Exercícios resolvidos sobre as propriedades das potências

\[ 128 \]

Ideia central

As duas potências têm a mesma base, \(2\). Aplica-se a propriedade do produto de potências com a mesma base: somam-se os expoentes e a base permanece inalterada.

Propriedade aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identificação de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Aplicação da propriedade

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Cálculo numérico

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Resultado

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Ideia central

As duas potências têm a mesma base, \(5\). Aplica-se a propriedade do quociente de potências com a mesma base: subtrai-se o expoente do divisor ao do dividendo.

Propriedade aplicada

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identificação de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Aplicação da propriedade

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Cálculo numérico

\[ 5^2 = 25 \]

Resultado

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Ideia central

Uma potência está elevada a um expoente. Aplica-se a propriedade da potência de uma potência: multiplicam-se os dois expoentes.

Propriedade aplicada

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identificação de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Aplicação da propriedade

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Cálculo numérico

\[ 3^6 = 729 \]

Resultado

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Ideia central

O produto de dois fatores está elevado a um expoente. A propriedade da potência de um produto permite distribuir o expoente por cada fator.

Propriedade aplicada

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identificação de \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Aplicação da propriedade

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Cálculo numérico

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Resultado

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Ideia central

Um quociente está elevado a um expoente. Pode-se aplicar a propriedade da potência de um quociente, ou simplificar primeiro a fração.

Método 1 — simplificação direta

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Método 2 — propriedade da potência de um quociente

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Resultado

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Ideia central

Como no exercício 1, mas com base literal \(x\). Somam-se os expoentes.

Propriedade aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicação

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Resultado

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Propriedade aplicada

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (x \neq 0) \]

Aplicação

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Resultado

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Propriedade aplicada

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Aplicação

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Resultado

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Ideia central

Aplica-se a propriedade da potência de um produto com \(a = 3\) e \(b = x\). Atenção: o expoente deve ser distribuído também sobre o coeficiente numérico, não apenas sobre a variável.

Propriedade aplicada

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Aplicação

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Cálculo

\[ 3^3 = 27 \]

Resultado

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Propriedade aplicada

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Aplicação

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Ideia central

Qualquer base não nula elevada a \(0\) é igual a \(1\). Isso decorre da propriedade do quociente: \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), e também \(a^m \div a^m = 1\).

Propriedade aplicada

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Aplicação

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Resultado

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Ideia central

Um expoente negativo indica o recíproco da potência com expoente positivo. Não produz um resultado negativo, mas uma fração.

Propriedade aplicada

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Aplicação

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Ideia central

A propriedade do produto aplica-se mesmo quando um dos expoentes é negativo: a regra é idêntica, somam-se algebricamente os expoentes.

Propriedade aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicação

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Resultado

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Ideia central

O produto \(x^2 y^3\) está elevado à quarta potência. Distribui-se o expoente por cada fator e aplica-se a potência de uma potência a cada um.

Propriedades aplicadas

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Aplicação

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Resultado

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Ideia central

Um quociente com expoente negativo equivale ao quociente recíproco com expoente positivo. Numerador e denominador são trocados, e ambos são então elevados a \(3\).

Propriedade aplicada

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Aplicação

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Ideia central

Um expoente da forma \(\tfrac{1}{q}\) indica a raiz \(q\)-ésima. Em particular, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Propriedade aplicada

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Aplicação

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Verificação

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Propriedade aplicada

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Aplicação

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Verificação

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Ideia central

A propriedade do produto aplica-se também aos expoentes fracionários. Somam-se as frações com denominador comum.

Propriedade aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Soma dos expoentes

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Resultado

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Ideia central

Um expoente \(\tfrac{p}{q}\) indica a raiz \(q\)-ésima da base elevada a \(p\). Convém extrair primeiro a raiz e depois elevar à potência: os números se mantêm menores e mais fáceis de calcular.

Propriedade aplicada

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Aplicação — raiz primeiro, depois potência

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Verificação — método alternativo

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Ideia central

Procede-se em duas etapas: primeiro simplifica-se a potência de uma potência e depois multiplica-se usando a propriedade do produto com a mesma base.

Etapa 1 — potência de uma potência

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Etapa 2 — produto com a mesma base

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Resultado

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Ideia central

Numerador e denominador são desenvolvidos separadamente distribuindo o expoente externo; em seguida, o quociente é simplificado.

Desenvolvimento do numerador

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Desenvolvimento do denominador

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Quociente

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Resultado

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Desenvolvimento do numerador

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Quociente — subtrai-se os expoentes de cada base

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Resultado

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Desenvolvimento do numerador

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Desenvolvimento do denominador

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Quociente

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Propriedades aplicadas

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribuição do expoente 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Potência de uma potência

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Resultado

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Ideia central

Um quociente com expoente negativo equivale ao quociente recíproco com expoente positivo. Numerador e denominador são trocados, e ambos são então elevados a \(3\).

Inversão pelo expoente negativo

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Potência de um quociente

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Ideia central

Todas as bases (\(2\), \(4\), \(8\)) são potências de \(2\). Reescreve-se tudo na base \(2\) e aplicam-se as propriedades do produto e do quociente.

Reescrita na base 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Substituição

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Desenvolvimento do numerador — primeiro fator

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Desenvolvimento do numerador — segundo fator

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Produto do numerador

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Desenvolvimento do denominador

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Quociente final

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Resultado

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Ideia central

O numerador e o denominador reduzem-se à mesma potência de \(a\) pelas propriedades do produto, da potência de uma potência e do quociente. A identidade vale para quaisquer valores de \(m\) e \(n\).

Simplificação do numerador

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Simplificação do denominador

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Quociente

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Ideia central

O numerador contém duas potências de \(3\) com expoentes paramétricos consecutivos. Fatora-se \(3^n\) do numerador e, em seguida, simplifica-se com o denominador.

Reescrita dos expoentes no numerador

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Fatoração de \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Quociente

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Resultado

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Ideia central

O numerador e o denominador são reduzidos a uma única potência de \(x\) com expoente em termos de \(a\), \(b\), \(c\). A identidade vale para quaisquer valores reais de \(a\), \(b\), \(c\) (com \(x \neq 0\)).

Simplificação do numerador

Usa-se a propriedade do produto, somando todos os expoentes:

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Soma dos expoentes:

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Portanto, o numerador vale \(x^{2(a+b+c)}\).

Simplificação do denominador

Primeiro reduz-se o produto interno, depois eleva-se ao quadrado:

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Quociente

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]