As equações paramétricas são equações nas quais, além da incógnita, aparecem uma ou mais letras que representam valores não fixados. Essas letras chamam-se parâmetros.
Por exemplo:
\[ (a-1)x=2 \]
é uma equação paramétrica na incógnita \(x\), com parâmetro \(a\).
A presença do parâmetro altera profundamente a forma de resolver a equação. Com efeito, não se procura uma única solução numérica, mas estuda-se como varia o conjunto de soluções à medida que o parâmetro varia.
Por outras palavras, uma equação paramétrica não coloca apenas a questão:
«qual é o valor da incógnita?»
mas também:
«para que valores do parâmetro a equação tem uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções?»
O que é um parâmetro
Um parâmetro é uma letra que aparece numa equação mas não é considerada a incógnita principal.
Na equação:
\[ ax+1=0 \]
a incógnita é \(x\), enquanto \(a\) é um parâmetro.
Isto significa que \(a\) pode tomar diferentes valores reais e, para cada valor de \(a\), obtém-se uma equação diferente.
Por exemplo:
se \(a=2\), a equação torna-se:
\[ 2x+1=0 \]
se \(a=-1\), torna-se:
\[ -x+1=0 \]
se \(a=0\), torna-se:
\[ 1=0 \]
Este último caso mostra desde logo por que razão os parâmetros devem ser tratados com cuidado: certos valores podem alterar completamente a natureza da equação.
Equação paramétrica do primeiro grau
Consideremos a forma geral:
\[ A(a)x=B(a) \]
onde \(A(a)\) e \(B(a)\) são expressões que dependem do parâmetro \(a\).
A resolução depende do coeficiente da incógnita \(x\), isto é, de \(A(a)\).
Se:
\[ A(a)\ne0 \]
podemos dividir ambos os membros por \(A(a)\), obtendo:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Se, pelo contrário:
\[ A(a)=0 \]
não podemos dividir por \(A(a)\). Neste caso é necessário substituir o valor do parâmetro na equação e verificar o que resta.
O ponto central: nunca dividir por uma quantidade que pode ser nula
O erro mais frequente nas equações paramétricas consiste em dividir por uma expressão que depende do parâmetro sem verificar previamente quando essa expressão se anula.
Por exemplo, a partir da equação:
\[ (a-1)x=2 \]
seria incorrecto escrever imediatamente:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
sem antes observar que:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
De facto, se \(a=1\), a equação torna-se:
\[ 0\cdot x=2 \]
ou seja:
\[ 0=2 \]
o que é impossível.
Portanto, a fórmula:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
é válida apenas para:
\[ a\ne1 \]
Discussão dos casos
Resolver uma equação paramétrica significa frequentemente fazer uma discussão, isto é, separar os valores do parâmetro em casos distintos.
A discussão serve para determinar:
- para que valores do parâmetro a equação é determinada;
- para que valores é impossível;
- para que valores é indeterminada.
No caso de uma equação do primeiro grau:
\[ A(a)x=B(a) \]
há três possibilidades.
Caso \(A(a)\ne0\)
A equação admite uma única solução:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Caso \(A(a)=0\) e \(B(a)\ne0\)
A equação torna-se:
\[ 0\cdot x=B(a) \]
com \(B(a)\ne0\). Obtém-se assim uma igualdade falsa:
\[ 0=B(a) \]
e a equação é impossível.
Caso \(A(a)=0\) e \(B(a)=0\)
A equação torna-se:
\[ 0\cdot x=0 \]
ou seja:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é sempre verdadeira, pelo que qualquer número real é solução.
Neste caso a equação é indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Primeiro exemplo resolvido
Resolvamos e discutamos a equação:
\[ ax=4 \]
A incógnita é \(x\), enquanto \(a\) é um parâmetro real.
O coeficiente de \(x\) é \(a\). Há que distinguir dois casos.
Caso \(a\ne0\)
Se \(a\ne0\), podemos dividir ambos os membros por \(a\):
\[ x=\frac{4}{a} \]
Portanto, para \(a\ne0\), a equação tem uma única solução:
\[ S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \]
Caso \(a=0\)
Se \(a=0\), a equação torna-se:
\[ 0\cdot x=4 \]
ou seja:
\[ 0=4 \]
Esta igualdade é falsa. Logo, a equação não tem soluções:
\[ S=\varnothing \]
Em síntese:
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Segundo exemplo resolvido
Resolvamos e discutamos:
\[ (a-2)x=a-2 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a-2 \]
Antes de dividir por \(a-2\), é necessário determinar quando este coeficiente se anula:
\[ a-2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=2 \]
Caso \(a\ne2\)
Se \(a\ne2\), então \(a-2\ne0\). Podemos portanto dividir ambos os membros por \(a-2\):
\[ x=\frac{a-2}{a-2} \]
Como \(a-2\ne0\), a fracção vale:
\[ x=1 \]
Portanto:
\[ S=\{1\} \]
Caso \(a=2\)
Se \(a=2\), substituímos na equação inicial:
\[ (2-2)x=2-2 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=0 \]
portanto:
\[ 0=0 \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor de \(x\). Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Em síntese:
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Terceiro exemplo resolvido
Resolvamos e discutamos:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
O coeficiente da incógnita é:
\[ a+1 \]
É necessário distinguir o caso em que este coeficiente é não nulo do caso em que se anula.
