A reta é um dos entes fundamentais da geometria euclidiana. No plano cartesiano, uma reta pode ser descrita por meio de uma equação de primeiro grau nas duas variáveis \(x\) e \(y\), ou seja, por meio de uma equação do tipo
\[ ax+by+c=0, \]
onde \(a,b,c\in\mathbb{R}\) e os coeficientes \(a\) e \(b\) não são ambos nulos. Esta forma, chamada forma implícita, abrange todas as retas do plano, incluindo as retas verticais e as retas horizontais.
Quando a reta não é vertical, a sua equação pode também ser escrita na forma
\[ y=mx+q, \]
chamada forma reduzida. Neste caso, \(m\) é o coeficiente angular, que descreve a inclinação da reta em relação ao eixo das abcissas, enquanto \(q\) é a ordenada na origem, ou seja, a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo \(y\).
Nesta página veremos como obter a equação de uma reta a partir de dois pontos, como passar da forma implícita para a forma reduzida, qual é o significado geométrico do coeficiente angular, como determinar uma reta perpendicular a uma reta dada e como escrever a equação paramétrica de uma reta.
Índice
- Equação da reta que passa por dois pontos
- Forma reduzida da reta
- Forma implícita da reta
- Significado geométrico do coeficiente angular
- Equação paramétrica da reta
- Reta perpendicular a uma reta dada
- Problemas resolvidos sobre a reta
Equação da reta que passa por dois pontos
Suponhamos que conhecemos dois pontos distintos do plano cartesiano:
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Como os dois pontos são distintos, pelo menos uma das duas diferenças \(x_2-x_1\) e \(y_2-y_1\) é diferente de zero.
Se \(x_1=x_2\), os dois pontos têm a mesma abcissa. Neste caso, a reta que passa por \(P_1\) e \(P_2\) é vertical e tem por equação
\[ x=x_1. \]
Suponhamos agora que \(x_1\ne x_2\). Neste caso a reta não é vertical e podemos introduzir o coeficiente angular
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Se \(y_1=y_2\), então \(m=0\) e a reta é horizontal. Neste caso a sua equação é
\[ y=y_1. \]
Suponhamos então que \(y_1\ne y_2\). A reta é oblíqua e podemos obter a sua equação recorrendo à semelhança de triângulos retângulos. Seja \(P(x,y)\) um ponto genérico da reta, distinto de \(P_1\). A figura seguinte representa esta situação:
Os triângulos retângulos \(\triangle P_1P'P\) e \(\triangle P_1P'_2P_2\) são semelhantes, pois cada um tem um ângulo reto e ambos têm um ângulo agudo congruente, determinado pela inclinação da reta. Considerando as variações horizontais e verticais com o respetivo sinal, da semelhança dos triângulos obtém-se a razão
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Como
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
segue-se que
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Esta é a forma ponto-declive da equação da reta. Desenvolvendo os cálculos, obtemos
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
donde
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Fazendo
\[ q=y_1-mx_1, \]
obtemos a forma reduzida
\[ y=mx+q. \]
A partir da forma ponto-declive podemos também obter uma forma implícita. De facto,
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
Multiplicando ambos os membros por \(x_2-x_1\), obtém-se
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
Levando todos os termos para o primeiro membro e reorganizando, resulta:
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
A fórmula que acabámos de obter foi deduzida no caso \(x_1\ne x_2\). No entanto, ela permanece válida para qualquer par de pontos distintos: abrange o caso oblíquo, o caso horizontal e também o caso vertical.
Para justificar esta validade geral, podemos recorrer aos vetores. Um ponto genérico \(P(x,y)\) pertence à reta que passa por \(P_1\) e \(P_2\) se e somente se os três pontos \(P_1\), \(P_2\) e \(P\) forem colineares. Isto ocorre quando os vetores
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
são linearmente dependentes. Em termos algébricos, esta condição equivale à anulação do determinante
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
Desenvolvendo o determinante obtém-se
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
e portanto, mais uma vez,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Forma reduzida da reta
Uma reta do plano cartesiano admite forma reduzida sempre que não for vertical. Neste caso, a sua equação pode ser escrita na forma
\[ y=mx+q. \]
O número \(m\) é o coeficiente angular da reta e mede a variação da ordenada em relação à variação da abcissa. O número \(q\) é a ordenada na origem, ou seja, a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo \(y\).
De facto, fazendo \(x=0\) na equação \(y=mx+q\), obtém-se
\[ y=q. \]
Logo, a reta interseta o eixo das ordenadas no ponto
\[ (0,q). \]
Se conhecemos um ponto \(P_1(x_1,y_1)\) da reta e o coeficiente angular \(m\), podemos usar a forma ponto-declive:
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Desenvolvendo os cálculos, obtém-se:
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
e portanto
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Assim, na forma \(y=mx+q\), tem-se
\[ q=y_1-mx_1. \]
Se, em vez disso, são conhecidos dois pontos distintos \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\), com \(x_1\ne x_2\), então o coeficiente angular é
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
A condição \(x_1\ne x_2\) é essencial: se \(x_1=x_2\), a reta que passa pelos dois pontos é vertical e não pode ser escrita na forma \(y=mx+q\). Nesse caso, a sua equação é
\[ x=x_1. \]
Forma implícita da reta
A forma implícita da equação de uma reta é
\[ ax+by+c=0, \]
onde \(a,b,c\in\mathbb{R}\) e \(a\) e \(b\) não são ambos nulos. A condição
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
é necessária: com efeito, se \(a=0\) e \(b=0\), a equação deixaria de depender de \(x\) e \(y\). Se \(c=0\), seria satisfeita por todos os pontos do plano; se \(c\ne0\), não seria satisfeita por ponto algum. Em ambos os casos, não representaria uma reta.
