Intuitivamente, uma função contínua é uma função cujo comportamento não sofre variações bruscas: valores da variável independente suficientemente próximos produzem valores da função igualmente próximos.
Esta ideia intuitiva torna-se rigorosa através da definição de continuidade. Fixada uma precisão arbitrária sobre os valores da função, deve ser possível determinar o quanto \(x\) deve aproximar-se de um ponto \(x_0\) para que essa precisão fique garantida.
Quando \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio, esta propriedade equivale à relação fundamental
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). \]
A continuidade constitui um dos conceitos centrais da Análise Matemática. Neste artigo estudaremos a sua definição rigorosa, a continuidade lateral e em intervalos, as operações que a preservam, as principais funções contínuas e os diferentes tipos de descontinuidade. Veremos ainda alguns resultados fundamentais, entre os quais o teorema da conservação do sinal, o teorema de Bolzano, o teorema do valor intermédio, o teorema de Weierstrass e o teorema da continuidade da função inversa.
Índice
- Continuidade de uma função num ponto
- Continuidade à direita e à esquerda
- Continuidade num intervalo
- Operações com funções contínuas
- Continuidade das funções elementares
- Pontos de descontinuidade
- Teorema da conservação do sinal para funções contínuas
- Teorema de Bolzano e teorema do valor intermédio
- Teorema de Weierstrass
- Continuidade da função inversa
Continuidade de uma função num ponto
Seja \[ f:A\to\mathbb{R} \] uma função e seja \(x_0\in A\).
Definição. A função \(f\) diz-se contínua em \(x_0\) se, para todo \(\varepsilon>0\), existir \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
O significado da definição é preciso. O número \(\varepsilon\) determina quão próximo de \(f(x_0)\) queremos que \(f(x)\) esteja; uma vez escolhido um \(\varepsilon>0\) qualquer, devemos conseguir determinar um número \(\delta>0\) tal que todo \(x\) do domínio suficientemente próximo de \(x_0\) produza um valor \(f(x)\) cuja distância a \(f(x_0)\) seja inferior a \(\varepsilon\).
Por outras palavras, podemos tornar a distância
\[ |f(x)-f(x_0)| \]
tão pequena quanto se queira, escolhendo \(x\) suficientemente próximo de \(x_0\).
Continuidade e limite
Se \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio \(A\), a continuidade de \(f\) em \(x_0\) é equivalente à condição
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Esta igualdade exprime a relação fundamental entre limite e continuidade. O limite descreve o comportamento dos valores \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\); a continuidade exige que esse comportamento seja coerente com o valor que a função efetivamente assume no ponto.
Portanto, quando \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio, para verificar a continuidade por meio de limites devem ser satisfeitas três condições:
- \(f(x_0)\) deve estar definido;
- deve existir o limite \[ \lim_{x\to x_0}f(x); \]
- o limite deve coincidir com o valor assumido pela função: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Se mesmo uma só destas condições não for satisfeita, \(f\) não é contínua em \(x_0\).
Exemplo. Consideremos a função
\[ f(x)=x^2. \]
No ponto \(x_0=2\) tem-se
\[ f(2)=4. \]
Além disso,
\[ \lim_{x\to2}x^2=4. \]
Logo
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2), \]
e portanto \(f(x)=x^2\) é contínua em \(x_0=2\).
Interpretação geométrica. A continuidade em \(x_0\) exprime que o ponto \((x_0,f(x_0))\) é coerente com o comportamento dos valores \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\). Em particular, o valor assumido pela função no ponto coincide com o valor para o qual tendem os valores da função na sua vizinhança.
As diferentes formas em que esta propriedade pode falhar serão classificadas na parte dedicada aos pontos de descontinuidade.
Continuidade à direita e à esquerda
Em alguns casos é necessário estudar separadamente o comportamento da função quando \(x\) se aproxima de um ponto apenas pela direita ou apenas pela esquerda. Introduzem-se assim os conceitos de continuidade à direita e continuidade à esquerda.
Seja
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
e seja \(x_0\in A\).
Se \(x_0\) é um ponto de acumulação de \(A\) pela direita, \(f\) diz-se contínua à direita em \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Analogamente, se \(x_0\) é um ponto de acumulação de \(A\) pela esquerda, \(f\) diz-se contínua à esquerda em \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Quando \(x_0\) é ponto de acumulação do domínio tanto pela esquerda como pela direita, \(f\) é contínua em \(x_0\) se e somente se for contínua tanto pela esquerda como pela direita nesse mesmo ponto.
