Uma equação de grau superior é uma equação polinomial cujo grau é maior ou igual a \(3\). Ao contrário das equações de primeiro e segundo grau, não existe uma técnica universal que permita obter diretamente as soluções. A resolução depende da estrutura do polinómio e da capacidade de reduzir a equação a produtos de fatores mais simples.
A ideia fundamental é que um produto é igual a zero se e só se pelo menos um dos seus fatores é igual a zero. Por este motivo, grande parte da teoria das equações de grau superior assenta na fatorização de polinómios.
Em muitos casos a equação não se resolve de forma direta, mas transforma-se o polinómio num produto de fatores de grau inferior. Uma vez obtida esta forma fatorizada, a equação inicial decompõe-se em equações mais simples, habitualmente de primeiro ou segundo grau.
Índice
- O que é uma equação de grau superior
- Princípio de anulação do produto
- Equações resolvíveis por fator comum
- Equações resolvíveis com produtos notáveis
- Equações fatoráveis pela regra de Ruffini
- Equações biquadradas
- Equações trinómicas
- Multiplicidade das soluções
- Estratégia geral de resolução
- Erros a evitar
O que é uma equação de grau superior
Denomina-se equação de grau superior uma equação polinomial da forma:
\[ P(x)=0 \]
onde \(P(x)\) é um polinómio de grau maior ou igual a \(3\).
Por exemplo:
\[ x^3-4x=0, \]
\[ x^4-5x^2+4=0, \]
\[ x^5-2x^4+x^2=0 \]
são todas equações de grau superior.
O grau da equação coincide com o maior expoente da variável depois de reduzidos todos os termos.
Por exemplo, na equação:
\[ x^4-3x^2+1=0 \]
o grau é \(4\), pois o maior expoente de \(x\) é \(4\).
Princípio de anulação do produto
A propriedade fundamental utilizada na resolução das equações de grau superior é o princípio de anulação do produto:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0. \]
De forma mais geral:
\[ A_1\cdot A_2\cdot \dots \cdot A_n=0 \]
se e só se pelo menos um dos fatores é nulo.
Esta propriedade é o núcleo de toda a teoria. Com efeito, uma vez fatorizado o polinómio, a equação inicial transforma-se num produto igual a zero.
Exemplo
Resolvemos:
\[ x^3-4x=0. \]
Extraímos o fator comum \(x\):
\[ x(x^2-4)=0. \]
O polinómio \(x^2-4\) é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtemos assim:
\[ x(x-2)(x+2)=0. \]
Aplicamos o princípio de anulação do produto:
\[ x=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x+2=0. \]
As soluções são:
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=-2. \]
Equações resolvíveis por fator comum
Em muitas equações de grau superior o primeiro passo consiste em extrair um fator comum.
Exemplo
Resolvemos:
\[ x^4-3x^3=0. \]
Todos os termos contêm o fator \(x^3\). Extraindo-o:
\[ x^3(x-3)=0. \]
Aplicamos o princípio de anulação do produto:
\[ x^3=0 \]
ou:
\[ x-3=0. \]
A primeira equação equivale a:
\[ x=0, \]
enquanto a segunda fornece:
\[ x=3. \]
As soluções são, portanto:
\[ S=\{0,3\}. \]
A extração de fator comum é frequentemente o método mais rápido e deve ser sempre a primeira verificação a realizar.
Equações resolvíveis com produtos notáveis
Muitas equações podem ser fatoradas recorrendo a produtos notáveis.
Exemplo
Resolvemos:
\[ x^4-16=0. \]
Observamos que:
\[ 16=4^2. \]
Portanto:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2. \]
Aplicamos a diferença de quadrados:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4). \]
Podemos fatorar ainda mais:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtemos:
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0. \]
Resolvemos cada equação:
\[ x-2=0, \]
\[ x+2=0, \]
\[ x^2+4=0. \]
As duas primeiras dão:
\[ x=2, \qquad x=-2. \]
A equação:
\[ x^2+4=0 \]
não tem soluções reais, uma vez que:
\[ x^2=-4 \]
é impossível nos números reais.
Portanto:
\[ S=\{-2,2\}. \]
Equações fatoráveis pela regra de Ruffini
Quando o polinómio não é imediatamente fatorável, pode ser útil procurar raízes racionais e aplicar a regra de Ruffini.
