Uma colectânea progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre equações paramétricas, concebida para aprender não apenas a encontrar a solução, mas sobretudo a discutir correctamente todos os casos possíveis em função do parâmetro.
Em cada exercício analisaremos com atenção quando é possível dividir, quais os valores do parâmetro que devem ser excluídos e em que situações a equação se torna determinada, impossível ou indeterminada.
Recordemos a ideia fundamental: nas equações paramétricas nunca se deve tratar o parâmetro como um número certamente diferente de zero. Antes de dividir ou simplificar uma expressão que contém o parâmetro, é sempre necessário verificar para que valores essa expressão se pode anular.
Por exemplo, na equação:
\[ (a-1)x=3 \]
não podemos dividir imediatamente por \(a-1\), porque:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
e a divisão por zero não é admitida.
Por este motivo, a resolução de uma equação paramétrica exige quase sempre uma discussão dos casos.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ ax=6 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
A incógnita da equação é \(x\), enquanto \(a\) é um parâmetro real.
A equação é:
\[ ax=6 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) é \(a\).
Não podemos dividir imediatamente ambos os membros por \(a\), pois o parâmetro poderia assumir o valor:
\[ a=0 \]
e a divisão por zero não está definida.
Devemos portanto distinguir dois casos.
Caso \(a\ne0\)
Se:
\[ a\ne0 \]
então podemos dividir ambos os membros da equação por \(a\):
\[ x=\frac{6}{a} \]
Para cada valor fixo do parâmetro \(a\) com \(a\ne0\), a equação admite uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \]
Caso \(a=0\)
Se em vez disso:
\[ a=0 \]
substituímos este valor do parâmetro na equação inicial:
\[ 0\cdot x=6 \]
ou seja:
\[ 0=6 \]
Esta igualdade é falsa, pois zero não é igual a seis.
Não existe portanto nenhum valor real de \(x\) que torne a equação verdadeira.
A equação é então impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-2)x=4 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
A incógnita da equação é \(x\), enquanto \(a\) é um parâmetro real.
A equação é:
\[ (a-2)x=4 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) é:
\[ a-2 \]
Antes de dividir ambos os membros por \(a-2\), temos de verificar quando esta quantidade se anula.
Resolvemos portanto:
\[ a-2=0 \]
Obtemos:
\[ a=2 \]
Devemos então discutir separadamente os dois casos.
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
então:
\[ a-2\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a-2\):
\[ x=\frac{4}{a-2} \]
A equação admite logo uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Se em vez disso:
\[ a=2 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (2-2)x=4 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=4 \]
pelo que:
\[ 0=4 \]
Esta igualdade é falsa.
Não existe nenhum valor real de \(x\) que satisfaça a equação.
A equação é portanto impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a+1)x=0 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{0\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
A equação é:
\[ (a+1)x=0 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a+1 \]
Antes de dividir por esta quantidade, temos de verificar quando se pode anular.
Resolvemos portanto:
\[ a+1=0 \]
Obtemos:
\[ a=-1 \]
Distinguimos então dois casos.
Caso \(a\ne-1\)
Se:
\[ a\ne-1 \]
então:
\[ a+1\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a+1\):
\[ x=0 \]
A equação admite portanto uma única solução:
\[ S=\{0\} \]
Caso \(a=-1\)
Se em vez disso:
\[ a=-1 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (-1+1)x=0 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
pelo que:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor atribuído a \(x\).
Qualquer número real satisfaz portanto a equação.
A equação é então indeterminada.
Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne3 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \\ a=3 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-3)x=a+1 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-3 \]
Antes de dividir por esta quantidade, temos de verificar quando se anula.
Resolvemos:
\[ a-3=0 \]
Obtemos:
\[ a=3 \]
Devemos então discutir separadamente os dois casos.
Caso \(a\ne3\)
Se:
\[ a\ne3 \]
então:
\[ a-3\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a-3\):
\[ x=\frac{a+1}{a-3} \]
A equação admite logo uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \]
Caso \(a=3\)
Se em vez disso:
\[ a=3 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (3-3)x=3+1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=4 \]
pelo que:
\[ 0=4 \]
Esta igualdade é falsa.
