Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre equações exponenciais, concebida para aprender não só a encontrar o resultado, mas sobretudo a reconhecer o método a aplicar. Em cada exercício analisaremos a estrutura da equação, compreenderemos qual a transformação mais conveniente e resolveremos tudo passo a passo, sem omitir etapas intermédias.
Recordemos o princípio fundamental: se \(a>0\) e \(a\ne1\), então:
\[ a^u=a^v \quad \Longleftrightarrow \quad u=v \]
Esta propriedade significa que, quando duas potências têm a mesma base positiva e diferente de \(1\), a igualdade entre as potências é equivalente à igualdade entre os expoentes. Por esse motivo, em muitos exercícios o primeiro objetivo será transformar ambos os membros em potências com a mesma base.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 2^x=16 \]
Solução
\[ S=\{4\} \]
Resolução
A equação é exponencial porque a incógnita \(x\) aparece no expoente:
\[ 2^x=16 \]
O primeiro membro é já uma potência de base \(2\). Para podermos comparar os expoentes, temos de escrever também o segundo membro como potência de \(2\).
Observemos que:
\[ 16=2^4 \]
com efeito:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
Substituindo \(16\) por \(2^4\), a equação passa a ser:
\[ 2^x=2^4 \]
Agora os dois membros são potências com a mesma base \(2\). Como:
\[ 2>0 \quad \text{e} \quad 2\ne1 \]
podemos aplicar a injetividade da função exponencial e igualar os expoentes:
\[ x=4 \]
Portanto:
\[ S=\{4\} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 3^x=81 \]
Solução
\[ S=\{4\} \]
Resolução
Esta é também uma equação exponencial, porque a incógnita \(x\) se encontra no expoente.
O primeiro membro é uma potência de base \(3\):
\[ 3^x \]
Para usar o método da mesma base, temos de reescrever também o segundo membro como potência de \(3\).
Calculemos as potências sucessivas de \(3\):
\[ 3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81 \]
Logo:
\[ 81=3^4 \]
A equação pode portanto ser reescrita como:
\[ 3^x=3^4 \]
Neste ponto as bases são iguais. Não estamos a eliminar o \(3\) de forma mecânica: estamos a usar o facto de que a função exponencial de base \(3\) é injetiva.
Portanto os expoentes devem ser iguais:
\[ x=4 \]
A solução é:
\[ S=\{4\} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 5^{x-1}=25 \]
Solução
\[ S=\{3\} \]
Resolução
O primeiro membro é uma potência de base \(5\), mas o expoente não é simplesmente \(x\): é \(x-1\).
Isto não altera o método. Temos igualmente de tentar escrever o segundo membro como potência da mesma base.
Como:
\[ 25=5^2 \]
podemos reescrever a equação na forma:
\[ 5^{x-1}=5^2 \]
Temos agora duas potências com a mesma base \(5\). Como:
\[ 5>0 \quad \text{e} \quad 5\ne1 \]
podemos igualar os expoentes:
\[ x-1=2 \]
Esta já não é uma equação exponencial, mas uma simples equação linear. Adicionamos \(1\) a ambos os membros:
\[ x=2+1 \]
logo:
\[ x=3 \]
Portanto:
\[ S=\{3\} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 2^{2x+1}=32 \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
A equação contém uma potência de base \(2\):
\[ 2^{2x+1} \]
O segundo membro é o número \(32\). Antes de podermos comparar os expoentes, temos de escrever \(32\) como potência de \(2\).
Como:
\[ 32=2^5 \]
a equação passa a ser:
\[ 2^{2x+1}=2^5 \]
As duas potências têm a mesma base positiva e diferente de \(1\). Podemos portanto igualar os expoentes:
\[ 2x+1=5 \]
Resolvemos agora a equação linear obtida. Subtraímos \(1\) a ambos os membros:
\[ 2x=5-1 \]
logo:
\[ 2x=4 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\):
\[ x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 4^x=64 \]
Solução
\[ S=\{3\} \]
Resolução
O primeiro membro é uma potência de base \(4\):
\[ 4^x \]
Para resolver a equação com o método da mesma base, temos de escrever também o segundo membro como potência de \(4\).
Observemos que:
\[ 64=4^3 \]
com efeito:
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
A equação torna-se então:
\[ 4^x=4^3 \]
As duas potências têm agora a mesma base \(4\). Como \(4>0\) e \(4\ne1\), podemos igualar os expoentes:
\[ x=3 \]
Portanto:
\[ S=\{3\} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 9^x=3^{x+2} \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Nesta equação as bases não coincidem: no primeiro membro aparece a base \(9\), enquanto no segundo aparece a base \(3\).