Equivalentemente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0). \]
Exemplo com uma função definida por partes
Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 2, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
No ponto \(x_0=1\),
\[ f(1)=2. \]
Pela esquerda tem-se
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2, \]
enquanto pela direita
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3-x) = 2. \]
Portanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1) = 2, \]
e portanto \(f\) é contínua em \(x_0=1\).
Continuidade nos extremos de um intervalo
A continuidade lateral é fundamental também nos extremos dos intervalos.
Se uma função está definida em \([a,b]\), no ponto \(a\) considera-se a continuidade à direita:
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
enquanto no ponto \(b\) considera-se a continuidade à esquerda:
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Continuidade num intervalo
Depois de termos definido a continuidade num único ponto, podemos estender naturalmente o conceito a todo um intervalo.
Intervalo aberto
Uma função \(f\) diz-se contínua num intervalo aberto \(I\) se for contínua em cada ponto \(x_0\in I\).
Por exemplo, \(f\) é contínua em \((a,b)\) se, para todo \(x_0\in(a,b)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Intervalo fechado
No caso de um intervalo fechado \([a,b]\), nos extremos a aproximação deve ser considerada permanecendo dentro do intervalo. Por esta razão intervêm os limites laterais.
Uma função
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
diz-se contínua em \([a,b]\) se:
- for contínua em cada ponto \(x_0\in(a,b)\);
- for contínua à direita em \(a\), isto é, \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a); \]
- for contínua à esquerda em \(b\), isto é, \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Intervalos semiabertos
De modo análogo, se o domínio é um intervalo semiaberto, no extremo pertencente ao domínio exige-se a correspondente continuidade lateral.
Uma função
\[ f:[a,b)\to\mathbb{R} \]
é contínua em \([a,b)\) se for contínua em cada ponto de \((a,b)\) e for contínua à direita em \(a\).
Analogamente,
\[ f:(a,b]\to\mathbb{R} \]
é contínua em \((a,b]\) se for contínua em cada ponto de \((a,b)\) e for contínua à esquerda em \(b\).
Continuidade no domínio
Mais geralmente, uma função
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
diz-se contínua em \(A\) se for contínua em cada ponto do seu domínio, considerando a continuidade relativamente aos pontos pertencentes a \(A\).
Por exemplo,
\[ f(x)=x^2 \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\), pois para todo \(x_0\in\mathbb{R}\)
\[ \lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0). \]
A função
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
é, pelo contrário, contínua no seu próprio domínio
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Não estar definida em \(x=0\) não impede, portanto, que se afirme que é contínua no seu próprio domínio. A continuidade é uma propriedade que se verifica nos pontos em que a função está definida.
A continuidade num intervalo desempenhará um papel fundamental nos resultados seguintes: a existência de zeros, a obtenção dos valores intermédios e a existência de máximos e mínimos absolutos dependem, com efeito, da continuidade em intervalos adequados.
Operações com funções contínuas
A continuidade conserva-se através das principais operações algébricas. Isto permite construir novas funções contínuas a partir de funções cuja continuidade já é conhecida.
Sejam \(f\) e \(g\) contínuas num ponto \(x_0\). Então também são contínuas em \(x_0\)
\[ f+g, \qquad f-g, \qquad f\cdot g. \]
Para toda constante \(c\in\mathbb{R}\), é também contínua em \(x_0\) a função
\[ cf. \]
Se
\[ g(x_0)\neq0, \]
é também contínua em \(x_0\) a função quociente
\[ \frac{f}{g}. \]
Porque estas propriedades são válidas
Uma vez que \(f\) e \(g\) são contínuas em \(x_0\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Para a soma, das propriedades dos limites resulta
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] &= \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)\\ &= f(x_0)+g(x_0)\\ &= (f+g)(x_0). \end{aligned} \]
Logo \(f+g\) é contínua em \(x_0\). De modo análogo demonstram-se os resultados relativos à diferença, ao produto e ao produto por uma constante.
Para o quociente, se \(g(x_0)\neq0\),
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \left(\frac{f}{g}\right)(x_0), \]
e portanto \(\displaystyle\frac{f}{g}\) é contínua em \(x_0\).
