Formas Indeterminadas nos Limites: Teoria e Classificação

O que são as formas indeterminadas

No cálculo de um limite, estuda-se com frequência uma expressão construída a partir de várias funções. Quando os limites das funções individuais são conhecidos, as regras da álgebra dos limites permitem, em muitos casos, determinar diretamente o limite da expressão global. Em certas situações, contudo, os limites dos termos individuais conduzem a uma configuração simbólica que não contém informação suficiente para estabelecer o resultado. Uma configuração desse tipo recebe o nome de forma indeterminada.

Por exemplo, sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

e suponhamos que o quociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) esteja definido nos pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\). Diz-se então que o limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

se apresenta na forma indeterminada

\[ \frac{0}{0}. \]

Esta notação não significa que o quociente seja igual a \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Com efeito, o símbolo \(\displaystyle\frac{0}{0}\) não representa um número e não pode ser tratado como uma fração ordinária: indica apenas que o numerador e o denominador tendem ambos para zero.

O termo indeterminada exprime precisamente o facto de o comportamento separado dos termos não determinar o da expressão global. Partindo de uma mesma forma indeterminada, o limite pode assumir um valor real, ser infinito, ou não existir.

Uma forma indeterminada não é, portanto, o resultado de um limite, mas o sinal de que é necessária uma análise mais aprofundada da expressão e do comportamento relativo dos seus termos.

Por que uma forma indeterminada não determina o limite

Para compreender por que uma forma indeterminada não permite estabelecer o valor de um limite, consideremos alguns quocientes que, quando \(x\to 0\), se apresentam todos na forma

\[ \frac{0}{0}. \]

O primeiro exemplo é

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}. \]

Para todo \(x\neq 0\) tem-se

\[ \frac{x}{x}=1, \]

e portanto

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1. \]

Consideremos agora o limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}. \]

Para todo \(x\neq 0\) podemos cancelar o fator \(x\) e obter

\[ \frac{x^2}{x}=x. \]

Logo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0. \]

A mesma forma indeterminada pode também conduzir a um limite infinito. Com efeito,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^4} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty. \]

Por fim, consideremos

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}. \]

Para \(x>0\) tem-se \(|x|=x\), ao passo que para \(x<0\) tem-se \(|x|=-x\). Consequentemente,

\[ \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]

Segue-se que

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]

Como o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, o limite quando \(x\to 0\) não existe.

Obtivemos assim, partindo da mesma forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\), quatro comportamentos diferentes:

\[ 1,\qquad 0,\qquad +\infty,\qquad \text{limite inexistente}. \]

A forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) não determina, portanto, o limite do quociente. Limita-se a descrever o facto de que numerador e denominador tendem ambos para zero, sem indicar qual dos dois se aproxima de zero com maior rapidez, nem qual é o seu comportamento relativo.

O mesmo princípio vale para todas as demais formas indeterminadas: para estabelecer o limite é necessário estudar a estrutura da expressão e comparar com maior precisão o comportamento dos termos que a compõem.

As sete formas indeterminadas

As formas indeterminadas encontradas no cálculo de limites são tradicionalmente sete:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Estes símbolos não representam operações entre números, mas descrevem o comportamento-limite dos termos que compõem uma expressão.

As duas primeiras são formas de quociente:

• \(\displaystyle\frac{0}{0}\), quando o numerador e o denominador tendem ambos para zero;
• \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), quando o numerador e o denominador tendem, cada um, para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), não necessariamente com o mesmo sinal.

A terceira é uma forma de produto:

• \(0\cdot\infty\), quando um fator tende para zero e o outro tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).

A quarta é uma forma de diferença:

• \(\infty-\infty\), quando os dois termos da diferença tendem ambos para \(+\infty\) ou ambos para \(-\infty\).

As três últimas são formas exponenciais:

• \(1^\infty\), quando a base tende para \(1\) e o expoente tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\);
• \(0^0\), quando a base tende para \(0^+\) e o expoente tende para zero;
• \(\infty^0\), quando a base tende para \(+\infty\) e o expoente tende para zero.

Nas formas exponenciais, quando se trabalha no conjunto dos números reais, exige-se que a base seja positiva nos pontos suficientemente próximos do ponto para o qual tende a variável. Esta condição permite interpretar a potência por meio do logaritmo e estudar corretamente o seu limite.

