O estudo do sinal de uma função consiste em determinar para que valores da variável a função toma valores positivos, negativos ou nulos.
Por outras palavras, dada uma função \(f\), pretendemos estabelecer onde se verifica:
\[ f(x)>0,\qquad f(x)=0,\qquad f(x)<0. \]
Este procedimento é fundamental no estudo de equações, inequações, funções polinomiais, funções racionais e, de um modo geral, no estudo do gráfico de uma função.
Índice
- O que significa estudar o sinal de uma função
- Conjunto de positividade, de negatividade e zeros
- Método geral para o estudo do sinal
- Estudo do sinal de um produto
- Estudo do sinal de uma função racional
- Zeros de multiplicidade par e ímpar
- Factores sempre positivos ou sempre negativos
- Exemplo resolvido completo
- Erros frequentes
O que significa estudar o sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função significa determinar em que intervalos do seu domínio a função é positiva, negativa ou nula.
Do ponto de vista geométrico:
- \(f(x)>0\) significa que o gráfico da função se encontra acima do eixo \(x\);
- \(f(x)<0\) significa que o gráfico da função se encontra abaixo do eixo \(x\);
- \(f(x)=0\) significa que o gráfico intersecta ou toca o eixo \(x\).
Os zeros da função são, portanto, os pontos em que o gráfico encontra o eixo das abcissas.
Conjunto de positividade, de negatividade e zeros
Seja \(f\) uma função definida num domínio \(D_f\).
Chama-se conjunto de positividade ao conjunto dos valores \(x\in D_f\) para os quais:
\[ f(x)>0. \]
Chama-se conjunto de negatividade ao conjunto dos valores \(x\in D_f\) para os quais:
\[ f(x)<0. \]
Os zeros da função são os valores do domínio para os quais:
\[ f(x)=0. \]
É importante sublinhar que os zeros têm de pertencer ao domínio da função. Um valor que anule um denominador, por exemplo, não é um zero da função: é um ponto excluído do domínio.
Método geral para o estudo do sinal
O método geral para estudar o sinal de uma função algébrica assenta em algumas etapas fundamentais.
1. Determinar o domínio
O primeiro passo consiste em determinar o domínio \(D_f\), isto é, o conjunto dos valores para os quais a função está definida.
Por exemplo, se:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
o denominador não pode ser nulo. Logo:
\[ x+3\neq 0. \]
Portanto:
\[ x\neq -3. \]
O domínio é:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}. \]
2. Factorizar a função
Sempre que possível, deve-se decompor a função em factores simples.
Por exemplo:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
A factorização permite estudar separadamente o sinal de cada factor.
3. Encontrar os zeros e os pontos excluídos
Os zeros da função obtêm-se anulando o numerador ou, no caso de um produto, anulando pelo menos um dos factores.
Os pontos excluídos obtêm-se a partir dos valores que anulam o denominador ou que tornam a função indefinida.
4. Ordenar os pontos críticos na recta real
Os zeros e os pontos excluídos dividem a recta real em intervalos. Em cada um desses intervalos o sinal da função permanece constante, desde que a função seja composta por factores contínuos e não se anule no interior do intervalo.
5. Construir o quadro de sinais
Por fim, constrói-se um quadro de sinais, estudando o sinal de cada factor em cada intervalo e combinando depois os resultados.
Estudo do sinal de um produto
Consideremos uma função escrita como produto de factores:
\[ f(x)=A(x)\cdot B(x). \]
O sinal de \(f(x)\) depende do sinal dos dois factores.
Recordamos as regras fundamentais:
\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+, \]
enquanto que:
\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=-. \]
Assim, um produto é positivo quando contém um número par de factores negativos, e negativo quando contém um número ímpar de factores negativos.
Exemplo
Estudemos o sinal de:
\[ f(x)=(x+1)(x-3). \]
Os zeros são:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Os pontos \(-1\) e \(3\) dividem a recta real nos intervalos:
\[ (-\infty,-1),\qquad (-1,3),\qquad (3,+\infty). \]
Estudamos o sinal dos factores:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,3) & (3,+\infty)\\ \hline x+1 & - & + & +\\ x-3 & - & - & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Portanto:
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-1 \text{ ou } x>3, \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-1 \text{ e } x=3, \]
\[ f(x)<0 \text{ para } -1<x<3. \]
Estudo do sinal de uma função racional
Uma função racional tem a forma:
\[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}. \]
Neste caso é necessário distinguir com muito cuidado:
- os zeros do numerador, que podem ser zeros da função;
- os zeros do denominador, que são pontos excluídos do domínio.
Uma fracção é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal:
\[ \frac{+}{+}=+,\qquad \frac{-}{-}=+. \]
É negativa quando o numerador e o denominador têm sinais opostos:
\[ \frac{+}{-}=-,\qquad \frac{-}{+}=-. \]
Exemplo
Estudemos o sinal de:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
O denominador anula-se para:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Portanto:
\[ x\neq -3. \]
O numerador anula-se para:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
Estudamos o sinal nos intervalos determinados por \(-3\) e \(1\):
\[ (-\infty,-3),\qquad (-3,1),\qquad (1,+\infty). \]
O quadro de sinais é:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty)\\ \hline x-1 & - & - & +\\ x+3 & - & + & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Portanto:
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ ou } x>1, \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=1, \]
\[ f(x)<0 \text{ para } -3<x<1. \]
O ponto \(x=-3\), por sua vez, não é um zero: está excluído do domínio.