A equação é portanto impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-2 \]
Antes de dividir por esta quantidade, temos de verificar quando se anula.
Resolvemos portanto:
\[ a-2=0 \]
donde:
\[ a=2 \]
Devemos distinguir dois casos.
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
então podemos dividir ambos os membros por \(a-2\):
\[ x=\frac{2a-4}{a-2} \]
Observamos agora que no numerador podemos colocar o factor comum \(2\) em evidência:
\[ 2a-4=2(a-2) \]
Obtemos então:
\[ x=\frac{2(a-2)}{a-2} \]
Uma vez que no caso em apreço vale:
\[ a-2\ne0 \]
podemos simplificar:
\[ x=2 \]
A equação admite logo uma única solução:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=2\)
Se em vez disso:
\[ a=2 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (2-2)x=2\cdot2-4 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
pelo que:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira.
Qualquer número real satisfaz portanto a equação.
A equação é então indeterminada.
Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Solução
\[ \begin{cases} a \ne \pm 1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a^2-1 \]
Antes de dividir por esta quantidade, temos de verificar quando se anula.
Resolvemos portanto:
\[ a^2-1=0 \]
Trata-se de uma diferença de quadrados:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtemos assim:
\[ (a-1)(a+1)=0 \]
donde:
\[ a=1 \]
ou:
\[ a=-1 \]
Devemos portanto discutir três casos distintos.
Caso \(a\ne\pm1\)
Se:
\[ a\ne1 \qquad \text{e} \qquad a\ne-1 \]
então:
\[ a^2-1\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a^2-1\):
\[ x=\frac{a+1}{a^2-1} \]
Factorizamos o denominador:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtemos:
\[ x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} \]
Uma vez que no caso em apreço vale:
\[ a+1\ne0 \]
podemos simplificar o factor \(a+1\):
\[ x=\frac{1}{a-1} \]
A equação admite portanto uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se:
\[ a=1 \]
substituímos na equação inicial:
\[ (1^2-1)x=1+1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=2 \]
pelo que:
\[ 0=2 \]
Esta igualdade é impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Caso \(a=-1\)
Se em vez disso:
\[ a=-1 \]
substituímos na equação:
\[ ((-1)^2-1)x=-1+1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
pelo que:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira.
Qualquer número real satisfaz portanto a equação.
Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-1)x+2=a \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-1)x+2=a \]
Começamos por isolar o termo que contém a incógnita.
Subtraímos \(2\) em ambos os membros:
\[ (a-1)x=a-2 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-1 \]
Temos de verificar quando este coeficiente se anula.
Resolvemos:
\[ a-1=0 \]
Obtemos:
\[ a=1 \]
Distinguimos portanto dois casos.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
então podemos dividir ambos os membros por \(a-1\):
\[ x=\frac{a-2}{a-1} \]
A equação admite logo uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se em vez disso:
\[ a=1 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (1-1)x+2=1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x+2=1 \]
pelo que:
\[ 2=1 \]
Esta igualdade é falsa.
A equação é portanto impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Solução
Para qualquer valor real de \( a \): \[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
No segundo membro aparece um produto. Aplicamos a propriedade distributiva:
\[ a(x+1)=ax+a \]
A equação torna-se então:
\[ (a+2)x=ax+a \]
Desenvolvemos agora o primeiro membro:
\[ ax+2x=ax+a \]
Transportamos todos os termos em \(x\) para o primeiro membro.
Subtraímos \(ax\) em ambos os membros:
\[ ax+2x-ax=a \]
Os termos \(ax\) cancelam-se:
\[ 2x=a \]
Dividimos ambos os membros por \(2\):
\[ x=\frac{a}{2} \]
Neste exercício não surge qualquer condição sobre o parâmetro, pois o coeficiente da incógnita após as simplificações é o número \(2\), que nunca se anula.
A equação admite portanto sempre uma e uma só solução real.
Pelo que:
\[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne4 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=4 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) é:
\[ a-4 \]
Antes de dividir por \(a-4\), temos de verificar quando esta quantidade se anula.