Nem toda combinação que envolva zero ou infinito é indeterminada. Por exemplo, sob hipóteses adequadas sobre os sinais,

\[ \frac{a}{\infty}=0, \qquad \frac{\infty}{a}=\pm\infty, \qquad 0+\infty=\infty, \]

onde \(a\) denota um número real finito e diferente de zero. Também estas escritas têm valor puramente simbólico: resumem propriedades dos limites e não devem ser interpretadas como operações aritméticas realizadas com o infinito.

A forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

e suponhamos que o quociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) esteja definido nos pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\), eventualmente com exclusão de \(x_0\). Neste caso, o limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

apresenta-se na forma indeterminada

\[ \frac{0}{0}. \]

O facto de numerador e denominador tenderem ambos para zero não permite determinar o limite do seu quociente. O resultado depende do comportamento relativo das duas funções, ou seja, da rapidez com que se aproximam de zero e da eventual presença de oscilações ou mudanças de sinal.

Por exemplo, consideremos

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

O numerador e o denominador tendem ambos para zero, pelo que o limite se apresenta na forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\). No entanto, para \(x\neq 1\), podemos fatorar o numerador e simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

As funções \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\) e \(x+1\) coincidem em todos os pontos do domínio suficientemente próximos de \(1\), eventualmente com exclusão do próprio ponto \(1\). Consequentemente, têm o mesmo limite quando \(x\to 1\), e portanto

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

A forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) também pode surgir quando não é possível eliminar de imediato um fator comum. Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Também aqui o numerador e o denominador tendem para zero. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \(\sqrt{1+x}+1\), para \(x\neq 0\) obtemos

\begin{align} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \end{align}

Logo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]

Estes exemplos mostram que a forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) não deve ser interpretada como um resultado, mas como a indicação de que o quociente precisa de ser transformado ou analisado com maior cuidado. Consoante a estrutura das funções envolvidas, podem revelar-se úteis a fatoração, a simplificação, a racionalização, os limites notáveis, as equivalências assintóticas ou outras ferramentas do cálculo de limites.

A forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções e sejam \(L_f,L_g\in\{-\infty,+\infty\}\) tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_f \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L_g, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por \(x\to+\infty\) ou por \(x\to-\infty\). Suponhamos, além disso, que o quociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) esteja definido nos pontos do domínio suficientemente próximos da situação-limite considerada. O limite do quociente apresenta-se então na forma indeterminada

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

Esta notação indica que o numerador e o denominador tendem, cada um, para um dos dois infinitos, não necessariamente com o mesmo sinal. Não permite, contudo, estabelecer o comportamento do seu quociente: o resultado depende da rapidez com que as duas funções crescem em valor absoluto, e dos seus sinais.

Consideremos, por exemplo, o limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}. \]

Tanto o numerador como o denominador tendem para \(+\infty\), pelo que o limite se apresenta na forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Para comparar o seu comportamento, dividimos numerador e denominador por \(x^2\):

\[ \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0, \]

obtemos

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]

A mesma forma indeterminada pode também conduzir a resultados distintos. Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0, \]

enquanto

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

Além disso,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x(2+\sin x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}(2+\sin x) \]

não existe, porque a função \(2+\sin x\) continua a oscilar entre \(1\) e \(3\) sem tender para um único valor.

A forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) pode, portanto, conduzir a um número real finito, a zero, a um limite infinito, ou a um limite inexistente. Também neste caso, a forma indeterminada não fornece o resultado: indica a necessidade de comparar com maior precisão a ordem de crescimento e o comportamento relativo do numerador e do denominador.

A forma indeterminada \(0\cdot\infty\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções e seja \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tal que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por outra situação-limite, e suponhamos que o produto \(f(x)g(x)\) esteja definido nos pontos do domínio suficientemente próximos da situação considerada. O limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \]

apresenta-se então na forma indeterminada

\[ 0\cdot\infty. \]

Esta notação não representa o produto entre o número \(0\) e o infinito. Indica apenas que um fator tende para zero, enquanto o outro cresce sem limite em valor absoluto.

Os dois fatores exercem efeitos contrapostos: o fator que tende para zero tende a tornar o produto pequeno, enquanto o divergente tende a torná-lo grande em valor absoluto. O limite depende, portanto, do seu comportamento relativo.

Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x. \]

O primeiro fator tende para zero e o segundo tende para \(+\infty\), pelo que o limite se apresenta na forma \(0\cdot\infty\). No entanto, para todo \(x>0\),

\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \]

e portanto

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x=1. \]

A mesma forma pode conduzir a zero. Com efeito,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}\cdot x = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Pode também conduzir a um limite infinito:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x^2 = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

Por fim, o limite pode não existir. Consideremos

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot x. \]

O primeiro fator tende para zero, porque

\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\frac{1}{x} \]

para \(x>0\), enquanto o segundo tende para \(+\infty\). O produto apresenta-se, portanto, na forma \(0\cdot\infty\). No entanto, para todo \(x>0\),

\[ \frac{\sin x}{x}\cdot x=\sin x, \]

e o limite não existe, porque \(\sin x\) oscila sem tender para um único valor.