Contudo, o número \(9\) pode ser escrito como potência de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Reescrevemos então o primeiro membro:
\[ 9^x=(3^2)^x \]
Aplicamos agora a propriedade da potência de uma potência:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Obtemos assim:
\[ (3^2)^x=3^{2x} \]
A equação inicial torna-se então:
\[ 3^{2x}=3^{x+2} \]
Agora os dois membros são potências com a mesma base positiva e diferente de \(1\). Podemos portanto igualar os expoentes:
\[ 2x=x+2 \]
Subtraímos \(x\) a ambos os membros:
\[ 2x-x=2 \]
logo:
\[ x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 8^x=4^{x+1} \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas bases diferentes:
\[ 8 \quad \text{e} \quad 4 \]
Antes de comparar os expoentes, temos de encontrar uma base comum.
Observemos que tanto \(8\) como \(4\) são potências de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
e:
\[ 4=2^2 \]
Reescrevemos então ambos os membros.
Para o primeiro membro:
\[ 8^x=(2^3)^x \]
Aplicando a propriedade da potência de uma potência obtemos:
\[ (2^3)^x=2^{3x} \]
Para o segundo membro:
\[ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1} \]
Aplicando novamente a mesma propriedade:
\[ (2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)} \]
A equação passa a ser:
\[ 2^{3x}=2^{2(x+1)} \]
Agora as bases coincidem, pelo que podemos igualar os expoentes:
\[ 3x=2(x+1) \]
Desenvolvemos o segundo membro:
\[ 3x=2x+2 \]
Subtraímos \(2x\) a ambos os membros:
\[ 3x-2x=2 \]
logo:
\[ x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolve a equação:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=8 \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
No primeiro membro aparece o produto de duas potências com a mesma base:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2} \]
Quando se multiplicam potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Aplicando esta propriedade obtemos:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=2^{(x+1)+(x-2)} \]
Simplificamos agora o expoente:
\[ (x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1 \]
O primeiro membro torna-se então:
\[ 2^{2x-1} \]
A equação toma assim a forma:
\[ 2^{2x-1}=8 \]
Escrevemos agora também \(8\) como potência de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obtemos:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Como as bases coincidem, igualamos os expoentes:
\[ 2x-1=3 \]
Adicionamos \(1\) a ambos os membros:
\[ 2x=4 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\):
\[ x=2 \]
A solução é:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolve a equação:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=27 \]
Solução
\[ S=\mathbb{R} \]
Resolução
No primeiro membro aparece um quociente de potências com a mesma base:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} \]
Quando se dividem potências com a mesma base, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\ne0) \]
Aplicamos esta propriedade:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} = 3^{(x+2)-(x-1)} \]
Simplificamos com atenção o expoente:
\[ (x+2)-(x-1)=x+2-x+1 \]
logo:
\[ (x+2)-(x-1)=3 \]
O primeiro membro torna-se portanto:
\[ 3^3 \]
Como:
\[ 3^3=27 \]
a equação inicial reduz-se a:
\[ 27=27 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira e não impõe qualquer condição sobre a incógnita \(x\).
Todo o número real satisfaz portanto a equação.
Portanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolve a equação:
\[ 5^{2x}=125\cdot5^x \]
Solução
\[ S=\{3\} \]
Resolução
No segundo membro aparece o número \(125\) multiplicado por uma potência de \(5\). Para trabalhar com uma única base, reescrevemos \(125\) como potência de \(5\).
Como:
\[ 125=5^3 \]
obtemos:
\[ 125\cdot5^x=5^3\cdot5^x \]
Utilizamos agora a propriedade do produto de potências com a mesma base:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Logo:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{3+x} \]
ou seja:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{x+3} \]
A equação inicial torna-se:
\[ 5^{2x}=5^{x+3} \]
Agora as bases coincidem, pelo que podemos igualar os expoentes:
\[ 2x=x+3 \]
Subtraímos \(x\) a ambos os membros:
\[ 2x-x=3 \]
logo:
\[ x=3 \]
Portanto:
\[ S=\{3\} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolve a equação:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Solução
\[ S=\{0,2\} \]
Resolução
Nesta equação não podemos resolver diretamente igualando as bases, porque a incógnita aparece em vários termos:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Contudo, observemos uma estrutura importante:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Isto significa que a equação pode ser interpretada como uma equação do segundo grau na quantidade \(2^x\).