Resolvemos:
\[ a+1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=-1 \]
Caso \(a\ne-1\)
Se \(a\ne-1\), então \(a+1\ne0\). Podemos dividir ambos os membros por \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Factorizamos agora o numerador:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Portanto:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Como estamos a trabalhar no caso \(a\ne-1\), temos \(a+1\ne0\), pelo que podemos simplificar:
\[ x=a-1 \]
Assim:
\[ S=\{a-1\} \]
Caso \(a=-1\)
Se \(a=-1\), substituímos na equação inicial:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
ou seja:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
portanto:
\[ 0=0 \]
A equação é verdadeira para qualquer valor real de \(x\). Logo:
\[ S=\mathbb{R} \]
Em síntese:
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Equações paramétricas com parâmetro no denominador
Em algumas equações o parâmetro aparece no denominador. Nestes casos, o primeiro passo não é resolver a equação, mas determinar para que valores do parâmetro a equação está definida.
Consideremos:
\[ \frac{x}{a-1}=3 \]
O denominador não pode ser nulo, pelo que é necessário impor:
\[ a-1\ne0 \]
ou seja:
\[ a\ne1 \]
Só para \(a\ne1\) a equação está definida. Nesse caso, podemos multiplicar ambos os membros por \(a-1\):
\[ x=3(a-1) \]
portanto:
\[ x=3a-3 \]
Em síntese:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a-3\} \]
Para:
\[ a=1 \]
a equação não está definida, pois o denominador seria nulo.
Equações paramétricas do segundo grau
As equações paramétricas podem também ser do segundo grau. Neste caso, o parâmetro pode influenciar o discriminante e, consequentemente, o número de soluções reais.
Consideremos uma forma geral:
\[ Ax^2+Bx+C=0 \]
onde pelo menos um dos coeficientes \(A\), \(B\), \(C\) depende de um parâmetro.
Se \(A\ne0\), a equação é do segundo grau e estuda-se o discriminante:
\[ \Delta=B^2-4AC \]
Conforme o sinal de \(\Delta\), distinguem-se três casos:
- se \(\Delta>0\), a equação tem duas soluções reais distintas;
- se \(\Delta=0\), a equação tem duas soluções reais coincidentes;
- se \(\Delta<0\), a equação não tem soluções reais.
Se, pelo contrário, \(A=0\), a equação deixa de ser do segundo grau e deve ser tratada como equação do primeiro grau.
Exemplo de equação paramétrica do segundo grau
Discutamos a equação:
\[ x^2-2x+a=0 \]
Neste caso o parâmetro \(a\) aparece no termo independente.
O coeficiente de \(x^2\) é \(1\), pelo que a equação é sempre do segundo grau.
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot a \]
ou seja:
\[ \Delta=4-4a \]
Factorizando \(4\):
\[ \Delta=4(1-a) \]
O número de soluções reais depende do sinal de \(1-a\).
Caso \(\Delta>0\)
Temos:
\[ 4(1-a)>0 \]
Como \(4>0\), o sinal depende de \(1-a\):
\[ 1-a>0 \]
portanto:
\[ a<1 \]
Para \(a<1\), a equação tem duas soluções reais distintas.
Caso \(\Delta=0\)
Temos:
\[ 4(1-a)=0 \]
ou seja:
\[ 1-a=0 \]
portanto:
\[ a=1 \]
Para \(a=1\), a equação tem duas soluções reais coincidentes.
Caso \(\Delta<0\)
Temos:
\[ 4(1-a)<0 \]
portanto:
\[ 1-a<0 \]
donde:
\[ a>1 \]
Para \(a>1\), a equação não tem soluções reais.
Em síntese:
\[ \begin{cases} a<1 & \text{duas soluções reais distintas} \\ a=1 & \text{duas soluções reais coincidentes} \\ a>1 & \text{nenhuma solução real} \end{cases} \]
Observação final
As equações paramétricas exigem um raciocínio mais cuidadoso do que as equações numéricas. O parâmetro não é um mero símbolo decorativo: pode alterar o grau da equação, anular coeficientes, tornar impossível uma divisão ou modificar o número de soluções.
Por esta razão, o método correcto não consiste em resolver mecanicamente, mas em discutir os casos.
Em particular, sempre que uma quantidade depende do parâmetro, é necessário perguntar se pode anular-se. Só após essa verificação é possível dividir, simplificar ou aplicar as fórmulas resolutivas de forma rigorosa.
Compreender as equações paramétricas significa, portanto, aprender a ler uma equação não como um único problema, mas como uma família de problemas, um para cada valor do parâmetro.