Funções Injectivas, Sobrejectivas e Bijectivas: Definição, Significado e Exemplos

As funções injectivas, funções sobrejectivas e funções bijectivas desempenham um papel central no estudo das funções.

Estas três noções descrevem o modo como uma função liga o domínio ao contradomínio: algumas funções distinguem perfeitamente os elementos do domínio, outras atingem todo o contradomínio, e outras ainda realizam uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos.

A distinção entre injectividade, sobrejectividade e bijectividade é fundamental para compreender a imagem de uma função, a função inversa e o papel do domínio e do contradomínio na própria definição de função.

De facto, uma mesma lei pode ter propriedades diferentes consoante os conjuntos sobre os quais é considerada. Por este motivo, ao estudar funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas, é sempre necessário considerar a função na sua forma completa:

\[ f:A\to B. \]

Índice

• Funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas: significado intuitivo
• Definição de função injectiva
• Definição de função sobrejectiva
• Definição de função bijectiva
• Diferença entre função injectiva, sobrejectiva e bijectiva
• Como verificar se uma função é injectiva
• Como verificar se uma função é sobrejectiva
• Funções bijectivas e função inversa
• Exemplos sobre funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas
• Erros comuns a evitar

Funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas: significado intuitivo

Para compreender o significado de função injectiva, sobrejectiva e bijectiva, consideremos uma função

\[ f:A\to B. \]

O domínio \(A\) é o conjunto dos elementos aos quais a função pode ser aplicada; o contradomínio \(B\) é o conjunto de chegada da função, isto é, o conjunto ao qual devem pertencer os seus valores. A cada elemento \(x\in A\) a função associa um e um só elemento \(f(x)\in B\).

As propriedades de injectividade, sobrejectividade e bijectividade descrevem o modo como a função liga o domínio ao contradomínio.

Uma função é injectiva quando nunca envia dois elementos distintos do domínio para o mesmo elemento do contradomínio. Por outras palavras, elementos diferentes de \(A\) devem ter imagens diferentes em \(B\).

Uma função é sobrejectiva quando todo o elemento do contradomínio é efectivamente atingido. Por outras palavras, não existem elementos de \(B\) que fiquem fora da imagem da função.

Uma função é bijectiva quando é simultaneamente injectiva e sobrejectiva. Neste caso, cada elemento do contradomínio é atingido por um e um só elemento do domínio: estabelece-se assim uma correspondência perfeita entre \(A\) e \(B\).

De forma intuitiva, uma função injectiva não identifica elementos distintos do domínio; uma função sobrejectiva cobre todo o contradomínio; uma função bijectiva faz ambas as coisas em simultâneo.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]

Esta função não é injectiva, porque dois números reais distintos podem ter a mesma imagem. Com efeito

\[ -1\ne 1, \]

mas

\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ f(1)=1^2=1. \]

Portanto, \(f(-1)=f(1)\), apesar de \(-1\ne 1\). A função não é injectiva.

A mesma função também não é sobrejectiva de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\). Com efeito, a imagem de \(f\) é

\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty), \]

ao passo que o contradomínio declarado é \(\mathbb R\). Os números reais negativos pertencem, pois, ao contradomínio, mas nunca são atingidos pela função.

Consideremos agora a função

\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

A fórmula \( g(x)=x^2 \) é a mesma, mas a função é diferente, porque mudaram o domínio e o contradomínio.

No domínio \([0,+\infty)\), a função \(g\) é injectiva: dois números reais não negativos distintos têm quadrados distintos. Além disso, \(g\) é sobrejectiva sobre \([0,+\infty)\), porque todo o número \(y\ge 0\) pode escrever-se como o quadrado de um número real não negativo.

Com efeito, se \(y\in[0,+\infty)\), escolhendo

\[ x=\sqrt y, \]

tem-se \(x\in[0,+\infty)\) e

\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Portanto, \(g\) é bijectiva.

Este exemplo evidencia um ponto fundamental: a injectividade, a sobrejectividade e a bijectividade não dependem apenas da lei, mas também do domínio e do contradomínio com que a função é definida.

Definição de função injectiva

Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e seja

\[ f:A\to B \]

uma função. Dizer que \(f\) é injectiva significa que elementos distintos do domínio têm imagens distintas.

Em símbolos, \(f\) é injectiva se

\[ x_1\ne x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\ne f(x_2) \]

para quaisquer \(x_1,x_2\in A\).

Esta formulação exprime directamente a ideia intuitiva: uma função injectiva nunca envia dois elementos diferentes do domínio para o mesmo elemento do contradomínio.

Existe, no entanto, uma forma equivalente, muitas vezes mais cómoda nas demonstrações. A função \(f\) é injectiva se e só se

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2 \]

para quaisquer \(x_1,x_2\in A\).