Introduzimos então a substituição:
\[ t=2^x \]
Como uma potência de base positiva é sempre positiva, devemos impor:
\[ t>0 \]
Substituindo na equação obtemos:
\[ t^2-5t+4=0 \]
Já não temos uma equação exponencial, mas uma equação do segundo grau normal.
Procuramos dois números cujo produto seja \(4\) e cuja soma seja \(-5\). Esses números são \(-1\) e \(-4\).
Podemos portanto fatorizar o trinómio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
A equação torna-se:
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
Um produto é nulo quando pelo menos um dos fatores é nulo. Obtemos portanto:
\[ t-1=0 \]
ou:
\[ t-4=0 \]
Do que resulta:
\[ t=1 \]
ou:
\[ t=4 \]
Ambos os valores são positivos, logo respeitam a condição \(t>0\).
Voltemos agora à variável inicial.
Se:
\[ t=1 \]
então:
\[ 2^x=1 \]
Recordemos que:
\[ 1=2^0 \]
logo:
\[ 2^x=2^0 \]
do que resulta:
\[ x=0 \]
Se, por outro lado:
\[ t=4 \]
então:
\[ 2^x=4 \]
Como:
\[ 4=2^2 \]
obtemos:
\[ 2^x=2^2 \]
logo:
\[ x=2 \]
As soluções finais são:
\[ S=\{0,2\} \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolve a equação:
\[ 3^{2x}-10\cdot3^x+9=0 \]
Solução
\[ S=\{0,2\} \]
Resolução
Também nesta equação aparece uma estrutura semelhante à de um trinómio do segundo grau.
Com efeito:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2 \]
Introduzimos então a substituição:
\[ t=3^x \]
Como uma potência positiva é sempre positiva:
\[ t>0 \]
Substituindo na equação obtemos:
\[ t^2-10t+9=0 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(9\) e cuja soma seja \(-10\). Esses números são \(-1\) e \(-9\).
Podemos portanto fatorizar:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
A equação torna-se:
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
Um produto é nulo quando pelo menos um dos fatores é nulo. Obtemos portanto:
\[ t=1 \]
ou:
\[ t=9 \]
Ambas as soluções respeitam a condição \(t>0\).
Voltemos agora à variável inicial.
Se:
\[ t=1 \]
então:
\[ 3^x=1 \]
Uma vez que:
\[ 1=3^0 \]
obtemos:
\[ 3^x=3^0 \]
logo:
\[ x=0 \]
Se, por outro lado:
\[ t=9 \]
então:
\[ 3^x=9 \]
Como:
\[ 9=3^2 \]
obtemos:
\[ 3^x=3^2 \]
do que resulta:
\[ x=2 \]
As soluções finais são:
\[ S=\{0,2\} \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolve a equação:
\[ 4^x-6\cdot2^x+8=0 \]
Solução
\[ S=\{1,2\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem tanto \(4^x\) como \(2^x\). Para poder usar uma substituição, temos de começar por expressar tudo em função da mesma base.
Observemos que:
\[ 4=2^2 \]
logo:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicando a propriedade da potência de uma potência:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Além disso:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
A equação inicial torna-se então:
\[ (2^x)^2-6\cdot2^x+8=0 \]
Introduzimos agora a substituição:
\[ t=2^x \]
com a condição:
\[ t>0 \]
Obtemos assim:
\[ t^2-6t+8=0 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(8\) e cuja soma seja \(-6\). Esses números são \(-2\) e \(-4\).
Podemos portanto fatorizar:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
A equação torna-se:
\[ (t-2)(t-4)=0 \]
Do que resulta:
\[ t=2 \]
ou:
\[ t=4 \]
Ambas as soluções são positivas, logo aceitáveis.
Voltemos à variável inicial.
Se:
\[ t=2 \]
então:
\[ 2^x=2 \]
ou seja:
\[ 2^x=2^1 \]
do que resulta:
\[ x=1 \]
Se, por outro lado:
\[ t=4 \]
então:
\[ 2^x=4 \]
Como:
\[ 4=2^2 \]
obtemos:
\[ 2^x=2^2 \]
logo:
\[ x=2 \]
As soluções finais são:
\[ S=\{1,2\} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolve a equação:
\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]
Solução
\[ S=\{3\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas potências com a mesma base \(2\), mas com expoentes diferentes:
\[ 2^{x+1} \quad \text{e} \quad 2^x \]
A ideia é reescrever ambas as potências em função da mesma quantidade, isto é, \(2^x\).