Zeros de multiplicidade par e ímpar
Um aspecto muito importante no estudo do sinal diz respeito à multiplicidade dos zeros.
Consideremos um factor do tipo:
\[ (x-a)^m. \]
O número \(m\) chama-se multiplicidade do zero \(x=a\).
Multiplicidade ímpar
Se \(m\) é ímpar, o factor muda de sinal ao atravessar \(x=a\).
Por exemplo:
\[ (x-2)^3 \]
é negativo para \(x<2\) e positivo para \(x>2\).
Com efeito:
\[ (x-2)^3<0 \text{ para } x<2, \]
enquanto que:
\[ (x-2)^3>0 \text{ para } x>2. \]
Multiplicidade par
Se \(m\) é par, o factor não muda de sinal ao atravessar \(x=a\).
Por exemplo:
\[ (x-2)^2 \]
é sempre não negativo:
\[ (x-2)^2\ge 0 \]
para todo o \(x\in\mathbb{R}\), anulando-se apenas em \(x=2\).
Em particular:
\[ (x-2)^2>0 \text{ para } x\neq 2. \]
Por este motivo, num quadro de sinais, um zero de multiplicidade par não origina uma mudança de sinal.
Factores sempre positivos ou sempre negativos
Alguns factores nunca mudam de sinal.
Por exemplo:
\[ x^2+1>0 \]
para todo o \(x\in\mathbb{R}\), pois \(x^2\ge 0\) e, consequentemente, \(x^2+1\) é sempre estritamente positivo.
Também um quadrado como:
\[ (x-3)^2 \]
é sempre não negativo:
\[ (x-3)^2\ge 0. \]
Anula-se apenas em \(x=3\), mas não muda de sinal ao atravessar esse ponto.
Estas observações são muito úteis porque permitem simplificar o estudo do sinal.
Exemplo resolvido completo
Estudemos o sinal da função:
\[ f(x)=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)}. \]
Domínio
O denominador é:
\[ x^2(x+3). \]
O denominador anula-se para:
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
ou para:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Portanto:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}. \]
Zeros da função
Os zeros obtêm-se anulando o numerador:
\[ (x+1)^2(x-2)=0. \]
Logo:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
O valor \(x=-1\) é um zero duplo, pois aparece o factor \((x+1)^2\).
Estudo do sinal dos factores
Os factores a considerar são:
\[ (x+1)^2,\qquad x-2,\qquad x^2,\qquad x+3. \]
Os factores \((x+1)^2\) e \(x^2\) são sempre não negativos e não mudam de sinal.
O sinal da função depende, portanto, dos factores \(x-2\) e \(x+3\), tendo em conta os zeros e os pontos excluídos.
Os pontos críticos são:
\[ -3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad 2. \]
O quadro de sinais é:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & (-3,-1) & (-1,0) & (0,2) & (2,+\infty)\\ \hline (x+1)^2 & + & + & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & +\\ x^2 & + & + & + & + & +\\ x+3 & - & + & + & + & +\\ \hline f(x) & + & - & - & - & + \end{array} \]
Conclusão
A função é positiva para:
\[ x<-3 \text{ ou } x>2. \]
A função é negativa para:
\[ -3<x<0 \text{ ou } 0<x<2. \]
A função anula-se para:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Os pontos:
\[ x=-3,\qquad x=0 \]
estão excluídos do domínio.
Erros frequentes no estudo do sinal
Esquecer o domínio
Nas funções racionais, a determinação do domínio é o primeiro passo. Um valor que anule o denominador deve ser excluído, mesmo que posteriormente um factor seja simplificado.
Confundir zeros com pontos excluídos
Um zero da função é um valor para o qual \(f(x)=0\). Um ponto excluído do domínio, pelo contrário, não pertence à função.
Por exemplo, na função:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
\(x=1\) é um zero, enquanto \(x=-3\) é um ponto excluído do domínio.
Ignorar a multiplicidade dos zeros
Um zero de multiplicidade ímpar produz uma mudança de sinal. Um zero de multiplicidade par, pelo contrário, não produz qualquer mudança de sinal.
Simplificar sem conservar as exclusões
Consideremos:
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}. \]
Para \(x\neq 2\), podemos simplificar o factor \(x-2\):
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Todavia, o valor \(x=2\) continua excluído do domínio da função original.
Este é um ponto fundamental: uma simplificação pode alterar a expressão, mas não elimina as condições de existência da função de partida.
Em conclusão, o estudo do sinal é um procedimento essencial para compreender o comportamento de uma função. O método correcto consiste em determinar o domínio, factorizar a expressão, identificar os zeros e os pontos excluídos, estudar o sinal de cada factor e combinar, por fim, toda a informação no quadro de sinais.