Esta segunda forma afirma que, se dois elementos do domínio têm a mesma imagem, então esses elementos têm necessariamente de coincidir.

As duas condições são equivalentes: a primeira diz que elementos diferentes têm imagens diferentes; a segunda diz que imagens iguais só podem provir do mesmo elemento do domínio.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Mostremos que \(f\) é injectiva. Sejam \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e suponhamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Então

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Subtraindo \(1\) a ambos os membros, obtemos

\[ 2x_1=2x_2. \]

Dividindo por \(2\), segue-se que

\[ x_1=x_2. \]

Demonstrámos, assim, que

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Portanto, a função \(f\) é injectiva.

Consideremos agora a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta função não é injectiva. Com efeito, existem dois elementos distintos do domínio que têm a mesma imagem:

\[ -1\ne 1, \]

mas

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ g(1)=1^2=1. \]

Logo

\[ g(-1)=g(1), \]

apesar de \(-1\ne 1\). Por conseguinte, \(g\) não é injectiva.

Definição de função sobrejectiva

Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e seja

\[ f:A\to B \]

uma função. Dizer que \(f\) é sobrejectiva significa que todo o elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Em símbolos, \(f\) é sobrejectiva se

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Esta condição afirma que nenhum elemento do contradomínio fica excluído dos valores tomados pela função.

Recordemos, com efeito, que a imagem de \(f\) é o conjunto

\[ f(A)=\{\,y\in B\mid \exists x\in A \text{ tal que } f(x)=y\,\}. \]

Portanto, uma função é sobrejectiva se e só se a sua imagem coincide com o contradomínio:

\[ f(A)=B. \]

Por outras palavras, uma função sobrejectiva atinge todos os elementos do conjunto de chegada.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1. \]

Mostremos que \(f\) é sobrejectiva. Seja \(y\in\mathbb R\). Queremos encontrar pelo menos um \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Como \(f(x)=x+1\), temos de resolver a equação

\[ x+1=y. \]

Donde

\[ x=y-1. \]

Como \(y\in\mathbb R\), também \(y-1\in\mathbb R\). Assim, escolhendo \(x=y-1\), obtemos

\[ f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y. \]

Mostrámos, pois, que para todo \(y\in\mathbb R\) existe pelo menos um \(x\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=y\). Portanto, \(f\) é sobrejectiva.

Consideremos agora a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta função não é sobrejectiva. Com efeito, o contradomínio é \(\mathbb R\), mas a função toma apenas valores não negativos:

\[ g(x)=x^2\ge 0 \]

para todo \(x\in\mathbb R\).

Por conseguinte, nenhum número real negativo pertence à imagem de \(g\). Por exemplo, não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2=-1. \]

Assim, \(-1\in\mathbb R\) pertence ao contradomínio, mas não pertence à imagem da função. Portanto, \(g\) não é sobrejectiva.

Se, porém, mudarmos o contradomínio e considerarmos

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

então a função \(h\) é sobrejectiva. Com efeito, para todo \(y\in[0,+\infty)\), escolhendo

\[ x=\sqrt y, \]

tem-se \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Portanto, todo o elemento do contradomínio \([0,+\infty)\) é atingido pela função.

Isto mostra que a sobrejectividade depende de modo essencial do contradomínio escolhido. A mesma lei pode definir uma função sobrejectiva ou não sobrejectiva consoante o conjunto de chegada declarado.

Definição de função bijectiva

Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e seja

\[ f:A\to B \]

uma função. Dizer que \(f\) é bijectiva significa que \(f\) é simultaneamente injectiva e sobrejectiva.

Por outras palavras, uma função é bijectiva quando cada elemento do contradomínio é imagem de um e um só elemento do domínio.

Em símbolos, \(f\) é bijectiva se

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

O símbolo \(\exists!\) significa «existe um e um só». Portanto, a condição anterior afirma que, para cada elemento \(y\) do contradomínio, existe exactamente um elemento \(x\) do domínio tal que \(f(x)=y\).

Esta definição reúne as duas propriedades fundamentais.

• A sobrejectividade garante a existência: cada \(y\in B\) é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
• A injectividade garante a unicidade: nenhum \(y\in B\) pode ser atingido por dois elementos distintos do domínio.

Uma função bijectiva estabelece, pois, uma correspondência perfeita entre domínio e contradomínio: cada elemento do domínio tem uma única imagem no contradomínio, e cada elemento do contradomínio provém de um e um só elemento do domínio.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Mostremos que \(f\) é bijectiva.

Para verificar a injectividade, sejam \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e suponhamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Então

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Subtraindo \(1\) a ambos os membros e dividindo por \(2\), obtemos

\[ x_1=x_2. \]

Logo, \(f\) é injectiva.

