somando e subtraindo o termo \(\left(\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2\):
\[ y=a\left[ x^2+\frac{b}{a}x+ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]+c. \]
Obtemos assim:
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c. \]
Uma vez que \(\Delta=b^2-4ac\), podemos escrever:
\[ -\frac{b^2}{4a}+c = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}. \]
Assim, a parábola pode ser reescrita na forma
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}. \]
Comparando esta expressão com a forma do vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
obtemos:
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Logo, o vértice da parábola \(y=ax^2+bx+c\) é
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Eixo de Simetria
O eixo de simetria é a reta que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes simétricas. Para uma parábola com eixo vertical de equação
\[ y=ax^2+bx+c, \]
o eixo de simetria tem equação
\[ x=-\frac{b}{2a}. \]
Esta reta contém tanto o vértice como o foco da parábola.
Foco da Parábola
O foco é o ponto fixo que aparece na definição geométrica da parábola. Cada ponto da parábola é equidistante do foco e da diretriz.
Se a parábola for escrita na forma do vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
o seu foco é
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right). \]
No caso da forma geral \(y=ax^2+bx+c\), temos
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Substituindo estes valores, obtemos:
\[ F\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}+\frac{1}{4a} \right). \]
A fórmula é válida tanto para \(a>0\) como para \(a<0\). Se \(a>0\), o foco encontra-se acima do vértice; se \(a<0\), encontra-se abaixo do vértice.
Diretriz da Parábola
A diretriz é a reta fixa relativamente à qual a parábola é definida. Cada ponto da parábola é equidistante do foco e da diretriz.
Se a parábola for escrita na forma
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
a diretriz tem equação
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
Para a parábola de equação \(y=ax^2+bx+c\), usando novamente
\[ k=-\frac{\Delta}{4a}, \]
obtemos:
\[ y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}. \]
Também esta fórmula tem automaticamente em conta o sinal de \(a\). Se \(a>0\), a diretriz encontra-se abaixo do vértice; se \(a<0\), encontra-se acima do vértice.
Distância Focal
A distância entre o vértice e o foco é chamada distância focal. Na forma do vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
o foco obtém-se a partir do vértice mediante um deslocamento orientado igual a
\[ \frac{1}{4a} \]
ao longo do eixo de simetria. Consequentemente, a distância focal é
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
A distância entre o foco e a diretriz é, portanto, o dobro:
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Resumo das Fórmulas
Para uma parábola com eixo vertical de equação
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0, \]
fazendo \(\Delta=b^2-4ac\), temos: vértice \(V\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\), eixo de simetria \(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\), foco \(F\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\), diretriz \(y=-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}-\displaystyle \frac{1}{4a}\) e distância focal \(\displaystyle \frac{1}{4|a|}\).
Exemplo. Consideremos a parábola
\[ y=2x^2-8x+3. \]
Neste caso
\[ a=2, \qquad b=-8, \qquad c=3. \]
O discriminante é
\[ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 3=64-24=40. \]
O vértice é, portanto,
\[ V\left(-\frac{-8}{2\cdot 2},-\frac{40}{4\cdot 2}\right) = V(2,-5). \]
O eixo de simetria tem equação
\[ x=2. \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}, \]
o foco é
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(2,-\frac{39}{8}\right), \]
enquanto a diretriz tem equação
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Por fim, a distância focal é
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{8}. \]
Equação da Parábola Dados o Vértice e um Ponto
Uma parábola com eixo vertical fica determinada de forma unívoca quando se conhecem o seu vértice e outro ponto da curva, desde que esse ponto não tenha a mesma coordenada \(x\) do vértice.