Resolvemos:
\[ a-4=0 \]
Obtemos:
\[ a=4 \]
Devemos portanto distinguir dois casos.
Caso \(a\ne4\)
Se:
\[ a\ne4 \]
então:
\[ a-4\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a-4\):
\[ x=\frac{2a-8}{a-4} \]
Factorizamos o numerador colocando \(2\) em evidência:
\[ 2a-8=2(a-4) \]
Assim:
\[ x=\frac{2(a-4)}{a-4} \]
Como estamos a trabalhar no caso \(a\ne4\), podemos simplificar o factor \(a-4\):
\[ x=2 \]
Logo:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=4\)
Se em vez disso:
\[ a=4 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (4-4)x=2\cdot4-8 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=8-8 \]
pelo que:
\[ 0\cdot x=0 \]
A igualdade:
\[ 0=0 \]
é sempre verdadeira, independentemente do valor de \(x\).
A equação é portanto indeterminada e qualquer número real é solução:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne-3 & \Rightarrow S=\{a-3\} \\ a=-3 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) é:
\[ a+3 \]
Antes de dividir por \(a+3\), temos de determinar quando este coeficiente se anula:
\[ a+3=0 \]
donde:
\[ a=-3 \]
Distinguimos então os casos.
Caso \(a\ne-3\)
Se:
\[ a\ne-3 \]
então:
\[ a+3\ne0 \]
Podemos dividir ambos os membros por \(a+3\):
\[ x=\frac{a^2-9}{a+3} \]
Factorizamos o numerador como diferença de quadrados:
\[ a^2-9=(a-3)(a+3) \]
Obtemos:
\[ x=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} \]
Uma vez que no caso \(a\ne-3\) vale \(a+3\ne0\), podemos simplificar:
\[ x=a-3 \]
Portanto:
\[ S=\{a-3\} \]
Caso \(a=-3\)
Se em vez disso:
\[ a=-3 \]
substituímos na equação inicial:
\[ (-3+3)x=(-3)^2-9 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=9-9 \]
pelo que:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor real de \(x\).
A equação é portanto indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 11 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Solução
\[ \begin{cases} a \ne 2 \ \text{e}\ a \ne -2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a^2-4 \]
Antes de dividir por esta quantidade, temos de verificar quando se anula.
Resolvemos portanto:
\[ a^2-4=0 \]
Factorizamos como diferença de quadrados:
\[ a^2-4=(a-2)(a+2) \]
Obtemos:
\[ (a-2)(a+2)=0 \]
donde:
\[ a=2 \]
ou:
\[ a=-2 \]
Devemos portanto discutir três casos distintos.
Caso \(a\ne2\) e \(a\ne-2\)
Se:
\[ a\ne2 \qquad \text{e} \qquad a\ne-2 \]
então:
\[ a^2-4\ne0 \]
Podemos dividir ambos os membros por \(a^2-4\):
\[ x=\frac{a-2}{a^2-4} \]
Substituímos a factorização do denominador:
\[ x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)} \]
Uma vez que no caso em apreço vale:
\[ a-2\ne0 \]
podemos simplificar o factor \(a-2\):
\[ x=\frac{1}{a+2} \]
A equação admite portanto uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Se:
\[ a=2 \]
substituímos na equação inicial:
\[ (2^2-4)x=2-2 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira.
A equação é portanto indeterminada e qualquer número real é solução:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(a=-2\)
Se em vez disso:
\[ a=-2 \]
substituímos na equação:
\[ ((-2)^2-4)x=-2-2 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=-4 \]
pelo que:
\[ 0=-4 \]
Esta igualdade é impossível.
A equação não admite soluções.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 12 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Trata-se de um produto igual a zero.
Recordemos a lei de anulação do produto:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
No nosso caso os dois factores são:
\[ a-1 \]
e:
\[ x-2 \]
Importa no entanto ter atenção: o parâmetro \(a\) não é a incógnita da equação. A incógnita é apenas \(x\).
Por este motivo devemos discutir os valores do parâmetro.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
então:
\[ a-1\ne0 \]
O primeiro factor não se pode portanto anular.