As mesmas propriedades são válidas num intervalo. Se \(f\) e \(g\) são contínuas num intervalo \(I\), então \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\) e \(cf\) são contínuas em \(I\). O quociente \(\displaystyle\frac{f}{g}\) é contínuo em cada ponto de \(I\) no qual \(g\) não se anula.
Composição de funções contínuas
Outra propriedade fundamental diz respeito à composição.
Seja \(g\) contínua em \(x_0\) e seja \(f\) contínua em \(g(x_0)\). Então a função composta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
é contínua em \(x_0\).
Com efeito,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Uma vez que \(f\) é contínua em \(g(x_0)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = f(g(x_0)). \]
Portanto
\[ \lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x) = (f\circ g)(x_0), \]
e portanto \(f\circ g\) é contínua em \(x_0\).
Exemplo
Consideremos
\[ g(x)=x^2+1 \]
e
\[ f(t)=\sqrt{t}. \]
Ambas as funções são contínuas nos respectivos domínios. Além disso, \(x^2+1>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), logo a composição
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Estes resultados permitem reconhecer a continuidade de um grande número de funções sem ter de aplicar sempre diretamente a definição com \(\varepsilon\) e \(\delta\).
Continuidade das funções elementares
As principais funções elementares são contínuas em cada ponto do seu domínio. Juntamente com as propriedades das operações e da composição, este resultado permite estabelecer rapidamente a continuidade de uma ampla classe de funções.
Funções polinomiais e racionais
Toda função polinomial
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Uma função racional
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]
é contínua em todos os pontos em que o denominador não se anula, isto é, no seu domínio
\[ \{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\}. \]
Potências e radicais
As funções potência e as funções radicais usuais, consideradas nos seus domínios reais, são contínuas.
Por exemplo,
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
é contínua em
\[ [0,+\infty), \]
enquanto
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Funções exponenciais e logarítmicas
A função exponencial
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
é contínua para todo \(x\in\mathbb{R}\).
A função logarítmica
\[ f(x)=\log_a(x), \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
é contínua no seu domínio
\[ (0,+\infty). \]
Em particular, o logaritmo natural (ou logaritmo neperiano)
\[ f(x)=\ln(x) \]
é contínuo para todo \(x>0\).
Funções trigonométricas
As funções
\[ \sin(x), \qquad \cos(x) \]
são contínuas em todo o \(\mathbb{R}\).
A função tangente
\[ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
é contínua nos pontos em que \(\cos(x)\neq0\), isto é, para
\[ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Analogamente, as demais funções trigonométricas definidas por meio de quocientes são contínuas em cada ponto do seu domínio.
Valor absoluto
Também a função
\[ f(x)=|x| \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Um exemplo mais elaborado
Consideremos
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4}. \]
A função polinomial \(x^2+1\) é contínua e satisfaz
\[ x^2+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\). Consequentemente,
\[ \sqrt{x^2+1} \]
é contínua em \(\mathbb{R}\).
Além disso,
\[ x^2+4>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), pelo que o denominador nunca se anula.
Portanto
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4} \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Em geral, no estudo da continuidade de uma função elementar costuma bastar determinar corretamente o seu domínio e reconhecer as operações e composições através das quais a função é construída.
Pontos de descontinuidade
Quando uma função não é contínua num ponto do seu domínio, fala-se em descontinuidade. No estudo dos limites, a mesma terminologia é comumente utilizada também para pontos de acumulação do domínio nos quais a função não está definida, como acontece, por exemplo, nas descontinuidades removíveis.
Suponhamos que \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio tanto pela esquerda como pela direita. Para descrever o comportamento da função em \(x_0\) consideram-se os dois limites laterais
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
O seu comportamento permite distinguir diferentes tipos de descontinuidade.
Descontinuidade removível
Tem-se uma descontinuidade removível em \(x_0\) quando existe e é finito o limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
mas a função não está definida em \(x_0\), ou está definida e
\[ f(x_0)\neq L. \]
A descontinuidade pode ser eliminada definindo, ou redefinindo,
\[ f(x_0)=L. \]
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Para \(x\neq1\),
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Portanto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
A função não está definida em \(x=1\), mas, ao pôr-se
\[ f(1)=2 \]
obtém-se uma função contínua também nesse ponto.