Para estudar uma forma \(0\cdot\infty\), o produto é geralmente transformado num quociente redutível à forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou, quando as condições o permitem, à forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). A escolha da transformação mais conveniente depende da estrutura das funções envolvidas.

A forma \(0\cdot\infty\) não determina, portanto, o limite, mas indica que o produto deve ser reescrito ou analisado com maior precisão.

A forma indeterminada \(\infty-\infty\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty, \]

ou então

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por outra situação-limite. O limite da diferença

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) \]

apresenta-se na forma indeterminada

\[ \infty-\infty. \]

Esta notação não representa uma subtração entre números infinitos. Indica que os dois termos da diferença divergem com o mesmo sinal e que, por conseguinte, não é possível estabelecer o comportamento da sua diferença conhecendo apenas os seus limites em separado.

O resultado depende do modo como os dois termos divergem e, em particular, da diferença entre as suas ordens de crescimento.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+1)-x\bigr)=1. \]

Ambos os termos, \(x+1\) e \(x\), tendem para \(+\infty\), mas a sua diferença é constantemente igual a \(1\).

A mesma forma pode conduzir a zero:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-x)=0. \]

Pode conduzir a \(+\infty\):

\[ \lim_{x\to+\infty}(2x-x) = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty, \]

ou a \(-\infty\):

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2x) = \lim_{x\to+\infty}(-x) = -\infty. \]

O limite também pode não existir. Com efeito,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+\sin x)-x\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\sin x \]

não existe, embora \(x+\sin x\to+\infty\) e \(x\to+\infty\).

Para resolver uma forma \(\infty-\infty\), procura-se geralmente transformar a diferença numa única expressão, de modo a evidenciar o comportamento relativo dos dois termos. Consoante a estrutura da expressão, pode ser útil colocar em evidência um fator comum, reduzir os termos ao mesmo denominador, ou racionalizar.

Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Uma vez que

\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad x\to+\infty, \]

o limite apresenta-se na forma \(\infty-\infty\). Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]

No numerador obtemos uma diferença de quadrados:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Uma vez que \(x>0\) para todos os valores suficientemente grandes de \(x\), podemos dividir numerador e denominador por \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Logo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

A forma \(\infty-\infty\) não determina, portanto, o limite da diferença. Para obter o resultado é necessário transformar a expressão e evidenciar a comparação efetiva entre os termos divergentes.

A forma indeterminada \(1^\infty\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções e seja \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tal que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por outra situação-limite. Uma vez que \(f(x)\to 1\), tem-se \(f(x)>0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada; a potência \(f(x)^{g(x)}\) pode então ser estudada, no âmbito real, por meio do logaritmo.

O limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

apresenta-se então na forma indeterminada

\[ 1^\infty. \]

Esta notação não representa uma potência de base \(1\) e expoente infinito. Indica apenas que a base tende para \(1\), enquanto o expoente tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).

A forma é indeterminada porque dois efeitos se contrapõem. Por um lado, uma base próxima de \(1\) tende a alterar pouco o valor da potência; por outro, um expoente muito grande em valor absoluto pode tornar decisiva mesmo uma diferença muito pequena entre a base e \(1\). O resultado depende, portanto, do comportamento conjunto da base e do expoente.

Para analisar esta forma, façamos

\[ y=f(x)^{g(x)}. \]

Uma vez que \(f(x)>0\), podemos aplicar o logaritmo natural:

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Como \(f(x)\to 1\), pela continuidade do logaritmo tem-se

\[ \ln f(x)\to\ln 1=0. \]

O produto

\[ g(x)\ln f(x) \]

apresenta-se, portanto, na forma \(0\cdot\infty\). O estudo da forma exponencial \(1^\infty\) reduz-se assim ao estudo do limite do logaritmo da expressão.

Em particular, se

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]

com \(L\in\mathbb{R}\), então, pela continuidade da função exponencial,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]

Se, pelo contrário,

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

então

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty; \]

se

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

então

\[ f(x)^{g(x)}\to 0. \]

Consideremos o limite notável

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

A base tende para \(1\) e o expoente tende para \(+\infty\), e ainda assim o limite é o número real positivo \(e\).