Suponhamos, então, que o vértice é
\[ V(h,k) \]
e que a parábola passa pelo ponto
\[ P(x_0,y_0), \qquad x_0\neq h. \]
Uma vez que o vértice é conhecido, convém usar a forma do vértice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Nesta equação, o único parâmetro por determinar é \(a\). Para o encontrar, impomos que a parábola passe pelo ponto \(P(x_0,y_0)\). Substituindo as coordenadas do ponto, obtemos:
\[ y_0=a(x_0-h)^2+k. \]
Daqui:
\[ y_0-k=a(x_0-h)^2. \]
Uma vez que \(x_0\neq h\), podemos dividir por \((x_0-h)^2\) para obter:
\[ a=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}. \]
A equação da parábola é, portanto,
\[ y=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}(x-h)^2+k. \]
Exemplo. Determinemos a equação da parábola com eixo vertical, vértice
\[ V(3,-2) \]
e que passa pelo ponto
\[ P(5,6). \]
Uma vez que o vértice é \(V(3,-2)\), escrevemos a parábola na forma:
\[ y=a(x-3)^2-2. \]
Impomos agora que passe pelo ponto \(P(5,6)\):
\[ 6=a(5-3)^2-2. \]
Logo:
\[ 6=4a-2. \]
Daqui:
\[ 8=4a \]
e, portanto,
\[ a=2. \]
A equação procurada é, portanto,
\[ y=2(x-3)^2-2. \]
Se quisermos escrevê-la na forma geral, desenvolvemos o quadrado:
\[ y=2(x^2-6x+9)-2. \]
Obtemos:
\[ y=2x^2-12x+18-2, \]
ou seja,
\[ y=2x^2-12x+16. \]
Verificação. Verifiquemos que a parábola obtida tem efetivamente vértice \(V(3,-2)\). Na equação
\[ y=2x^2-12x+16 \]
temos \(a=2\), \(b=-12\), \(c=16\). A coordenada \(x\) do vértice é:
\[ x_V=-\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2\cdot 2} = 3. \]
A coordenada \(y\) correspondente é:
\[ y_V=2\cdot 3^2-12\cdot 3+16 = 18-36+16 = -2. \]
O vértice é, portanto, efetivamente \(V(3,-2)\).
O Caso da Parábola com Eixo Horizontal
O procedimento é análogo para uma parábola com eixo horizontal. Se o vértice é \(V(h,k)\), a forma do vértice é
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Se a parábola passa pelo ponto \(P(x_0,y_0)\), com \(y_0\neq k\), substituindo as coordenadas do ponto obtemos:
\[ x_0=a(y_0-k)^2+h. \]
Daqui:
\[ a=\frac{x_0-h}{(y_0-k)^2}. \]
Também neste caso, uma vez determinado \(a\), a equação da parábola fica completamente conhecida.
Foco e Diretriz
Depois de determinado o coeficiente \(a\), podemos calcular também os elementos geométricos da parábola.
Para uma parábola com eixo vertical de equação
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
o foco é
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right), \]
enquanto a diretriz tem equação
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
A distância entre o vértice e o foco é
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
Exercícios Resolvidos sobre a Parábola
Concluímos com alguns exercícios resolvidos sobre a parábola. Os exemplos reúnem as situações mais frequentes: determinar os elementos característicos, deduzir a equação a partir de dados geométricos, estudar uma parábola com eixo horizontal e resolver problemas simples de simetria.
Exercício 1. Dada a parábola de equação
\[ y=3x^2-12x+7, \]
determinar o vértice, o foco, a diretriz e a distância focal.
A equação está na forma
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Neste caso
\[ a=3,\qquad b=-12,\qquad c=7. \]
Calculamos o discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 7=144-84=60. \]
O vértice da parábola é
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Substituindo os valores encontrados, obtemos:
\[ V\left(-\frac{-12}{2\cdot 3},-\frac{60}{4\cdot 3}\right) = V(2,-5). \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{12}, \]
e uma vez que \(a>0\), o foco encontra-se acima do vértice:
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{12}\right) = F\left(2,-\frac{59}{12}\right). \]
A diretriz, por sua vez, encontra-se abaixo do vértice:
\[ y=-5-\frac{1}{12} = -\frac{61}{12}. \]
Por fim, a distância focal é
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{12}. \]
Exercício 2. Determinar a equação da parábola com eixo vertical que tem vértice \(V(-1,4)\) e passa pelo ponto \(P(2,-5)\).
Uma vez que conhecemos o vértice, usamos a forma do vértice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
No nosso caso \(h=-1\) e \(k=4\), logo:
\[ y=a(x+1)^2+4. \]
A parábola passa pelo ponto \(P(2,-5)\). Substituindo \(x=2\) e \(y=-5\), obtemos:
\[ -5=a(2+1)^2+4. \]
Logo:
\[ -5=9a+4. \]
Daqui:
\[ -9=9a, \]
e, portanto,
\[ a=-1. \]
A equação da parábola é, portanto,
\[ y=-(x+1)^2+4. \]
Desenvolvendo o quadrado, obtemos:
\[ y=-(x^2+2x+1)+4, \]
ou seja,
\[ y=-x^2-2x+3. \]
Exercício 3. Dada a parábola com eixo horizontal
\[ x=2y^2-8y+6, \]
determinar o vértice, o foco e a diretriz.