Exemplo
Resolvemos:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0. \]
Testamos os divisores do termo independente \(6\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6. \]
Substituindo \(x=1\):
\[ 1-6+11-6=0. \]
Logo \(x=1\) é uma raiz do polinómio.
Podemos então dividir o polinómio por \(x-1\) pela regra de Ruffini, obtendo:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
O trinómio fatora-se como:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
A equação torna-se:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0. \]
As soluções são:
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3. \]
Equações biquadradas
Um caso particular de grande importância é o das equações biquadradas, isto é, equações da forma:
\[ ax^4+bx^2+c=0. \]
Nestas equações aparecem apenas \(x^4\), \(x^2\) e o termo independente.
A ideia fundamental consiste em efetuar a mudança de variável:
\[ y=x^2. \]
Deste modo a equação reduz-se a uma de segundo grau.
Exemplo
Resolvemos:
\[ x^4-5x^2+4=0. \]
Efetuamos a mudança de variável:
\[ y=x^2. \]
Obtemos:
\[ y^2-5y+4=0. \]
Fatoramos:
\[ (y-1)(y-4)=0. \]
Portanto:
\[ y=1 \]
ou:
\[ y=4. \]
Regressamos à variável \(x\):
\[ x^2=1 \]
ou:
\[ x^2=4. \]
Resolvendo:
\[ x=\pm1, \qquad x=\pm2. \]
As soluções são:
\[ S=\{-2,-1,1,2\}. \]
Equações trinómicas
Algumas equações de grau superior apresentam uma estrutura análoga à das equações de segundo grau.
Por exemplo:
\[ x^6-5x^3+6=0. \]
Neste caso efetuamos a mudança de variável:
\[ y=x^3. \]
Obtemos:
\[ y^2-5y+6=0. \]
Fatorando:
\[ (y-2)(y-3)=0. \]
Portanto:
\[ y=2 \]
ou:
\[ y=3. \]
Desfazendo a mudança de variável:
\[ x^3=2 \]
ou:
\[ x^3=3. \]
As soluções reais são:
\[ x=\sqrt[3]{2}, \qquad x=\sqrt[3]{3}. \]
Multiplicidade das soluções
Uma raiz pode aparecer repetida na fatorização do polinómio.
Por exemplo:
\[ (x-2)^3(x+1)=0. \]
As soluções são:
\[ x=2 \]
e:
\[ x=-1. \]
Todavia, \(x=2\) aparece três vezes na fatorização, pelo que se diz que é uma raiz tripla.
A multiplicidade de uma raiz reveste particular importância no estudo das funções polinomiais e dos seus gráficos.
Estratégia geral de resolução
Na prática convém seguir sempre um esquema ordenado.
- passar todos os termos para o primeiro membro;
- extrair os fatores comuns possíveis;
- reconhecer produtos notáveis;
- procurar possíveis mudanças de variável;
- aplicar a regra de Ruffini se necessário;
- fatorizar completamente o polinómio;
- aplicar o princípio de anulação do produto.
O objetivo final é sempre o mesmo: transformar a equação num produto de fatores igual a zero.
Erros a evitar
O primeiro erro consiste em esquecer que o princípio:
\[ AB=0 \quad \Longrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
é válido apenas quando o produto é igual a zero.
Por exemplo:
\[ AB=6 \]
não implica de modo algum que:
\[ A=6 \qquad \text{ou} \qquad B=6. \]
O segundo erro consiste em interromper a fatorização demasiado cedo. Por exemplo:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
não está ainda completamente fatorizado, pois:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
O terceiro erro consiste em perder soluções durante as mudanças de variável. Quando se efetua a substituição:
\[ y=x^2, \]
é preciso recordar que de:
\[ x^2=4 \]
resultam duas soluções:
\[ x=2 \qquad \text{e} \qquad x=-2. \]
As equações de grau superior não se resolvem por uma fórmula única, mas através de técnicas de fatorização e transformação do polinómio.
O princípio central é sempre o mesmo: reduzir a equação a um produto de fatores igual a zero e aplicar o princípio de anulação do produto.
Por esta razão, o domínio da fatorização, dos produtos notáveis e da regra de Ruffini é indispensável. As equações de grau superior representam, de facto, um ponto de encontro entre a álgebra elementar, a teoria dos polinómios e o estudo das funções.