Para que o produto seja nulo, é então necessário que se anule o segundo factor:
\[ x-2=0 \]
donde:
\[ x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Se em vez disso:
\[ a=1 \]
o primeiro factor torna-se:
\[ a-1=0 \]
A equação assume então a forma:
\[ 0\cdot(x-2)=0 \]
ou seja:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de \(x\).
Qualquer número real satisfaz portanto a equação.
Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne-2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
O factor \(a+2\) aparece em ambos os membros, mas não podemos simplificá-lo imediatamente sem discutir o caso em que se anula.
Estudamos portanto:
\[ a+2=0 \]
donde:
\[ a=-2 \]
Distinguimos dois casos.
Caso \(a\ne-2\)
Se:
\[ a\ne-2 \]
então:
\[ a+2\ne0 \]
Podemos dividir ambos os membros por \(a+2\):
\[ x-1=1 \]
Adicionamos \(1\) a ambos os membros:
\[ x=2 \]
Logo:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=-2\)
Se em vez disso:
\[ a=-2 \]
substituímos na equação inicial:
\[ (-2+2)(x-1)=-2+2 \]
ou seja:
\[ 0\cdot(x-1)=0 \]
pelo que:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de \(x\).
A equação é portanto indeterminada e qualquer número real é solução:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Solução
\[ S=\{a\} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Desenvolvemos ambos os membros.
O primeiro membro é:
\[ (a-1)x=ax-x \]
O segundo membro é:
\[ a(x-1)=ax-a \]
A equação torna-se:
\[ ax-x=ax-a \]
Subtraímos \(ax\) em ambos os membros:
\[ ax-x-ax=ax-a-ax \]
ou seja:
\[ -x=-a \]
Multiplicamos ambos os membros por \(-1\):
\[ x=a \]
Neste exercício não é necessário distinguir casos particulares, pois após a simplificação o coeficiente da incógnita é \(-1\), que nunca se anula.
Assim, para qualquer valor real do parâmetro \(a\), a equação admite uma única solução:
\[ S=\{a\} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Solução
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Para \(a=1\) a equação não está definida.
Resolução
Nesta equação o parâmetro aparece no denominador:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Antes de resolver, temos de impor a condição de existência do denominador.
O denominador não pode ser nulo:
\[ a-1\ne0 \]
portanto:
\[ a\ne1 \]
Se \(a=1\), a equação não tem significado, pois surgiria uma divisão por zero.
Para \(a\ne1\), podemos multiplicar ambos os membros por \(a-1\):
\[ x=2(a-1) \]
Desenvolvemos:
\[ x=2a-2 \]
Portanto:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolve e discute a equação:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Solução
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Para \(a=-2\) a equação não está definida.
Resolução
Nesta equação o parâmetro aparece no denominador:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Antes de resolver a equação, temos de determinar para que valores do parâmetro ela faz sentido.
O denominador não pode ser igual a zero:
\[ a+2\ne0 \]
portanto:
\[ a\ne-2 \]
Se \(a=-2\), a equação não está definida, pois surgiria uma divisão por zero.
Suponhamos portanto:
\[ a\ne-2 \]
Neste caso podemos multiplicar ambos os membros por \(a+2\):
\[ x-1=3(a+2) \]
Desenvolvemos o segundo membro:
\[ x-1=3a+6 \]
Adicionamos \(1\) a ambos os membros:
\[ x=3a+7 \]
Portanto:
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
Resolve e discute a equação:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-1 \]
Antes de dividir por \(a-1\), temos de verificar quando este coeficiente se anula:
\[ a-1=0 \]
portanto:
\[ a=1 \]
Devemos distinguir dois casos.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
então:
\[ a-1\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a-1\):
\[ x=\frac{2a-2}{a-1} \]
Factorizamos o numerador colocando o factor comum \(2\) em evidência:
\[ 2a-2=2(a-1) \]
Assim:
\[ x=\frac{2(a-1)}{a-1} \]
Como no caso em apreço \(a-1\ne0\), podemos simplificar:
\[ x=2 \]
Logo:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Se em vez disso:
\[ a=1 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (1-1)x=2\cdot1-2 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
pelo que:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor real de \(x\).
