Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre a função inversa, com dificuldade progressiva e explicações passo a passo. Os exercícios incidem sobre o cálculo da inversa, o estudo da invertibilidade, o papel do domínio e do contradomínio, e as noções de inversa à esquerda e inversa à direita.
A ideia fundamental a reter é que uma função \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\) se e só se for bijetiva, isto é, se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5. \]
Resultado
A função é invertível e a sua inversa é
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Resolução
A função é afim, com coeficiente angular não nulo. Por conseguinte, é injetiva e sobrejetiva de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), pelo que admite inversa.
Façamos
\[ y=3x-5. \]
Para obter a inversa, resolvemos esta equação em ordem a \(x\). Somamos \(5\) a ambos os membros:
\[ y+5=3x. \]
Dividindo por \(3\), obtemos
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Renomeando a variável independente, obtém-se
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Verifiquemos por composição:
\[ f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x \]
e
\[ f(f^{-1}(x))=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
As duas identidades confirmam que a função encontrada é, efetivamente, a inversa de \(f\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Seja
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-4}{2}. \]
Determinar \(f^{-1}\) e verificar o resultado por composição.
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Resolução
Façamos
\[ y=\frac{x-4}{2}. \]
Resolvemos em ordem a \(x\). Multiplicando ambos os membros por \(2\), obtemos
\[ 2y=x-4. \]
Somando \(4\) a ambos os membros:
\[ x=2y+4. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(y)=2y+4. \]
Renomeando a variável independente:
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Verifiquemos agora as duas composições. Para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=2\cdot\frac{x-4}{2}+4=x-4+4=x. \]
Além disso, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=\frac{(2x+4)-4}{2}=x. \]
Uma vez que
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{e}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}, \]
a função encontrada é a inversa de \(f\).
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:\mathbb R\setminus\{-3\}\to\mathbb R\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Resolução
Partimos da equação
\[ y=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Como \(x\ne -3\), o denominador é não nulo. Multiplicamos ambos os membros por \(x+3\):
\[ y(x+3)=2x-1. \]
Desenvolvemos o primeiro membro:
\[ xy+3y=2x-1. \]
Agrupamos os termos que contêm \(x\) num membro e os restantes no outro:
\[ xy-2x=-1-3y. \]
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x(y-2)=-(1+3y). \]
Como o contradomínio é \(\mathbb R\setminus\{2\}\), tem-se \(y\ne 2\), pelo que podemos dividir por \(y-2\):
\[ x=\frac{-(1+3y)}{y-2}. \]
Mudando o sinal do numerador e do denominador, obtemos
\[ x=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Renomeando a variável independente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Observemos que \(x\ne 2\) no domínio de \(f^{-1}\), pelo que o denominador \(2-x\) não se anula. Isto confirma que o domínio da inversa coincide com o contradomínio da função inicial.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Considerar a função
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Averiguar se é invertível e, em caso afirmativo, determinar a sua inversa.
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Resolução
A função
\[ f(x)=x^2 \]
não é invertível de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\); contudo, neste exercício o domínio está restrito a \([0,+\infty)\) e o contradomínio é \([0,+\infty)\).
Verifiquemos a injetividade. Se \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
então
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1\ge 0\) e \(x_2\ge 0\), de \(x_1^2=x_2^2\) resulta
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos a sobrejetividade. Dado um qualquer \(y\in[0,+\infty)\), escolhemos
\[ x=\sqrt y. \]
Então \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x)=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Portanto, \(f\) é sobrejetiva.
Sendo injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva e admite inversa. Da relação
\[ y=x^2 \]
com \(x\ge 0\), obtemos
\[ x=\sqrt y. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Averiguar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
admite função inversa.
Resultado
A função não é invertível, pois não é injetiva nem sobrejetiva em \(\mathbb R\).
Resolução
Uma função \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) admite inversa se e só se for bijetiva, isto é, se for injetiva e sobrejetiva.
A função
\[ f(x)=x^2 \]
não é injetiva. Com efeito,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
e
\[ f(1)=1^2=1. \]
Assim,
\[ f(-1)=f(1), \]
mas \(-1\ne 1\). Logo, dois elementos distintos do domínio têm a mesma imagem.