A mesma forma pode conduzir a \(1\). Com efeito,

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \longrightarrow e^0=1 \qquad\text{quando }x\to+\infty. \]

Pode também conduzir a \(+\infty\):

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x \longrightarrow+\infty. \]

Obtém-se um resultado igual a zero, por exemplo, no limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}. \]

Para \(x>1\), a base é positiva e podemos escrever

\[ \left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^x. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e^{-1}, \]

e \(0<e^{-1}<1\), segue-se que

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}=0. \]

Por fim, o limite pode não existir. Consideremos

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}. \]

A base tende para \(1\), enquanto o expoente \(x(2+\sin x)\) tende para \(+\infty\), uma vez que \(2+\sin x\geq 1\). Aplicando o logaritmo, obtemos

\[ \ln\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}\right] = (2+\sin x)\,x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right). \]

Uma vez que

\[ x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, \]

ao longo da sucessão \(x_n=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi n\) o logaritmo da expressão tende para \(3\), enquanto ao longo da sucessão \(y_n=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2\pi n\) tende para \(1\). Consequentemente, a expressão tende para \(e^3\) e para \(e\), respetivamente, e o limite, portanto, não existe.

A forma \(1^\infty\) pode, portanto, conduzir a \(1\), a um número real positivo diferente de \(1\), a zero, a \(+\infty\), ou a um limite inexistente. O seu estudo requer que se considere o produto entre o expoente e o logaritmo da base.

A forma indeterminada \(0^0\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por outra situação-limite. Suponhamos ainda que \(f(x)>0\) nos pontos do domínio suficientemente próximos da situação considerada. O limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

apresenta-se então na forma indeterminada

\[ 0^0. \]

A notação \(0^0\), neste contexto, não representa o valor assumido pela potência e não deve ser interpretada como uma operação entre dois números. Indica apenas que a base tende para zero, enquanto o expoente tende para zero.

A forma é indeterminada porque o comportamento da potência depende do modo como a base e o expoente se aproximam dos respetivos valores-limite. Uma base positiva muito pequena tende a tornar pequena a potência quando o expoente é positivo, ao passo que um expoente que tende para zero tende a aproximar a potência de \(1\). Se o expoente assumir valores negativos, a potência pode, pelo contrário, tornar-se arbitrariamente grande.

Para estudar esta forma, façamos \(y=f(x)^{g(x)}\). Uma vez que \(f(x)>0\), podemos aplicar o logaritmo natural e obter

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Como \(f(x)\to 0^+\), tem-se \(\ln f(x)\to-\infty\); uma vez que simultaneamente \(g(x)\to 0\), o produto \(g(x)\ln f(x)\) apresenta-se na forma indeterminada \(0\cdot\infty\).

Se \(g(x)\ln f(x)\) tende para um valor \(L\in\mathbb{R}\), para \(-\infty\), ou para \(+\infty\), então \(f(x)^{g(x)}\) tende, respetivamente, para \(e^L\), para \(0\), ou para \(+\infty\).

Consideremos, em primeiro lugar, o limite

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x. \]

A base e o expoente tendem ambos para zero. Aplicando o logaritmo, obtemos

\[ \ln(x^x)=x\ln x. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, \]

segue-se que

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1. \]

A mesma forma pode conduzir a um número real positivo diferente de \(1\). Por exemplo, para \(0<x<1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Uma vez que \(x\to 0^+\) e \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), o limite apresenta-se na forma \(0^0\), e ainda assim

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

A forma \(0^0\) pode também conduzir a zero. Consideremos

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}. \]

O expoente tende para zero, e

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = \frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = -\sqrt{-\ln x} \to-\infty. \]

Logo,

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=0. \]

Se mudarmos o sinal do expoente, obtemos, pelo contrário,

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = \sqrt{-\ln x} \to+\infty, \]

e portanto

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=+\infty. \]

Por fim, o limite pode não existir. Consideremos

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}}. \]

Quando \(x\to 0^+\), a base tende para zero e o expoente tende para zero, uma vez que o numerador é limitado enquanto \(\ln x\to-\infty\). Contudo,

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(-\ln x)}. \]

Uma vez que \(-\ln x\to+\infty\), a função \(\sin(-\ln x)\) continua a oscilar e não admite limite. Consequentemente, também a expressão \(e^{\sin(-\ln x)}\) não admite limite.