Uma vez que a parábola tem eixo horizontal, completamos o quadrado relativamente à variável \(y\):
\[ \begin{aligned} x &=2y^2-8y+6 \\ &=2(y^2-4y)+6 \\ &=2(y^2-4y+4-4)+6 \\ &=2(y-2)^2-8+6 \\ &=2(y-2)^2-2. \end{aligned} \]
A parábola está, portanto, na forma
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Comparando as duas expressões, obtemos:
\[ a=2,\qquad h=-2,\qquad k=2. \]
O vértice é, portanto,
\[ V(-2,2). \]
Além disso,
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Uma vez que \(a>0\), a parábola abre para a direita. O foco encontra-se, portanto, à direita do vértice:
\[ F\left(-2+\frac{1}{8},2\right) = F\left(-\frac{15}{8},2\right). \]
A diretriz, por sua vez, encontra-se à esquerda do vértice:
\[ x=-2-\frac{1}{8} = -\frac{17}{8}. \]
Exercício 4. Dada a parábola
\[ y=-2x^2+8x-5, \]
determinar a equação da parábola simétrica relativamente ao eixo \(x\). Calcular também os pontos de interseção entre as duas parábolas.
A simetria relativamente ao eixo \(x\) transforma cada ponto \((x,y)\) no ponto \((x,-y)\). Para encontrar a equação da parábola simétrica, substituímos, portanto, \(y\) por \(-y\) na equação inicial:
\[ -y=-2x^2+8x-5. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), obtemos:
\[ y=2x^2-8x+5. \]
Esta é a equação da parábola simétrica relativamente ao eixo \(x\).
Para determinar os pontos de interseção entre as duas parábolas, resolvemos o sistema:
\[ \begin{cases} y=-2x^2+8x-5 \\ y=2x^2-8x+5. \end{cases} \]
Igualando as duas expressões de \(y\), obtemos:
\[ -2x^2+8x-5=2x^2-8x+5. \]
Passando tudo para o mesmo membro:
\[ 4x^2-16x+10=0. \]
Dividindo por \(2\):
\[ 2x^2-8x+5=0. \]
Aplicando a fórmula resolvente, obtemos:
\[ x= \frac{8\pm\sqrt{64-40}}{4} = \frac{8\pm\sqrt{24}}{4} = \frac{8\pm 2\sqrt6}{4} = \frac{4\pm\sqrt6}{2}. \]
Uma vez que uma curva e a sua simétrica relativamente ao eixo \(x\) se intersectam sobre o próprio eixo \(x\), as coordenadas \(y\) dos pontos de interseção são nulas. Os pontos de interseção são, portanto:
\[ A\left(\frac{4+\sqrt6}{2},0\right), \qquad B\left(\frac{4-\sqrt6}{2},0\right). \]
Exercício 5. Determinar a equação da parábola com eixo vertical que tem foco \(F(1,5)\) e diretriz \(y=3\). Verificar também se o ponto \(P(3,6)\) pertence à parábola.
O foco é \(F(1,5)\) e a diretriz é a reta \(y=3\). Uma vez que a diretriz é horizontal, o eixo da parábola é vertical e passa pelo foco.
O vértice encontra-se a meio caminho entre o foco e a diretriz. Tem, portanto, a mesma coordenada \(x\) do foco e coordenada \(y\) igual à média entre \(5\) e \(3\):
\[ V\left(1,\frac{5+3}{2}\right) = V(1,4). \]
A distância focal é
\[ 5-4=1. \]
Uma vez que o foco se encontra acima do vértice, a parábola tem concavidade voltada para cima. Portanto, o parâmetro da parábola é \(p=1\), e, em consequência:
\[ a=\frac{1}{4p}=\frac{1}{4}. \]
A equação da parábola é, portanto,
\[ y=\frac{1}{4}(x-1)^2+4. \]
Verifiquemos agora se o ponto \(P(3,6)\) pertence à parábola. Substituindo \(x=3\) na equação encontrada, obtemos:
\[ y=\frac{1}{4}(3-1)^2+4 = \frac{1}{4}\cdot 4+4 = 5. \]
Para \(x=3\), a parábola tem coordenada \(y\) igual a \(5\), enquanto o ponto dado tem coordenada \(y\) igual a \(6\). Portanto, o ponto \(P(3,6)\) não pertence à parábola.
Podemos confirmar o mesmo resultado usando também a definição geométrica. A distância de \(P\) ao foco é
\[ d(P,F) = \sqrt{(3-1)^2+(6-5)^2} = \sqrt5, \]
enquanto a distância de \(P\) à diretriz é
\[ d(P,\text{diretriz}) = |6-3| = 3. \]
Uma vez que \(\sqrt5\neq 3\), o ponto não pertence à parábola.