Além disso, a função não é sobrejetiva em \(\mathbb R\), pois nenhum número negativo é imagem de um número real pela função \(x^2\). Por exemplo, não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x^2=-1. \]
Por conseguinte, \(f\) não é bijetiva.
Portanto, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
não admite função inversa.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:[-2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Resolução
A função está definida em \([-2,+\infty)\), pois deve ter-se
\[ x+2\ge 0. \]
Além disso, toma valores em \([0,+\infty)\), pois uma raiz quadrada é sempre não negativa.
Façamos
\[ y=\sqrt{x+2}. \]
Como \(y\ge 0\), podemos elevar ao quadrado ambos os membros:
\[ y^2=x+2. \]
Resolvendo em ordem a \(x\):
\[ x=y^2-2. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=y^2-2. \]
Renomeando a variável independente:
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Observemos que o domínio de \(f^{-1}\) é \([0,+\infty)\), isto é, o contradomínio de \(f\), ao passo que o contradomínio de \(f^{-1}\) é \([-2,+\infty)\), isto é, o domínio de \(f\).
Verifiquemos:
\[ f^{-1}(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x \]
para todo \(x\in[-2,+\infty)\), e
\[ f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \]
para todo \(x\in[0,+\infty)\). No último passo, tendo em conta que \(x\ge 0\), tem-se \(\sqrt{x^2}=x\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:\mathbb R\to(1,+\infty), \qquad f(x)=e^x+1. \]
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Resolução
A função \(e^x\) é estritamente crescente em \(\mathbb R\), pelo que também \(e^x+1\) é estritamente crescente em \(\mathbb R\). Por conseguinte, \(f\) é injetiva.
Além disso, como
\[ e^x>0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\), tem-se
\[ e^x+1>1. \]
A imagem da função é, portanto, \((1,+\infty)\), que coincide com o contradomínio dado. Logo, a função é sobrejetiva.
Sendo bijetiva, admite inversa. Façamos
\[ y=e^x+1. \]
Subtraindo \(1\) a ambos os membros:
\[ y-1=e^x. \]
Como \(y\in(1,+\infty)\), tem-se \(y-1>0\), pelo que podemos aplicar o logaritmo natural:
\[ \ln(y-1)=x. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(y)=\ln(y-1). \]
Renomeando a variável:
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln x-3. \]
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Resolução
A função logaritmo natural está definida para \(x>0\), é estritamente crescente e toma todos os valores reais. Por conseguinte, também a função \(\ln x-3\) é bijetiva de \((0,+\infty)\) em \(\mathbb R\).
Façamos
\[ y=\ln x-3. \]
Somamos \(3\) a ambos os membros:
\[ y+3=\ln x. \]
Aplicamos a exponencial a ambos os membros:
\[ e^{y+3}=x. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=e^{y+3}. \]
Renomeando a variável independente, obtemos
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Verifiquemos uma das composições:
\[ f(f^{-1}(x))=\ln(e^{x+3})-3=x+3-3=x. \]
Além disso,
\[ f^{-1}(f(x))=e^{(\ln x-3)+3}=e^{\ln x}=x. \]
As duas identidades confirmam que a função encontrada é a inversa.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Averiguar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x \]
é invertível. Em caso negativo, explicar que propriedade falta.
Resultado
A função não é invertível de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), pois não é sobrejetiva.
Resolução
A função
\[ f(x)=e^x \]
é injetiva em \(\mathbb R\), pois a exponencial é estritamente crescente.
No entanto, não é sobrejetiva de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\). Com efeito, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x>0. \]
Assim, nenhum número real menor ou igual a zero é imagem de um número real por \(f\). Por exemplo, não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ e^x=-1. \]
Por conseguinte, a imagem de \(f\) é
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
que é um subconjunto próprio do contradomínio \(\mathbb R\).
Como \(f\) não é sobrejetiva, não é bijetiva. Portanto, não admite função inversa
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Se, em vez disso, se considerar a função
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty), \qquad f(x)=e^x, \]
então a função torna-se bijetiva e a sua inversa é
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Averiguar se a função
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x| \]
é invertível. Em caso negativo, explicar que propriedade falta.