A forma \(0^0\) pode, portanto, conduzir a \(1\), a um número real positivo diferente de \(1\), a zero, a \(+\infty\), ou a um limite inexistente. O resultado é determinado pelo comportamento do produto entre o expoente e o logaritmo da base.

Em alguns domínios da matemática, como a combinatória e a teoria das séries de potências, pode ser conveniente adotar a convenção \(0^0=1\). Esta convenção diz respeito a contextos específicos e não altera o facto de, no cálculo de limites, \(0^0\) ser uma forma indeterminada.

A forma indeterminada \(\infty^0\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

onde \(x\to x_0\) pode ser substituído por outra situação-limite. Uma vez que \(f(x)\to+\infty\), a base é positiva nos pontos do domínio suficientemente próximos da situação considerada. O limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

apresenta-se então na forma indeterminada

\[ \infty^0. \]

Esta notação não representa uma potência de base infinita e expoente nulo. Indica apenas que a base cresce sem limite, enquanto o expoente tende para zero.

A forma é indeterminada porque os dois comportamentos produzem efeitos contrapostos. Uma base muito grande pode tornar grande a potência, enquanto um expoente próximo de zero tende a aproximar a potência de \(1\). Se o expoente assumir valores negativos, a potência pode, pelo contrário, aproximar-se de zero.

Para estudar esta forma, façamos \(y=f(x)^{g(x)}\). Uma vez que \(f(x)>0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada, podemos aplicar o logaritmo natural e obter

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Como \(f(x)\to+\infty\), tem-se \(\ln f(x)\to+\infty\); uma vez que simultaneamente \(g(x)\to 0\), o produto \(g(x)\ln f(x)\) apresenta-se na forma indeterminada \(0\cdot\infty\).

Se \(g(x)\ln f(x)\) tende para um valor \(L\in\mathbb{R}\), para \(-\infty\), ou para \(+\infty\), então \(f(x)^{g(x)}\) tende, respetivamente, para \(e^L\), para \(0\), ou para \(+\infty\).

Consideremos, em primeiro lugar, o limite

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}. \]

A base tende para \(+\infty\), enquanto o expoente tende para zero. Aplicando o logaritmo, obtemos

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = \frac{\ln x}{x}. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0, \]

segue-se que

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1. \]

A mesma forma pode conduzir a um número real positivo diferente de \(1\). Por exemplo, para \(x>1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Uma vez que \(x\to+\infty\) e \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), tem-se, portanto,

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

A forma \(\infty^0\) pode também conduzir a zero. Consideremos

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}. \]

O expoente tende para zero, e

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x}} = -\sqrt{\ln x} \to-\infty. \]

Logo,

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=0. \]

Se mudarmos o sinal do expoente, obtemos, pelo contrário,

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = \sqrt{\ln x} \to+\infty, \]

e portanto

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=+\infty. \]

Por fim, o limite pode não existir. Consideremos, para \(x>1\),

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}}. \]

Quando \(x\to+\infty\), a base tende para \(+\infty\) e o expoente tende para zero, uma vez que o numerador é limitado enquanto \(\ln x\to+\infty\). Contudo,

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(\ln\ln x)}. \]

Uma vez que \(\ln\ln x\to+\infty\), a função \(\sin(\ln\ln x)\) continua a oscilar e não admite limite. Consequentemente, também a expressão \(e^{\sin(\ln\ln x)}\) não admite limite.

A forma \(\infty^0\) pode, portanto, conduzir a \(1\), a um número real positivo diferente de \(1\), a zero, a \(+\infty\), ou a um limite inexistente. Também neste caso, o resultado é determinado pelo comportamento do produto entre o expoente e o logaritmo da base.

Transformação das formas indeterminadas

As formas indeterminadas não se resolvem por meio de regras aritméticas aplicadas diretamente aos símbolos \(0\) e \(\infty\). Para determinar o seu limite é necessário reescrever a expressão numa forma idêntica à original para todos os valores da variável suficientemente próximos da situação-limite considerada.

Se \(x\to x_0\), basta que as duas expressões coincidam nos pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\), eventualmente com exclusão do próprio ponto \(x_0\). Se, pelo contrário, \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), basta que coincidam, respetivamente, para todos os valores de \(x\) suficientemente grandes ou suficientemente pequenos.

As formas \(\displaystyle\frac{0}{0}\) e \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) já se apresentam expressas como quocientes. As demais formas indeterminadas podem frequentemente ser reduzidas a uma delas por meio de transformações adequadas.

