Exercício 1 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ 3x^2 + 6x \]
Resultado
\[ 3x(x + 2) \]
Resolução
Ideia-chave
Procura-se o máximo fator comum (MFC) entre todos os termos do polinômio. Neste caso, o MFC é \(3x\).
Identificação do MFC
Os coeficientes \(3\) e \(6\) têm MDC \(3\). A variável \(x\) aparece em ambos os termos com expoente pelo menos \(1\). Portanto, MFC \(= 3x\).
Colocação em evidência
\[ 3x^2 + 6x = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 = 3x(x + 2) \]
Verificação
\[ 3x(x+2) = 3x^2 + 6x \]
Resultado
\[ \boxed{3x(x+2)} \]
Exercício 2 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Resultado
\[ 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Resolução
Identificação do MFC
Os coeficientes \(4, 8, 12\) têm MDC \(4\). A variável \(x\) aparece em todos os termos com expoente pelo menos \(1\). Portanto, MFC \(= 4x\).
Colocação em evidência
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x = 4x\cdot x^2 - 4x\cdot 2x + 4x\cdot 3 = 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Verificação
\[ 4x(x^2-2x+3) = 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Resultado
\[ \boxed{4x(x^2 - 2x + 3)} \]
Exercício 3 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Resultado
\[ 3xy(2x - 3y + 1) \]
Resolução
Identificação do MFC
Os coeficientes \(6, 9, 3\) têm MDC \(3\). A variável \(x\) aparece com expoente pelo menos \(1\), assim como a variável \(y\). Portanto, MFC \(= 3xy\).
Colocação em evidência
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy = 3xy\cdot2x - 3xy\cdot3y + 3xy\cdot1 = 3xy(2x - 3y + 1) \]
Verificação
\[ 3xy(2x-3y+1) = 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Resultado
\[ \boxed{3xy(2x - 3y + 1)} \]
Exercício 4 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 - 16 \]
Resultado
\[ (x-4)(x+4) \]
Resolução
Ideia-chave
Reconhece-se a diferença de dois quadrados: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) com \(a = x\) e \(b = 4\).
Aplicação da fórmula
\[ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) \]
Verificação
\[ (x-4)(x+4) = x^2+4x-4x-16 = x^2-16 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-4)(x+4)} \]
Exercício 5 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ 9x^2 - 25 \]
Resultado
\[ (3x-5)(3x+5) \]
Resolução
Ideia-chave
Reconhece-se a diferença de dois quadrados com \(a = 3x\) e \(b = 5\).
Aplicação da fórmula
\[ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5) \]
Verificação
\[ (3x-5)(3x+5) = 9x^2+15x-15x-25 = 9x^2-25 \]
Resultado
\[ \boxed{(3x-5)(3x+5)} \]
Exercício 6 de 25/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 + 6x + 9 \]
Resultado
\[ (x+3)^2 \]
Resolução
Ideia-chave
Reconhece-se o trinômio quadrado perfeito: \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) com \(a=x\) e \(b=3\).
Verificação da estrutura
Primeiro termo: \(x^2 = x^2\) \(\checkmark\)
Termo central: \(6x = 2\cdot x\cdot3\) \(\checkmark\)
Último termo: \(9 = 3^2\) \(\checkmark\)
Resultado
\[ \boxed{(x+3)^2} \]
Exercício 7 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + 5x + 6 \]
Resultado
\[ (x+2)(x+3) \]
Resolução
Ideia-chave
Um trinômio da forma \(x^2+bx+c\) se fatora como \((x+p)(x+q)\) onde \(p+q=b\) e \(p\cdot q=c\).