Resultado
A função não é invertível, pois é sobrejetiva mas não injetiva.
Resolução
A função
\[ f(x)=|x| \]
toma sempre valores não negativos, pelo que o contradomínio \([0,+\infty)\) é coerente com a sua imagem.
A função é sobrejetiva em \([0,+\infty)\). Com efeito, dado um qualquer \(y\in[0,+\infty)\), basta escolher
\[ x=y. \]
Então \(x\in\mathbb R\) e
\[ f(x)=|y|=y, \]
pois \(y\ge 0\).
No entanto, \(f\) não é injetiva. Com efeito,
\[ f(-2)=|-2|=2 \]
e
\[ f(2)=|2|=2. \]
Assim,
\[ f(-2)=f(2), \]
mas \(-2\ne 2\).
Como a função não é injetiva, não é bijetiva. Por conseguinte, não admite função inversa.
O problema está em que, partindo do valor \(2\), não seria possível decidir de forma unívoca se o elemento de partida era \(2\) ou \(-2\).
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Considerar a função
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=(x-1)^2. \]
Averiguar se é invertível e, em caso afirmativo, determinar a sua inversa.
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Resolução
A função está definida em \([1,+\infty)\). Neste intervalo tem-se
\[ x-1\ge 0. \]
Verifiquemos a injetividade. Se \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) e
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
então
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Como \(x_1-1\ge 0\) e \(x_2-1\ge 0\), resulta
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Logo,
\[ x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injetiva.
Verifiquemos a sobrejetividade. Seja \(y\in[0,+\infty)\). Pretendemos determinar \(x\in[1,+\infty)\) tal que
\[ (x-1)^2=y. \]
Como \(x-1\ge 0\), obtemos
\[ x-1=\sqrt y. \]
Logo,
\[ x=1+\sqrt y. \]
Este número pertence a \([1,+\infty)\), pelo que a função é sobrejetiva.
Sendo bijetiva, a função é invertível. Da relação
\[ y=(x-1)^2 \]
obtemos
\[ x=1+\sqrt y. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt x. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^3+2. \]
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Resolução
A função
\[ f(x)=x^3+2 \]
é estritamente crescente em \(\mathbb R\), pois a função \(x^3\) é estritamente crescente e a adição de \(2\) não altera a monotonia.
Logo, \(f\) é injetiva.
Além disso, para todo \(y\in\mathbb R\), podemos resolver a equação
\[ x^3+2=y. \]
Subtraindo \(2\):
\[ x^3=y-2. \]
Como qualquer número real admite uma raiz cúbica real, obtemos
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Assim, para todo \(y\in\mathbb R\), existe um \(x\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=y\). A função é sobrejetiva.
Sendo injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva e admite inversa.
Da relação
\[ y=x^3+2 \]
obtemos
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Considerar a função
\[ f:[2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x-2|. \]
Averiguar se é invertível e determinar a sua inversa.
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Resolução
Como o domínio é \([2,+\infty)\), para todo \(x\in[2,+\infty)\) tem-se
\[ x-2\ge 0. \]
Por conseguinte,
\[ |x-2|=x-2. \]
A função reduz-se, assim, a
\[ f(x)=x-2 \]
no domínio \([2,+\infty)\).
Esta função é injetiva, pois se
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
então
\[ x_1-2=x_2-2, \]
e, portanto,
\[ x_1=x_2. \]
É também sobrejetiva em \([0,+\infty)\). Com efeito, dado \(y\in[0,+\infty)\), escolhemos
\[ x=y+2. \]
Então \(x\in[2,+\infty)\) e
\[ f(x)=|y+2-2|=|y|=y, \]
pois \(y\ge 0\).
Logo, a função é bijetiva.