Transformação da forma \(0\cdot\infty\)

Se

\[ f(x)\to 0 \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L, \qquad L\in\{-\infty,+\infty\}, \]

então \(g(x)\neq 0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada e

\[ \frac{1}{g(x)}\to 0. \]

Podemos, portanto, escrever

\[ f(x)g(x)=\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}, \]

obtendo uma forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\).

Se, além disso, \(f(x)\neq 0\) e tiver sinal constante nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada, então \(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), e podemos também escrever

\[ f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}, \]

obtendo uma forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

A escolha entre as duas reescritas depende da estrutura das funções e de qual das formas se revele mais simples de analisar.

Transformação da forma \(\infty-\infty\)

Uma diferença que se apresenta na forma \(\infty-\infty\) deve ser transformada numa única expressão, de modo a tornar visível o comportamento relativo dos dois termos divergentes.

Se os termos forem frações, é frequentemente útil reduzi-los ao mesmo denominador:

\[ \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{h(x)}{k(x)} = \frac{f(x)k(x)-h(x)g(x)}{g(x)k(x)}. \]

A forma \(\infty-\infty\) pode assim transformar-se numa forma de quociente, geralmente \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

Quando surgem radicais, pode ser útil multiplicar e dividir pela expressão conjugada. Por exemplo,

\[ \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} = \frac{f(x)-g(x)} {\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}, \]

nos pontos em que as raízes estão definidas e o denominador é diferente de zero.

Noutros casos pode ser conveniente colocar em evidência um fator comum:

\[ f(x)-g(x) = f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right), \]

desde que \(f(x)\neq 0\) nos pontos considerados.

Transformação das formas exponenciais

As formas \(1^\infty\), \(0^0\) e \(\infty^0\) estudam-se por meio do logaritmo. Se \(f(x)>0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada, fazendo

\[ y(x)=f(x)^{g(x)}, \]

obtém-se

\[ \ln y(x)=g(x)\ln f(x). \]

O limite da potência reduz-se assim ao estudo do produto \(g(x)\ln f(x)\). Se este tende para um valor \(L\in\mathbb{R}\), para \(+\infty\), ou para \(-\infty\), então \(f(x)^{g(x)}\) tende, respetivamente, para \(e^L\), para \(+\infty\), ou para \(0\).

Reciprocamente, se o produto \(g(x)\ln f(x)\) não admitir nem limite real nem limite infinito, também a potência não admite limite: caso contrário, aplicando o logaritmo ao seu suposto limite positivo, nulo ou infinito, obter-se-ia um limite para \(g(x)\ln f(x)\).

Em toda transformação é essencial verificar as condições de validade das operações efetuadas. Uma transformação algébrica só é útil quando preserva a expressão nos pontos do domínio suficientemente próximos da situação-limite e conduz a uma forma mais simples de analisar.

Métodos para resolver as formas indeterminadas

Não existe um procedimento único para determinar todos os limites que se apresentam em forma indeterminada. O método a utilizar depende da estrutura da expressão, do tipo de forma indeterminada e das ferramentas matemáticas disponíveis.

Antes de efetuar qualquer transformação, é necessário identificar o domínio da expressão, calcular separadamente os limites dos termos que a compõem, e verificar que se apresenta efetivamente uma forma indeterminada.

Simplificação algébrica

Quando um limite se apresenta na forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), pode ser possível fatorar o numerador e o denominador, identificar um fator comum e simplificá-lo.

Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}. \]

Utilizando a fatoração de uma diferença de cubos, para \(x\neq 1\) obtemos

\[ \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1. \]

Logo,

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 3. \]

A simplificação é lícita porque é efetuada para \(x\neq 1\), isto é, nos pontos suficientemente próximos do ponto para o qual tende a variável. O valor eventualmente assumido pela expressão no ponto \(x=1\) não afeta o limite.

Redução ao mesmo denominador e racionalização

As diferenças que se apresentam na forma \(\infty-\infty\) podem frequentemente ser transformadas reduzindo os termos ao mesmo denominador. Se, pelo contrário, surgirem radicais, pode ser útil multiplicar e dividir pela expressão conjugada.

Estes procedimentos transformam a diferença numa única fração, na qual se torna possível estudar o comportamento conjunto do numerador e do denominador.

Também aqui é necessário verificar que os denominadores introduzidos são diferentes de zero nos pontos considerados e que todas as raízes presentes estão definidas.

Divisão pelo termo de maior grau

Nos quocientes de polinómios, quando \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), o comportamento é determinado pelos termos de maior grau. Pode-se, portanto, dividir o numerador e o denominador pela maior potência de \(x\) presente no denominador ou, mais geralmente, por uma potência que permita comparar os termos dominantes.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+4x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{5-\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2}. \]

Se houver radicais presentes, é preciso prestar particular atenção à identidade

\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

Em particular, para \(x\to-\infty\) tem-se \(|x|=-x\), e não \(|x|=x\).