Descontinuidade de primeira espécie ou de salto
Tem-se uma descontinuidade de primeira espécie, também chamada descontinuidade de salto, quando ambos os limites laterais existem e são finitos mas assumem valores diferentes:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
Neste caso o limite quando \(x\to x_0\) não existe. A quantidade
\[ |L_2-L_1| \]
chama-se amplitude do salto.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\geq0. \end{cases} \]
Tem-se
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Os dois limites laterais são finitos mas diferentes. Portanto \(x=0\) é um ponto de descontinuidade de primeira espécie.
Descontinuidade de segunda espécie
Tem-se uma descontinuidade de segunda espécie quando pelo menos um dos dois limites laterais não existe como limite finito.
Isto pode acontecer porque pelo menos um dos limites é infinito, ou porque pelo menos um deles não existe sequer como limite infinito.
Primeiro exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Quando \(x\to0\),
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Uma vez que os dois limites laterais são infinitos, \(x=0\) é um ponto de descontinuidade de segunda espécie. Além disso,
\[ x=0 \]
é uma assíntota vertical do gráfico.
Segundo exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), o argumento \(\displaystyle\frac{1}{x}\) cresce em valor absoluto sem limite e a função continua a oscilar entre \(-1\) e \(1\).
Em consequência, nem o limite à esquerda nem o limite à direita existem, nem sequer como limites infinitos. Também \(x=0\) é, portanto, um ponto de descontinuidade de segunda espécie.
Os diferentes tipos de descontinuidade mostram que a continuidade pode falhar de formas profundamente diferentes. O estudo dos limites laterais permite descrever com precisão o comportamento local da função nos pontos problemáticos.
Teorema da conservação do sinal para funções contínuas
Uma consequência fundamental da continuidade é o teorema da conservação do sinal: se uma função contínua assume num ponto um valor estritamente positivo ou estritamente negativo, então conserva o mesmo sinal numa vizinhança adequada desse ponto.
Seja
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
contínua em \(x_0\in A\).
Se
\[ f(x_0)>0, \]
então existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Analogamente, se
\[ f(x_0)<0, \]
existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<0. \]
Demonstração. Suponhamos
\[ f(x_0)>0. \]
Escolhamos
\[ \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0. \]
Uma vez que \(f\) é contínua em \(x_0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}. \]
Da propriedade do valor absoluto resulta
\[ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x)-f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}. \]
Considerando a desigualdade da esquerda,
\[ f(x) > f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} > 0. \]
Portanto \(f\) mantém sinal positivo numa vizinhança adequada de \(x_0\). O caso \(f(x_0)<0\) demonstra-se de modo análogo.
Porque a hipótese \(f(x_0)\neq0\) é essencial
Se
\[ f(x_0)=0, \]
a continuidade, por si só, não permite determinar o sinal da função nas proximidades de \(x_0\).
Por exemplo,
\[ f(x)=x \]
é contínua em \(x_0=0\), mas assume valores negativos à esquerda de \(0\) e positivos à direita.
O teorema da conservação do sinal será fundamental no teorema de Bolzano, no qual a continuidade permitirá deduzir a existência de pelo menos um zero quando uma função assume valores de sinal oposto nos extremos de um intervalo.
Teorema de Bolzano e teorema do valor intermédio
A continuidade num intervalo produz uma consequência global fundamental: uma função contínua não pode passar de um valor a outro sem assumir também todos os valores intermédios.
Teorema de Bolzano
Seja
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
contínua em \([a,b]\).
Se
\[ f(a)f(b)<0, \]
isto é, se \(f(a)\) e \(f(b)\) têm sinal oposto, então existe pelo menos um ponto
\[ c\in(a,b) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
O teorema garante, portanto, a existência de pelo menos um zero da função no interior do intervalo, mas não afirma que esse zero seja único.
Geometricamente, se o gráfico de uma função contínua se encontra de um lado do eixo \(x\) num extremo do intervalo e do outro lado no outro extremo, tem de cortar necessariamente o eixo \(x\) pelo menos uma vez.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=x^3+x-1 \]
no intervalo \([0,1]\).
Sendo uma função polinomial, \(f\) é contínua em todo o \(\mathbb{R}\), logo também em \([0,1]\). Além disso,
\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1. \]
Portanto
\[ f(0)f(1)=-1<0. \]
Pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um ponto
\[ c\in(0,1) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
O teorema permite, assim, demonstrar a existência de uma solução sem necessidade de determinar o seu valor exato.