A equação é portanto indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Resolve e discute a equação:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) é:
\[ a+1 \]
Antes de dividir por \(a+1\), temos de verificar quando este coeficiente se anula:
\[ a+1=0 \]
portanto:
\[ a=-1 \]
Distinguimos dois casos.
Caso \(a\ne-1\)
Se:
\[ a\ne-1 \]
então:
\[ a+1\ne0 \]
Podemos dividir ambos os membros por \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Factorizamos o numerador como diferença de quadrados:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtemos:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Uma vez que no caso em apreço \(a+1\ne0\), podemos simplificar o factor \(a+1\):
\[ x=a-1 \]
Portanto:
\[ S=\{a-1\} \]
Caso \(a=-1\)
Se em vez disso:
\[ a=-1 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
pelo que:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor real de \(x\).
A equação é portanto indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolve e discute a equação:
\[ ax+a=2x+2 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{-1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ ax+a=2x+2 \]
Transportamos os termos em \(x\) para o primeiro membro e os termos sem \(x\) para o segundo membro.
Subtraímos \(2x\) em ambos os membros:
\[ ax-2x+a=2 \]
Subtraímos agora \(a\) em ambos os membros:
\[ ax-2x=2-a \]
Colocamos \(x\) em evidência no primeiro membro:
\[ x(a-2)=2-a \]
Observamos que:
\[ 2-a=-(a-2) \]
A equação torna-se então:
\[ x(a-2)=-(a-2) \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-2 \]
Devemos portanto distinguir o caso em que \(a-2\ne0\) do caso em que \(a-2=0\).
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
então:
\[ a-2\ne0 \]
Podemos dividir ambos os membros por \(a-2\):
\[ x=-1 \]
Logo:
\[ S=\{-1\} \]
Caso \(a=2\)
Se em vez disso:
\[ a=2 \]
substituímos na equação inicial:
\[ 2x+2=2x+2 \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor real de \(x\).
A equação é portanto indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolve e discute a equação:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Solução
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolução
Consideremos a equação:
\[ (a-1)x=a+3 \]
O coeficiente da incógnita \(x\) depende do parâmetro \(a\). Por este motivo não podemos resolver imediatamente a equação dividindo por \(a-1\): é necessário verificar primeiro quando este coeficiente se anula.
Estudamos portanto a condição:
\[ a-1=0 \]
de onde obtemos:
\[ a=1 \]
Devemos portanto distinguir dois casos.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
então:
\[ a-1\ne0 \]
Podemos então dividir ambos os membros por \(a-1\):
\[ x=\frac{a+3}{a-1} \]
Neste caso a equação admite uma única solução.
Portanto:
\[ S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se em vez disso:
\[ a=1 \]
substituímos este valor na equação inicial:
\[ (1-1)x=1+3 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=4 \]
Obtemos então:
\[ 0=4 \]
Esta igualdade é impossível, pois zero não pode ser igual a quatro.
Não existe portanto nenhum número real que satisfaça a equação.
A equação é então impossível.
Logo:
\[ S=\varnothing \]
As equações paramétricas de primeiro grau permitem compreender como o comportamento de uma equação se altera em função de um parâmetro. Ao contrário das equações numéricas tradicionais, não basta efectuar os cálculos de forma mecânica: é necessário analisar com atenção os valores do parâmetro que podem anular o coeficiente da incógnita.
Em muitos exercícios verificámos que:
\[ ax+b=0 \]
se comporta de forma diferente consoante o valor do coeficiente \(a\):
- se \(a\ne0\), a equação admite uma única solução;
- se \(a=0\), a equação pode tornar-se impossível ou indeterminada.
Por este motivo, no estudo das equações paramétricas é fundamental:
- identificar o coeficiente da incógnita;
- determinar quando esse coeficiente se anula;
- discutir separadamente todos os casos possíveis.
Este tipo de raciocínio não é útil apenas nas equações de primeiro grau: constitui uma técnica fundamental que será aplicada também no estudo de sistemas, inequações, funções e problemas mais avançados de álgebra.