Busca de \(p\) e \(q\)
Procuram-se dois números cujo produto seja \(6\) e cuja soma seja \(5\):
\[ p\cdot q = 6 \qquad p + q = 5 \implies p = 2,\; q = 3 \]
Fatoração
\[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \]
Verificação
\[ (x+2)(x+3) = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6 \]
Resultado
\[ \boxed{(x+2)(x+3)} \]
Exercício 8 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 \]
Resultado
\[ (x-3)(x-4) \]
Resolução
Busca de \(p\) e \(q\)
Procuram-se dois números cujo produto seja \(12\) e cuja soma seja \(-7\):
\[ p\cdot q = 12 \qquad p+q = -7 \implies p=-3,\; q=-4 \]
Fatoração
\[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Verificação
\[ (x-3)(x-4) = x^2-4x-3x+12 = x^2-7x+12 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-3)(x-4)} \]
Exercício 9 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \]
Resultado
\[ (x+3)(x-2) \]
Resolução
Busca de \(p\) e \(q\)
Procuram-se dois números cujo produto seja \(-6\) e cuja soma seja \(1\):
\[ p\cdot q = -6 \qquad p+q=1 \implies p=3,\; q=-2 \]
Fatoração
\[ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \]
Verificação
\[ (x+3)(x-2) = x^2-2x+3x-6 = x^2+x-6 \]
Resultado
\[ \boxed{(x+3)(x-2)} \]
Exercício 10 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 7x + 3 \]
Resultado
\[ (2x+1)(x+3) \]
Resolução
Ideia-chave
Para um trinômio \(ax^2+bx+c\) com \(a\neq1\) utiliza-se o método do produto \(a\cdot c\): procuram-se dois números cujo produto seja \(ac = 6\) e cuja soma seja \(b = 7\).
Produto \(ac\) e busca dos fatores
\[ a\cdot c = 2\cdot3 = 6 \qquad p+q=7 \implies p=1,\; q=6 \]
Decomposição do termo central
\[ 2x^2+7x+3 = 2x^2+x+6x+3 \]
Fatoração por agrupamento
\[ = x(2x+1)+3(2x+1) = (2x+1)(x+3) \]
Verificação
\[ (2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3 \]
Resultado
\[ \boxed{(2x+1)(x+3)} \]
Exercício 11 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 10x + 3 \]
Resultado
\[ (3x-1)(x-3) \]
Resolução
Produto \(ac\) e busca dos fatores
\[ a\cdot c = 3\cdot3 = 9 \qquad p+q=-10 \implies p=-1,\; q=-9 \]
Decomposição do termo central
\[ 3x^2-10x+3 = 3x^2-x-9x+3 \]
Fatoração por agrupamento
\[ = x(3x-1)-3(3x-1) = (3x-1)(x-3) \]
Verificação
\[ (3x-1)(x-3) = 3x^2-9x-x+3 = 3x^2-10x+3 \]
Resultado
\[ \boxed{(3x-1)(x-3)} \]
Exercício 12 de 25/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ 6x^2 + x - 2 \]
Resultado
\[ (3x+2)(2x-1) \]
Resolução
Produto \(ac\) e busca dos fatores
\[ a\cdot c = 6\cdot(-2) = -12 \qquad p+q=1 \implies p=4,\; q=-3 \]
Decomposição do termo central
\[ 6x^2+x-2 = 6x^2+4x-3x-2 \]
Fatoração por agrupamento
\[ = 2x(3x+2)-(3x+2) = (3x+2)(2x-1) \]
Verificação
\[ (3x+2)(2x-1) = 6x^2-3x+4x-2 = 6x^2+x-2 \]
Resultado
\[ \boxed{(3x+2)(2x-1)} \]
Exercício 13 de 25/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ x^3 - x \]
Resultado
\[ x(x-1)(x+1) \]
Resolução
Primeiro passo: colocação de \(x\) em evidência
\[ x^3 - x = x(x^2 - 1) \]
Segundo passo: diferença de dois quadrados
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Fatoração completa
\[ x^3-x = x(x-1)(x+1) \]
Verificação
\[ x(x-1)(x+1) = x(x^2-1) = x^3-x \]
Resultado
\[ \boxed{x(x-1)(x+1)} \]
Exercício 14 de 25/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ x^3 + 8 \]
Resultado
\[ (x+2)(x^2 - 2x + 4) \]
Resolução
Ideia-chave
Reconhece-se a soma de dois cubos: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) com \(a=x\) e \(b=2\).