Observemos que:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
Como:
\[ 2^1=2 \]
obtemos:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Substituímos esta expressão na equação inicial:
\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]
Os dois termos do primeiro membro têm agora o fator comum \(2^x\). Podemos portanto colocá-lo em evidência:
\[ 2^x(2+1)=24 \]
Calculamos a soma entre parênteses:
\[ 2+1=3 \]
A equação torna-se:
\[ 3\cdot2^x=24 \]
Dividimos ambos os membros por \(3\):
\[ 2^x=8 \]
Escrevemos agora \(8\) como potência de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obtemos:
\[ 2^x=2^3 \]
Como as bases coincidem, igualamos os expoentes:
\[ x=3 \]
A solução é:
\[ S=\{3\} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolve a equação:
\[ 3^{x+2}-3^x=72 \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas potências com a mesma base \(3\), mas com expoentes diferentes:
\[ 3^{x+2} \quad \text{e} \quad 3^x \]
A ideia é reescrever \(3^{x+2}\) de modo a colocar em evidência o fator comum \(3^x\).
Usando a propriedade:
\[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n \]
podemos escrever:
\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2 \]
Como:
\[ 3^2=9 \]
resulta:
\[ 3^{x+2}=9\cdot3^x \]
Substituímos na equação inicial:
\[ 9\cdot3^x-3^x=72 \]
Os dois termos do primeiro membro têm o fator comum \(3^x\). Colocamo-lo em evidência:
\[ 3^x(9-1)=72 \]
Calculamos:
\[ 9-1=8 \]
Logo:
\[ 8\cdot3^x=72 \]
Dividimos ambos os membros por \(8\):
\[ 3^x=9 \]
Escrevemos agora \(9\) como potência de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Obtemos:
\[ 3^x=3^2 \]
Como as bases coincidem, igualamos os expoentes:
\[ x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolve a equação:
\[ 2^{x+2}-2^{x+1}=8 \]
Solução
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas potências de base \(2\):
\[ 2^{x+2} \quad \text{e} \quad 2^{x+1} \]
Para simplificar a expressão, convém reescrever ambas em função de \(2^x\).
Para a primeira potência:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot2^2 \]
Como:
\[ 2^2=4 \]
obtemos:
\[ 2^{x+2}=4\cdot2^x \]
Para a segunda potência:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
e portanto:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Substituímos estas expressões na equação inicial:
\[ 4\cdot2^x-2\cdot2^x=8 \]
Colocamos em evidência o fator comum \(2^x\):
\[ 2^x(4-2)=8 \]
Calculamos:
\[ 4-2=2 \]
Logo:
\[ 2\cdot2^x=8 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\):
\[ 2^x=4 \]
Escrevemos \(4\) como potência de \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Portanto:
\[ 2^x=2^2 \]
Igualando os expoentes:
\[ x=2 \]
A solução é:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolve a equação:
\[ 2^x+2^{-x}=\frac{5}{2} \]
Solução
\[ S=\{-1,1\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas potências relacionadas entre si:
\[ 2^x \quad \text{e} \quad 2^{-x} \]
A presença do expoente negativo sugere o uso da propriedade:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]
Aplicando-a obtemos:
\[ 2^{-x}=\frac{1}{2^x} \]
A equação torna-se então:
\[ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} \]
Neste ponto a quantidade \(2^x\) aparece repetidamente. Introduzimos então a substituição:
\[ t=2^x \]
Como uma potência de base positiva é sempre positiva, devemos recordar que:
\[ t>0 \]
Além disso:
\[ \frac{1}{2^x}=\frac{1}{t} \]
A equação transforma-se em:
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \]
Para eliminar o denominador multiplicamos ambos os membros por \(2t\).
Esta operação é legítima porque \(t>0\), logo:
\[ 2t\ne0 \]
Obtemos:
\[ 2t\left(t+\frac{1}{t}\right)=2t\cdot\frac{5}{2} \]
Desenvolvemos o primeiro membro:
\[ 2t\cdot t+2t\cdot\frac{1}{t}=5t \]
ou seja:
\[ 2t^2+2=5t \]
Transportamos todos os termos para o primeiro membro:
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Fatoriza-se o trinómio:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
A equação torna-se:
\[ (2t-1)(t-2)=0 \]
Pela lei do anulamento do produto:
\[ 2t-1=0 \]
ou:
\[ t-2=0 \]
No primeiro caso:
\[ 2t=1 \]
logo:
\[ t=\frac{1}{2} \]
No segundo caso:
\[ t=2 \]
Ambos os valores respeitam a condição \(t>0\).
Voltemos agora à variável inicial.