Limites notáveis

Muitas formas indeterminadas podem ser reduzidas a limites notáveis por meio de transformações algébricas ou mudanças de variável. Entre os principais limites notáveis, encontram-se

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1, \]

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e. \]

Para utilizar corretamente um limite notável, é preciso reconduzir toda a expressão à sua estrutura, verificando que a variável interna tende para o valor exigido.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3. \]

Equivalências assintóticas

Duas funções \(f\) e \(g\) dizem-se assintoticamente equivalentes quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, \]

e escreve-se

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{quando }x\to x_0. \]

As equivalências assintóticas permitem substituir uma função por outra com o mesmo comportamento principal em produtos e quocientes, desde que as expressões envolvidas estejam definidas e os denominadores sejam diferentes de zero nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada.

Por exemplo, uma vez que

\[ \sin x\sim x \qquad\text{quando }x\to 0, \]

tem-se

\[ \frac{\sin x}{x}\sim\frac{x}{x}=1. \]

As equivalências, por outro lado, não podem ser utilizadas indiscriminadamente em somas e diferenças, porque pode ocorrer um cancelamento dos termos principais.

Por exemplo,

\[ x+x^2\sim x \qquad\text{e}\qquad x\sim x \]

quando \(x\to 0\), mas

\[ (x+x^2)-x=x^2, \]

enquanto a substituição separada dos dois termos por \(x\) produziria erradamente \(x-x=0\). Quando ocorre um cancelamento, é necessário conservar termos de ordem superior.

Teoremas de comparação

Quando uma expressão contém fatores oscilantes ou não é facilmente simplificável, pode ser útil compará-la com funções de comportamento conhecido.

Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x}. \]

Para \(x\neq 0\), a expressão reduz-se a

\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]

Uma vez que

\[ \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x|, \]

e \(|x|\to 0\), do teorema do confronto segue-se que

\[ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]

A escolha do método deve, portanto, ser guiada pela estrutura da expressão. Uma transformação eficaz não elimina formalmente os símbolos da forma indeterminada, mas torna explícito o comportamento relativo das funções que a produzem.

Erros frequentes

No cálculo das formas indeterminadas é essencial distinguir as transformações matematicamente válidas das manipulações puramente formais. Os erros mais comuns derivam frequentemente de uma interpretação indevida dos símbolos \(0\) e \(\infty\), da aplicação automática de uma regra, ou da falta de verificação das condições necessárias.

Considerar a forma indeterminada como o resultado do limite

Escrever que um limite se apresenta na forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) não significa ter determinado o seu valor. A forma indica apenas que o numerador e o denominador tendem ambos para zero.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} \]

apresentam-se todos na forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), e ainda assim produzem comportamentos diferentes. No último caso, além disso, o limite bilateral não existe: o limite à direita é \(+\infty\), enquanto o limite à esquerda é \(-\infty\).

Tratar o infinito como um número real

Os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) não representam números reais. Escritas como

\[ \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty \]

não são operações aritméticas realizadas com o infinito, mas descrições sintéticas do comportamento-limite dos termos.

Não é lícito, portanto, por exemplo, simplificar formalmente os infinitos na expressão \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) e concluir que o resultado é \(1\).

Confundir a substituição com o cálculo do limite

A substituição direta é uma ferramenta útil quando as operações envolvidas conservam o limite e não produzem configurações indeterminadas. Se, pelo contrário, a substituição conduzir a uma forma indeterminada, esta não determina o limite, mas indica a necessidade de uma análise mais aprofundada.

Além disso, o limite de uma função num ponto não depende necessariamente do valor assumido pela função nesse ponto. Por esta razão, uma expressão pode não estar definida no ponto para o qual tende a variável e, mesmo assim, possuir limite.

Simplificar um fator sem precisar as condições

Na relação

\[ \frac{(x-x_0)h(x)}{x-x_0}=h(x), \]

a simplificação é válida apenas para \(x\neq x_0\). Isto é suficiente para o cálculo do limite quando \(x\to x_0\), porque o limite depende dos valores assumidos nos pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\), eventualmente com exclusão do próprio \(x_0\).

Não seria correto, pelo contrário, afirmar que as duas expressões são iguais também em \(x=x_0\), uma vez que o primeiro membro não está definido nesse ponto.