Aplicação da fórmula
\[ x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \]
Verificação
\[ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8 = x^3+8 \]
Resultado
\[ \boxed{(x+2)(x^2-2x+4)} \]
Exercício 15 de 25/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ x^3 - 27 \]
Resultado
\[ (x-3)(x^2+3x+9) \]
Resolução
Ideia-chave
Reconhece-se a diferença de dois cubos: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) com \(a=x\) e \(b=3\).
Aplicação da fórmula
\[ x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) \]
Verificação
\[ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3+3x^2+9x-3x^2-9x-27 = x^3-27 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-3)(x^2+3x+9)} \]
Exercício 16 de 25/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ x^3 - x^2 - x + 1 \]
Resultado
\[ (x-1)^2(x+1) \]
Resolução
Ideia-chave
Aplica-se a fatoração por agrupamento, reunindo os termos dois a dois.
Agrupamento dos termos
\[ (x^3-x^2)+(-x+1) = x^2(x-1)-(x-1) \]
Colocação em evidência do fator \((x-1)\)
\[ (x-1)(x^2-1) \]
Fatoração adicional: diferença de dois quadrados
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1) \]
Verificação
\[ (x-1)^2(x+1) = (x^2-2x+1)(x+1) = x^3+x^2-2x^2-2x+x+1 = x^3-x^2-x+1 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-1)^2(x+1)} \]
Exercício 17 de 25/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \]
Resultado
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Resolução
Fatoração por agrupamento
\[ (2x^3+x^2)+(-2x-1) = x^2(2x+1)-(2x+1) \]
Colocação em evidência do fator \((2x+1)\)
\[ (2x+1)(x^2-1) \]
Diferença de dois quadrados
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Verificação
\[ (2x+1)(x^2-1) = 2x^3-2x+x^2-1 = 2x^3+x^2-2x-1 \]
Resultado
\[ \boxed{(2x+1)(x-1)(x+1)} \]
Exercício 18 de 25/03/2026 — nível ★★★★★
\[ x^4 - 1 \]
Resultado
\[ (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Resolução
Primeiro passo: diferença de dois quadrados
\[ x^4-1 = (x^2)^2-1^2 = (x^2-1)(x^2+1) \]
Segundo passo: nova diferença de dois quadrados
\[ x^2-1 = (x-1)(x+1) \]
O fator \(x^2+1\) é irredutível sobre \(\mathbb{R}\) (discriminante \(-4 < 0\)).
Fatoração completa
\[ x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Verificação
\[ (x^2-1)(x^2+1) = x^4+x^2-x^2-1 = x^4-1 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \]
Exercício 19 de 25/03/2026 — nível ★★★★★
\[ x^4 - 5x^2 + 4 \]
Resultado
\[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Resolução
Ideia-chave
Trata-se de um trinômio biquadrático. Realiza-se a substituição \(t = x^2\) para reduzi-lo a um trinômio de segundo grau em \(t\).
Substituição \(t = x^2\)
\[ t^2-5t+4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0 \implies t=1 \text{ ou } t=4 \]
Retorno à variável \(x\)
\[ t=1 \implies x^2-1=(x-1)(x+1) \]
\[ t=4 \implies x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Fatoração completa
\[ x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Verificação
\[ (x^2-1)(x^2-4) = x^4-4x^2-x^2+4 = x^4-5x^2+4 \]
Resultado
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} \]
Exercício 20 de 25/03/2026 — nível ★★★★★
\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \]
Resultado
\[ (x+3)(x-2)(x+2) \]
Resolução
Fatoração por agrupamento
\[ (x^3+3x^2)+(-4x-12) = x^2(x+3)-4(x+3) \]
Colocação em evidência do fator \((x+3)\)
\[ (x+3)(x^2-4) \]
Diferença de dois quadrados
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \]
Fatoração completa
\[ x^3+3x^2-4x-12 = (x+3)(x-2)(x+2) \]
Verificação
\[ (x+3)(x^2-4) = x^3-4x+3x^2-12 = x^3+3x^2-4x-12 \]
Resultado
\[ \boxed{(x+3)(x-2)(x+2)} \]