Se:
\[ t=\frac{1}{2} \]
então:
\[ 2^x=\frac{1}{2} \]
Como:
\[ \frac{1}{2}=2^{-1} \]
obtemos:
\[ 2^x=2^{-1} \]
logo:
\[ x=-1 \]
Se, por outro lado:
\[ t=2 \]
então:
\[ 2^x=2 \]
ou seja:
\[ 2^x=2^1 \]
do que resulta:
\[ x=1 \]
As soluções finais são:
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolve a equação:
\[ 3^x=7 \]
Solução
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Resolução
Nesta equação a incógnita \(x\) aparece no expoente:
\[ 3^x=7 \]
O primeiro membro é uma potência de base \(3\). Para usar o método da mesma base, teríamos de conseguir escrever também \(7\) como potência de \(3\).
Contudo, \(7\) não é uma potência inteira de \(3\). Com efeito:
\[ 3^1=3 \]
enquanto:
\[ 3^2=9 \]
O número \(7\) situa-se entre \(3\) e \(9\), mas não coincide com nenhuma potência inteira de \(3\).
Isto não significa que a equação seja impossível. Significa apenas que a solução não se obtém com um expoente inteiro simples.
Para determinar o expoente a que é necessário elevar \(3\) para obter \(7\), usamos o logaritmo de base \(3\).
Por definição:
\[ \log_3 7 \]
é precisamente o expoente a que é necessário elevar \(3\) para obter \(7\).
Logo:
\[ 3^x=7 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_3 7 \]
A solução é:
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolve a equação:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Solução
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Resolução
A equação é exponencial porque a incógnita aparece no expoente:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
O primeiro membro é uma potência de base \(2\). Se o segundo membro fosse uma potência de \(2\), poderíamos igualar diretamente os expoentes.
Contudo, \(5\) não é uma potência inteira de \(2\). Com efeito:
\[ 2^2=4 \]
enquanto:
\[ 2^3=8 \]
O número \(5\) está compreendido entre \(4\) e \(8\), pelo que a solução existe, mas não é um número inteiro.
Para isolar o expoente \(3x-1\), usamos o logaritmo de base \(2\). Aplicando o logaritmo de base \(2\) a ambos os membros obtemos:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=\log_2 5 \]
O logaritmo de base \(2\) e a exponencial de base \(2\) são operações inversas. Por esse motivo:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=3x-1 \]
A equação torna-se então:
\[ 3x-1=\log_2 5 \]
Já não temos uma equação exponencial, mas uma simples equação linear na incógnita \(x\).
Adicionamos \(1\) a ambos os membros:
\[ 3x=1+\log_2 5 \]
Dividimos ambos os membros por \(3\):
\[ x=\frac{1+\log_2 5}{3} \]
A solução é:
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolve a equação:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
Solução
\[ S=\{1\} \]
Resolução
Nesta equação aparecem duas potências diferentes:
\[ 4^x \quad \text{e} \quad 2^x \]
A presença de \(4^x\) e \(2^x\) sugere que se reescreva tudo em função da mesma quantidade.
Como:
\[ 4=2^2 \]
podemos transformar \(4^x\) do seguinte modo:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicando a propriedade da potência de uma potência:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Além disso:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Logo:
\[ 4^x=(2^x)^2 \]
A equação inicial:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
torna-se:
\[ (2^x)^2+2^x-6=0 \]
Neste ponto a estrutura é semelhante à de uma equação do segundo grau. Introduzimos então a substituição:
\[ t=2^x \]
Como uma potência de base positiva é sempre positiva, devemos impor:
\[ t>0 \]
Substituindo obtemos:
\[ t^2+t-6=0 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(-6\) e cuja soma seja \(1\). Esses números são \(3\) e \(-2\).
Podemos portanto fatorizar:
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2) \]
A equação torna-se:
\[ (t+3)(t-2)=0 \]
Pela lei do anulamento do produto, pelo menos um dos dois fatores deve ser nulo. Obtemos:
\[ t+3=0 \]
ou:
\[ t-2=0 \]
No primeiro caso:
\[ t=-3 \]
No segundo caso:
\[ t=2 \]
Recordemos porém a condição da substituição:
\[ t>0 \]
O valor \(t=-3\) deve ser descartado, porque não pode existir nenhum número real \(x\) tal que:
\[ 2^x=-3 \]
Resta portanto apenas:
\[ t=2 \]
Voltemos à variável inicial. Como:
\[ t=2^x \]
da condição \(t=2\) obtemos:
\[ 2^x=2 \]
ou seja:
\[ 2^x=2^1 \]
Como as bases coincidem, igualamos os expoentes:
\[ x=1 \]
A solução final é:
\[ S=\{1\} \]