A forma implícita é a forma mais geral da equação da reta no plano cartesiano, pois abrange também as retas verticais, que não podem ser escritas na forma \(y=mx+q\).
Se \(b\ne 0\), podemos isolar \(y\):
\[ by=-ax-c, \]
donde
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
Neste caso a reta não é vertical e a sua forma reduzida é
\[ y=mx+q, \]
com
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Se, em vez disso, \(b=0\), então necessariamente \(a\ne 0\), e a equação torna-se
\[ ax+c=0. \]
Isolando \(x\), obtemos
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
Esta é a equação de uma reta vertical.
Se \(a=0\), então necessariamente \(b\ne 0\), e a equação torna-se
\[ by+c=0. \]
Isolando \(y\), obtemos
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
Esta é a equação de uma reta horizontal.
A forma implícita é particularmente útil porque permite verificar facilmente se um ponto pertence a uma reta. Com efeito, um ponto \(P(x_0,y_0)\) pertence à reta \(ax+by+c=0\) se e somente se
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
Além disso, partindo da forma ponto-declive
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
pode-se obter uma forma implícita levando todos os termos para o primeiro membro:
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
ou seja,
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Significado geométrico do coeficiente angular
O coeficiente angular de uma reta não vertical mede a razão entre a variação da ordenada e a variação da abcissa. Se a reta passa por dois pontos distintos
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
com \(x_1\ne x_2\), então o coeficiente angular é
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Esta fórmula mostra que \(m\) descreve quanto \(y\) varia quando \(x\) varia. Por este motivo, o coeficiente angular é também chamado declive da reta.
Se a reta tem equação reduzida
\[ y=mx+q, \]
então o valor de \(m\) determina o comportamento geométrico da reta.
- Se \(m>0\), a reta é crescente: quando \(x\) aumenta, \(y\) também aumenta. Neste caso, a reta forma com o semieixo positivo das abcissas um ângulo agudo.
- Se \(m<0\), a reta é decrescente: quando \(x\) aumenta, \(y\) diminui. Neste caso, a reta forma com o semieixo positivo das abcissas um ângulo obtuso.
- Se \(m=0\), a reta é horizontal. De facto, a equação reduz-se a \(y=q\), pelo que a ordenada permanece constante à medida que \(x\) varia.
O coeficiente angular está também relacionado com o ângulo de inclinação da reta. Se \(\alpha\) é o ângulo que a reta forma com o semieixo positivo das abcissas, então, para uma reta não vertical, tem-se
\[ m=\tan\alpha. \]
As retas verticais constituem um caso particular. Uma reta vertical tem por equação
\[ x=k. \]
Neste caso o coeficiente angular não está definido, porque a abcissa é constante e não é possível expressar \(y\) como função de \(x\). Geometricamente, a reta vertical é paralela ao eixo \(y\).
Equação paramétrica da reta
Uma reta pode também ser descrita por meio de uma equação paramétrica. Nesta forma, as coordenadas dos pontos da reta dependem de um parâmetro real.
Suponhamos que a reta passa por um ponto
\[ P_0(x_0,y_0) \]
e tem como vetor diretor um vetor não nulo
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Então uma representação paramétrica da reta é
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
O parâmetro \(t\) indica o deslocamento ao longo da direção do vetor \(\boldsymbol{v}\). À medida que \(t\) varia em \(\mathbb{R}\), o ponto
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
descreve todos e apenas os pontos da reta.
Se são conhecidos dois pontos distintos
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
podemos escolher como vetor diretor
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
Neste caso, uma representação paramétrica da reta que passa por \(P_1\) e \(P_2\) é
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Para \(t=0\) obtém-se o ponto \(P_1\), enquanto para \(t=1\) obtém-se o ponto \(P_2\). Os valores de \(t\) no intervalo \([0,1]\) descrevem os pontos do segmento \(P_1P_2\), ao passo que os restantes valores de \(t\) descrevem pontos da reta exteriores ao segmento.
A forma paramétrica é particularmente útil porque descreve da mesma maneira retas oblíquas, horizontais e verticais. Por exemplo, se o vetor diretor é \((0,b)\), com \(b\ne 0\), então a abcissa permanece constante e obtém-se uma reta vertical.
Reta perpendicular a uma reta dada
Duas retas são perpendiculares se se cortam formando quatro ângulos retos. No plano cartesiano, esta condição pode ser expressa de modo simples por meio dos coeficientes angulares, desde que nenhuma das duas retas seja vertical.