Da relação
\[ y=x-2 \]
obtemos
\[ x=y+2. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar a inversa da função
\[ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Resultado
A função é invertível e coincide com a sua inversa:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Resolução
A função está definida em \((0,+\infty)\) e toma valores em \((0,+\infty)\), pois se \(x>0\), então
\[ \frac{1}{x}>0. \]
Façamos
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Como \(x>0\), podemos multiplicar por \(x\):
\[ xy=1. \]
Como \(y>0\), podemos dividir por \(y\):
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{y}. \]
Renomeando a variável independente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Neste caso, a função coincide com a sua própria inversa.
Verifiquemos:
\[ f(f(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. \]
Assim, aplicar \(f\) duas vezes devolve o elemento inicial.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Considerar a função
\[ f:(-1,+\infty)\to(-\infty,1), \qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Averiguar se é invertível e, em caso afirmativo, determinar a sua inversa.
Resultado
A função é invertível e
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Resolução
Para \(x\in(-1,+\infty)\), tem-se \(x+1>0\), pelo que a função está bem definida.
Além disso, podemos reescrever a função como
\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]
Como \(x+1>0\), tem-se
\[ \frac{1}{x+1}>0. \]
Logo,
\[ f(x)=1-\frac{1}{x+1}<1. \]
Isto é coerente com o contradomínio \((-\infty,1)\).
Determinemos a inversa. Façamos
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Multiplicamos por \(x+1\):
\[ y(x+1)=x. \]
Desenvolvemos:
\[ xy+y=x. \]
Agrupamos os termos que contêm \(x\) no mesmo membro:
\[ xy-x=-y. \]
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x(y-1)=-y. \]
Como \(y\in(-\infty,1)\), tem-se \(y\ne 1\), pelo que podemos dividir por \(y-1\):
\[ x=\frac{-y}{y-1}. \]
Mudando o sinal do numerador e do denominador:
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Logo,
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
Renomeando a variável:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Observemos que o domínio da inversa é \((-\infty,1)\), pelo que \(1-x>0\) e o denominador não se anula.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x. \]
Construir uma inversa à esquerda de \(f\).
Resultado
Uma possível inversa à esquerda é a função \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Com efeito,
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Resolução
A função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
é injetiva, mas não é sobrejetiva em \(\mathbb R\), pois a sua imagem é \((0,+\infty)\).
Para obter uma inversa à esquerda de \(f\), devemos construir uma função
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Explicitamente, deve ter-se
\[ g(f(x))=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Como \(f(x)=e^x>0\), nos valores positivos a função \(g\) deve comportar-se como o logaritmo natural:
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Contudo, \(g\) deve estar definida em todo o \(\mathbb R\), pois o seu domínio deve coincidir com o contradomínio de \(f\).
Nos valores \(y\le 0\), a função \(f\) não impõe qualquer valor a \(g\), pois nenhum número menor ou igual a zero é imagem de \(f\). Podemos, portanto, escolher arbitrariamente um valor real.
Por exemplo, definamos
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Então, para todo \(x\in\mathbb R\), tem-se \(e^x>0\), pelo que
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Logo,
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
A função \(g\) é, portanto, uma inversa à esquerda de \(f\). Não é, contudo, uma verdadeira função inversa, pois \(f\) não é sobrejetiva de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\).
Exercício 17 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Construir duas inversas à direita distintas de \(f\).
Resultado
Duas inversas à direita de \(f\) são
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
e
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Ambas são funções de \([0,+\infty)\) em \(\mathbb R\) e satisfazem
\[ f\circ h_i=\operatorname{id}_{[0,+\infty)} \]
para \(i=1,2\).
Resolução
Uma inversa à direita de \(f\) é uma função
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Explicitamente, deve ter-se
\[ f(h(y))=y \]
para todo \(y\in[0,+\infty)\).
Como \(f(x)=x^2\), devemos escolher, para cada \(y\in[0,+\infty)\), um número real \(h(y)\) tal que
\[ (h(y))^2=y. \]
Uma primeira escolha natural é
\[ h_1(y)=\sqrt y. \]
Com efeito, para todo \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_1(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Logo,
\[ f\circ h_1=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Uma segunda escolha possível é
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Também neste caso, para todo \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_2(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Logo,
\[ f\circ h_2=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
As funções \(h_1\) e \(h_2\) são distintas, pois, por exemplo,
\[ h_1(1)=1, \qquad h_2(1)=-1. \]
Isto mostra que uma função sobrejetiva mas não injetiva pode ter várias inversas à direita.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Demonstrar que, se uma função \(f:A\to B\) admite uma inversa à esquerda \(g:B\to A\), então \(f\) é injetiva.