Teorema do valor intermédio
O teorema de Bolzano é um caso particular de um resultado mais geral: o teorema do valor intermédio.
Seja
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
contínua em \([a,b]\).
Para todo número real \(k\) compreendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\), existe pelo menos um ponto \(c\in[a,b]\) tal que
\[ f(c)=k. \]
Em particular, se
\[ f(a)<k<f(b) \]
ou
\[ f(b)<k<f(a), \]
então existe pelo menos um ponto
\[ c\in(a,b) \]
tal que
\[ f(c)=k. \]
Isto significa que a imagem de um intervalo por meio de uma função contínua não apresenta lacunas: entre dois valores assumidos pela função são também assumidos todos os valores intermédios.
Por exemplo, se
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
então, para todo \(k\) tal que
\[ 2<k<7, \]
existe pelo menos um \(c\in(a,b)\) com
\[ f(c)=k. \]
O teorema não garante a unicidade: um mesmo valor intermédio pode ser assumido em mais de um ponto do intervalo.
Bolzano como caso particular
Se \(f(a)\) e \(f(b)\) têm sinal oposto, então \(0\) está compreendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\).
Aplicando o teorema do valor intermédio com
\[ k=0, \]
obtém-se imediatamente um ponto \(c\in(a,b)\) tal que
\[ f(c)=0. \]
O teorema de Bolzano pode, assim, ser interpretado como a aplicação do teorema do valor intermédio ao valor particular \(k=0\).
A hipótese de continuidade é essencial. Uma função descontínua pode assumir valores de sinal oposto nos extremos de um intervalo sem assumir o valor \(0\) no seu interior. É precisamente a continuidade que impede que a imagem da função apresente uma lacuna entre os valores considerados.
Teorema de Weierstrass
Outra consequência fundamental da continuidade diz respeito à existência de máximos e mínimos absolutos.
Seja
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
uma função contínua no intervalo fechado e limitado \([a,b]\).
O teorema de Weierstrass afirma que \(f\) assume em \([a,b]\) tanto um valor mínimo como um valor máximo.
Por outras palavras, existem pontos
\[ x_m,x_M\in[a,b] \]
tais que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
para todo \(x\in[a,b]\).
O valor
\[ f(x_m) \]
é o mínimo absoluto de \(f\) em \([a,b]\), enquanto
\[ f(x_M) \]
é o máximo absoluto.
É importante distinguir os pontos nos quais os extremos são atingidos dos próprios valores extremos: \(x_m\) e \(x_M\) pertencem ao domínio, enquanto \(f(x_m)\) e \(f(x_M)\) são, respectivamente, o mínimo e o máximo da função.
Limitação e obtenção dos extremos
O teorema garante, em particular, que uma função contínua num intervalo fechado e limitado é limitada.
Pondo
\[ m=\inf f([a,b]), \qquad M=\sup f([a,b]), \]
tem-se
\[ m\leq f(x)\leq M \]
para todo \(x\in[a,b]\).
Weierstrass afirma, além disso, algo mais forte: estes dois extremos são efetivamente atingidos. Com efeito, existem \(x_m,x_M\in[a,b]\) tais que
\[ m=f(x_m), \qquad M=f(x_M). \]
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=x^2-2x+3 \]
no intervalo \([0,3]\).
Sendo uma função polinomial, \(f\) é contínua em todo o \(\mathbb{R}\), e portanto também em \([0,3]\). O teorema de Weierstrass assegura, assim, a existência tanto de um mínimo absoluto como de um máximo absoluto.
Escrevamos
\[ f(x)=(x-1)^2+2. \]
Uma vez que
\[ (x-1)^2\geq0, \]
o valor mínimo é atingido em \(x=1\):
\[ f(1)=2. \]
Além disso, para \(x\in[0,3]\),
\[ |x-1|\leq2, \]
logo
\[ (x-1)^2\leq4. \]
Portanto
\[ f(x)=(x-1)^2+2\leq6, \]
com igualdade em \(x=3\). O máximo absoluto é, portanto,
\[ f(3)=6. \]
Porque as hipóteses são importantes
As hipóteses do teorema são essenciais. A continuidade, por si só, não é suficiente para garantir a existência de um máximo e de um mínimo absolutos se o intervalo não for fechado e limitado.