Aplicar as equivalências assintóticas em diferenças sem verificar os cancelamentos

As equivalências assintóticas podem ser utilizadas diretamente em produtos e quocientes, mas não podem ser substituídas indiscriminadamente dentro de somas e diferenças.

Por exemplo, quando \(x\to 0\), tem-se

\[ x+x^2\sim x. \]

No entanto, substituir \(x+x^2\) por \(x\) na diferença \((x+x^2)-x\) daria zero, ao passo que

\[ (x+x^2)-x=x^2. \]

Quando os termos principais se cancelam, é, portanto, necessário analisar a expressão com maior precisão e conservar os termos que determinam efetivamente o seu comportamento.

Negligenciar o domínio da expressão

Antes de calcular um limite, é necessário estabelecer onde a expressão está definida. Esta verificação é particularmente importante na presença de denominadores, radicais, logaritmos e potências de expoente real.

Por exemplo, no estudo de

\[ f(x)^{g(x)} \]

por meio da relação

\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]

é necessário que \(f(x)>0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada.

Esquecer o valor absoluto ao extrair uma raiz quadrada

A identidade correta é

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

e não \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).

Consequentemente, para \(x\to-\infty\),

\[ \sqrt{x^2}=|x|=-x. \]

Ignorar este facto pode alterar o sinal da expressão e conduzir a um resultado incorreto.

Confundir um limite infinito com um limite inexistente

Afirmar que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

exprime um comportamento preciso: os valores da função tornam-se maiores do que qualquer número real fixado antecipadamente quando \(x\) está suficientemente próximo de \(x_0\).

Este caso é diferente daquele em que o limite não existe por oscilação, ou porque os dois limites laterais são diferentes.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty, \]

ao passo que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \]

não existe como limite bilateral, uma vez que

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Negligenciar o sinal dos termos divergentes

Conhecer apenas a divergência em valor absoluto nem sempre é suficiente para determinar o sinal do resultado. Em quocientes, produtos e diferenças é também necessário estudar o sinal assumido pelos termos individuais nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada.

Por exemplo, da simples informação

\[ |f(x)|\to+\infty \]

não se segue que \(f(x)\to+\infty\): a função poderia tender para \(-\infty\), ou oscilar assumindo valores arbitrariamente grandes em valor absoluto.

Parar quando uma transformação produz outra forma indeterminada

Uma forma indeterminada pode transformar-se noutra forma indeterminada. Isto não significa que a transformação seja inútil ou incorreta: pode tratar-se de uma etapa intermédia necessária.

Por exemplo, uma forma \(0\cdot\infty\) pode ser reescrita como \(\displaystyle\frac{0}{0}\), enquanto uma forma exponencial pode ser reduzida a \(0\cdot\infty\) por meio do logaritmo.

O procedimento deve prosseguir até que a expressão obtida permita aplicar corretamente as propriedades dos limites ou alguma das ferramentas disponíveis.

Evitar estes erros exige considerar cada forma indeterminada como um problema de comparação entre comportamentos, e não como um cálculo simbólico entre \(0\) e \(\infty\). Cada passo deve ser justificado pelo domínio, pelas propriedades das funções envolvidas e pelas hipóteses do método utilizado.

Quadro-resumo

As sete formas indeterminadas podem ser classificadas em formas de quociente, de produto, de diferença e exponenciais. O quadro seguinte resume o seu significado e as transformações mais frequentemente utilizadas.

Para as formas exponenciais, supondo que \(f(x)>0\) nos pontos suficientemente próximos da situação-limite considerada, utiliza-se a relação

\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]

reconduzindo assim o limite da potência ao estudo do produto \(g(x)\ln f(x)\).

O procedimento geral para estudar um limite pode ser resumido nos seguintes passos:

1. determinar o domínio da expressão e precisar a situação-limite considerada;
2. calcular separadamente os limites dos termos que compõem a expressão;
3. verificar se as propriedades da álgebra dos limites permitem concluir diretamente ou se surge uma forma indeterminada;
4. transformar a expressão por meio de um procedimento válido no seu domínio;
5. aplicar o método mais adequado, verificando todas as suas hipóteses;
6. verificar o resultado, prestando atenção aos sinais, aos limites laterais e à eventual presença de oscilações.

Uma forma indeterminada não constitui, portanto, um obstáculo puramente formal, mas um sinal de que o comportamento dos termos individuais é insuficiente para determinar o da expressão global. O cálculo do limite exige que se evidencie o seu comportamento relativo por meio de transformações e ferramentas matematicamente justificadas.