Resultado
Se existe \(g:B\to A\) tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A, \]
então \(f\) é injetiva.
Resolução
Por hipótese, \(g\) é uma inversa à esquerda de \(f\). Isto significa que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Explicitamente:
\[ g(f(x))=x \]
para todo \(x\in A\).
Devemos demonstrar que \(f\) é injetiva. Tomemos, então, \(x_1,x_2\in A\) e suponhamos que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Para provar a injetividade, devemos deduzir que
\[ x_1=x_2. \]
Aplicamos \(g\) a ambos os membros da igualdade \(f(x_1)=f(x_2)\). Obtemos
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Como \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), tem-se
\[ g(f(x_1))=x_1 \]
e
\[ g(f(x_2))=x_2. \]
Portanto,
\[ x_1=x_2. \]
Fica assim demonstrado que, se dois elementos do domínio têm a mesma imagem, então coincidem. Logo, \(f\) é injetiva.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Demonstrar que, se uma função \(f:A\to B\) admite uma inversa à direita \(h:B\to A\), então \(f\) é sobrejetiva.
Resultado
Se existe \(h:B\to A\) tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B, \]
então \(f\) é sobrejetiva.
Resolução
Por hipótese, \(h\) é uma inversa à direita de \(f\). Logo,
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Explicitamente, para todo \(y\in B\), tem-se
\[ f(h(y))=y. \]
Devemos demonstrar que \(f\) é sobrejetiva. Para tal, tomemos um elemento arbitrário \(y\in B\) e há que mostrar que existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Como \(h\) é uma função de \(B\) em \(A\), o elemento \(h(y)\) pertence a \(A\). Façamos, então,
\[ x=h(y). \]
Então, usando a identidade \(f\circ h=\operatorname{id}_B\), obtemos
\[ f(x)=f(h(y))=y. \]
Encontra-se, deste modo, um elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\).
Como \(y\in B\) era arbitrário, cada elemento de \(B\) é imagem de pelo menos um elemento de \(A\). Logo, \(f\) é sobrejetiva.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Seja \(f:A\to B\) uma função. Suponhamos que existe uma função \(u:B\to A\) tal que
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Demonstrar que \(f\) é bijetiva e que \(u=f^{-1}\).
Resultado
A função \(f\) é bijetiva e \(u\) é a sua função inversa:
\[ u=f^{-1}. \]
Resolução
Por hipótese, a função \(u:B\to A\) satisfaz duas identidades:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
A primeira identidade diz que \(u\) é uma inversa à esquerda de \(f\). Com efeito, para todo \(x\in A\),
\[ u(f(x))=x. \]
Demonstremos primeiro que \(f\) é injetiva. Sejam \(x_1,x_2\in A\) e suponhamos que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicando \(u\) a ambos os membros:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Como \(u\circ f=\operatorname{id}_A\), obtemos
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
A segunda identidade diz que \(u\) é uma inversa à direita de \(f\). Com efeito, para todo \(y\in B\),
\[ f(u(y))=y. \]
Demonstremos agora que \(f\) é sobrejetiva. Seja \(y\in B\). Como \(u(y)\in A\), pondo
\[ x=u(y), \]
tem-se
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Assim, cada elemento \(y\in B\) é imagem de pelo menos um elemento de \(A\). Portanto, \(f\) é sobrejetiva.
Fica demonstrado que \(f\) é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Logo, \(f\) é bijetiva.
Como uma função bijetiva admite uma função inversa \(f^{-1}:B\to A\), esta inversa é caracterizada pelas identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Ora, a função \(u\) satisfaz exatamente estas duas identidades:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{e}\qquad f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Logo, \(u\) é a função que inverte \(f\) tanto à esquerda como à direita.
Pela unicidade da inversa, concluímos que
\[ u=f^{-1}. \]