Por exemplo,
\[ f(x)=x \]
é contínua no intervalo aberto \((0,1)\), mas não atinge nem o seu ínfimo \(0\) nem o seu supremo \(1\). Em consequência, não possui em \((0,1)\) nem mínimo absoluto nem máximo absoluto.
Analogamente,
\[ f(x)=x \]
é contínua em todo o \(\mathbb{R}\), mas não é limitada e, portanto, não possui nem máximo nem mínimo absolutos.
Interpretação por meio da compacidade
Em \(\mathbb{R}\), todo conjunto fechado e limitado é compacto. O intervalo \([a,b]\) é, portanto, compacto.
Uma vez que a imagem contínua de um conjunto compacto é ainda compacta,
\[ f([a,b]) \]
é um subconjunto compacto de \(\mathbb{R}\).
Em consequência, \(f([a,b])\) é fechado e limitado. Sendo limitado, possui ínfimo e supremo; sendo fechado, contém ambos esses valores. Estes são, portanto, efetivamente atingidos pela função e constituem, respectivamente, o mínimo e o máximo absolutos.
O teorema de Weierstrass é um dos resultados centrais da Análise Matemática e desempenhará um papel fundamental no estudo dos problemas de máximo e mínimo.
Continuidade da função inversa
A continuidade conserva-se, sob hipóteses adequadas, também ao passar para a função inversa.
Seja \(I\subseteq\mathbb{R}\) um intervalo e seja
\[ f:I\to\mathbb{R} \]
uma função contínua e estritamente monótona em \(I\).
Uma vez que \(f\) é estritamente monótona, é injetiva e admite, portanto, uma função inversa definida sobre a imagem
\[ J=f(I). \]
O teorema da continuidade da função inversa afirma que
\[ f^{-1}:J\to I \]
é contínua em \(J\).
Além disso, \(J=f(I)\) é, por sua vez, um intervalo. Isto resulta do teorema do valor intermédio: sendo \(f\) contínua num intervalo, entre dois valores quaisquer assumidos por \(f\) são também assumidos todos os valores intermédios.
A função inversa conserva, além disso, o tipo de monotonia:
- se \(f\) é estritamente crescente, \(f^{-1}\) é também estritamente crescente;
- se \(f\) é estritamente decrescente, \(f^{-1}\) é também estritamente decrescente.
Geometricamente, o gráfico da função inversa obtém-se refletindo o gráfico de \(f\) em relação à reta
\[ y=x. \]
Exemplo: função cúbica
Consideremos
\[ f(x)=x^3, \qquad x\in\mathbb{R}. \]
A função é contínua e estritamente crescente em \(\mathbb{R}\). Além disso,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
A sua função inversa é
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Pelo teorema anterior, \(f^{-1}\) é contínua em todo o \(\mathbb{R}\).
Exemplo: função exponencial
Consideremos
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1. \]
A função exponencial é contínua e estritamente monótona em \(\mathbb{R}\), com imagem
\[ (0,+\infty). \]
A sua função inversa é o logaritmo
\[ f^{-1}(x)=\log_a(x), \]
que é, portanto, contínuo em
\[ (0,+\infty). \]
A continuidade da função inversa completa o quadro das principais propriedades das funções contínuas: continuidade local e em intervalos, conservação por meio das operações e da composição, classificação das descontinuidades e principais consequências globais.
Conclusão
A continuidade descreve uma das propriedades fundamentais das funções reais e estabelece uma relação precisa entre o valor assumido por uma função num ponto e o comportamento dos seus valores na vizinhança desse ponto.
Vimos que a continuidade pode ser estudada por meio de limites, que se conserva através das principais operações algébricas e da composição, e que as funções elementares são contínuas nos seus domínios. Classificamos, além disso, as diferentes formas em que uma função pode deixar de ser contínua, através do estudo dos limites à direita e à esquerda.
Num intervalo, a continuidade produz consequências ainda mais profundas. O teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero quando a função assume valores de sinal oposto nos extremos; o teorema do valor intermédio assegura que uma função contínua assume todos os valores compreendidos entre dois valores da sua imagem; o teorema de Weierstrass, por sua vez, garante a existência de um máximo e um mínimo absolutos num intervalo fechado e limitado.
Estes resultados constituem uma base essencial para o desenvolvimento posterior da Análise Matemática e preparam naturalmente o estudo da derivabilidade, o estudo qualitativo das funções e os problemas de máximo e mínimo.