Suponhamos que uma reta \(r\) tem por equação
\[ r:\ y=mx+q, \]
com \(m\ne 0\). Então toda reta perpendicular a \(r\) tem coeficiente angular
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
Com efeito, se duas retas não verticais têm coeficientes angulares \(m_1\) e \(m_2\), elas são perpendiculares se e somente se
\[ m_1m_2=-1. \]
Para encontrar a reta perpendicular a \(r\) que passa por um ponto \(P_0(x_0,y_0)\), usa-se então a forma ponto-declive:
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
O ponto \(P_0(x_0,y_0)\) é simplesmente o ponto pelo qual a reta perpendicular deve passar; não tem de pertencer à reta \(r\).
É preciso, porém, distinguir os casos particulares.
- Se \(r\) é horizontal, tem por equação \(y=k\). Toda reta perpendicular a \(r\) é vertical e tem por equação \(x=h\).
- Se \(r\) é vertical, tem por equação \(x=h\). Toda reta perpendicular a \(r\) é horizontal e tem por equação \(y=k\).
De modo mais geral, usando a forma implícita, a reta
\[ ax+by+c=0 \]
tem por vetor normal
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
Uma reta perpendicular a ela tem, portanto, uma direção paralela ao vetor \((a,b)\). Por este motivo, se deve passar por \(P_0(x_0,y_0)\), uma possível equação paramétrica para ela é
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Esta descrição é útil porque funciona igualmente bem tanto nos casos em que a reta de partida é vertical como quando é horizontal.
Problemas resolvidos sobre a reta
Concluímos com alguns problemas resolvidos sobre a equação da reta. Os exemplos mostram como aplicar as fórmulas apresentadas nas secções anteriores: a equação da reta que passa por dois pontos, a reta perpendicular, o coeficiente angular e a forma paramétrica.
Problema 1. Determinar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \(A(1,2)\) e \(B(3,6)\).
Calculemos o coeficiente angular:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Como a reta passa por \(A(1,2)\), usamos a forma ponto-declive:
\[ y-2=2(x-1). \]
Desenvolvendo, obtemos:
\[ y-2=2x-2, \]
donde
\[ y=2x. \]
A equação da reta pretendida é, portanto,
\[ y=2x. \]
Verifiquemos que ambos os pontos pertencem à reta:
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Problema 2. Determinar a equação da reta perpendicular à reta \(y=2x\) que passa pelo ponto \(P(3,6)\).
A reta dada tem coeficiente angular
\[ m=2. \]
Como a reta pretendida deve ser perpendicular à reta dada, o seu coeficiente angular é
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Usemos agora a forma ponto-declive com o ponto \(P(3,6)\):
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
Desenvolvendo:
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
Somando \(6\) a ambos os membros obtemos:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
Logo
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
A equação reduzida da reta pretendida é
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
Em forma implícita:
\[ 2y=-x+15, \]
ou seja,
\[ x+2y-15=0. \]
Verifiquemos que a reta passa por \(P(3,6)\):
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Problema 3. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto \(P(3,4)\) e tem ângulo de inclinação \(30^\circ\) em relação ao semieixo positivo das abcissas.
O coeficiente angular de uma reta não vertical está relacionado com o ângulo de inclinação pela relação
\[ m=\tan\alpha. \]
Neste caso \(\alpha=30^\circ\), logo
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Usemos a forma ponto-declive com \(P(3,4)\):
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
Desenvolvendo:
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
Logo
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
A equação da reta pretendida é, portanto,
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Verifiquemos que a reta passa por \(P(3,4)\):
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Problema 4. Determinar a equação da reta perpendicular à reta \(y=2x\) que passa pelo ponto \(P(4,2)\).
A reta \(y=2x\) tem coeficiente angular
\[ m=2. \]
A reta perpendicular tem, portanto, coeficiente angular
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
Usando a forma ponto-declive com o ponto \(P(4,2)\), obtemos:
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
Desenvolvendo:
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
Logo
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
A equação reduzida da reta pretendida é
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
Em forma implícita:
\[ 2y=-x+8, \]
ou seja,
\[ x+2y-8=0. \]
Verifiquemos que a reta passa por \(P(4,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Problema 5. Escrever a equação paramétrica da reta que passa por \(A(3,-1)\) e \(B(4,1)\). Em seguida, obter a correspondente equação cartesiana.
Calculemos um vetor diretor da reta:
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
Uma representação paramétrica da reta que passa por \(A(3,-1)\) com vetor diretor \(\boldsymbol{v}=(1,2)\) é
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Para passar à forma cartesiana, isolamos \(t\) na primeira equação:
\[ x=3+t, \]
donde
\[ t=x-3. \]
Substituindo na segunda equação:
\[ y=-1+2(x-3). \]
Desenvolvendo:
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
Assim, a forma reduzida da reta é
\[ y=2x-7. \]
Levando todos os termos para o primeiro membro, obtemos a forma implícita:
\[ 2x-y-7=0. \]
Verifiquemos que a reta passa por ambos os pontos:
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