Para verificar a sobrejectividade, seja \(y\in\mathbb R\). Procuramos um \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Resolvemos, então, a equação

\[ 2x+1=y. \]

Obtém-se

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Como \(y\in\mathbb R\), também \(\displaystyle \frac{y-1}{2}\in\mathbb R\). Assim, escolhendo

\[ x=\frac{y-1}{2}, \]

tem-se

\[ f(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y. \]

Logo, \(f\) é sobrejectiva.

Como \(f\) é simultaneamente injectiva e sobrejectiva, concluímos que \(f\) é bijectiva.

Consideremos agora a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta função não é bijectiva. Com efeito, não é injectiva, porque \(g(-1)=g(1)\) apesar de \(-1\ne 1\), e não é sobrejectiva, porque nenhum número real negativo pertence à sua imagem.

Se, em vez disso, considerarmos

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

então \(h\) é bijectiva. Com efeito, sobre \([0,+\infty)\) a função \(x^2\) é injectiva, e todo o número real não negativo \(y\) é imagem de \(x=\sqrt y\).

Também neste caso se vê que a bijectividade não depende apenas da lei da função, mas do modo completo como a função está definida, isto é, do domínio, do contradomínio e da lei de associação.

Diferença entre função injectiva, sobrejectiva e bijectiva

As noções de função injectiva, sobrejectiva e bijectiva descrevem propriedades diferentes do modo como uma função liga domínio e contradomínio.

Consideremos uma função

\[ f:A\to B. \]

Dizer que \(f\) é injectiva significa concentrar-se nos elementos do domínio: elementos distintos de \(A\) devem ter imagens distintas em \(B\).

Dizer que \(f\) é sobrejectiva significa, pelo contrário, concentrar-se nos elementos do contradomínio: cada elemento de \(B\) deve ser atingido por pelo menos um elemento de \(A\).

Dizer que \(f\) é bijectiva significa exigir ambas as condições: cada elemento do contradomínio deve ser atingido, e deve sê-lo uma só vez.

Em símbolos:

\[ \text{\(f\) injectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \]

para quaisquer \(x_1,x_2\in A\).

Além disso:

\[ \text{\(f\) sobrejectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(A)=B. \]

Por fim:

\[ \text{\(f\) bijectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{\(f\) é injectiva e sobrejectiva.} \]

Estas três propriedades são independentes no seguinte sentido: uma função pode ser injectiva sem ser sobrejectiva, pode ser sobrejectiva sem ser injectiva, pode ser ambas as coisas, ou pode não ser nenhuma das duas.

Por exemplo, a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]

é injectiva, porque a função exponencial é estritamente crescente em \(\mathbb R\). No entanto, não é sobrejectiva sobre \(\mathbb R\), porque

\[ e^x>0 \]

para todo \(x\in\mathbb R\). Assim, os números reais menores ou iguais a zero pertencem ao contradomínio, mas não pertencem à imagem da função.

Portanto, \(f\) é injectiva, mas não sobrejectiva.

Consideremos agora a função

\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

Esta função é sobrejectiva, porque todo o número real não negativo \(y\) é o quadrado de pelo menos um número real. Com efeito, se \(y\ge 0\), escolhendo \(x=\sqrt y\), obtém-se

\[ g(x)=y. \]

No entanto, \(g\) não é injectiva, porque

\[ g(-1)=g(1)=1, \]

apesar de \(-1\ne 1\).

Portanto, \(g\) é sobrejectiva, mas não injectiva.

A função

\[ h:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad h(x)=2x+1 \]

é, pelo contrário, bijectiva. Com efeito, é injectiva, porque valores distintos de \(x\) produzem valores distintos de \(2x+1\), e é sobrejectiva, porque todo \(y\in\mathbb R\) se obtém escolhendo

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Por fim, a função

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^2 \]

não é injectiva nem sobrejectiva. Não é injectiva porque valores simétricos têm o mesmo quadrado; não é sobrejectiva porque não toma valores negativos.

Estes exemplos mostram que a injectividade e a sobrejectividade respondem a perguntas diferentes. A injectividade diz respeito à unicidade da proveniência dos valores; a sobrejectividade diz respeito ao facto de todos os elementos do contradomínio serem efectivamente atingidos.

Como verificar se uma função é injectiva

Verificar se uma função é injectiva significa determinar se elementos distintos do domínio têm sempre imagens distintas.

Consideremos uma função

\[ f:A\to B. \]

Para demonstrar que \(f\) é injectiva, o método mais usado consiste em partir da igualdade entre duas imagens e mostrar que os elementos de partida têm de coincidir.

Tomam-se, então, dois elementos arbitrários \(x_1,x_2\in A\) e supõe-se que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Se desta igualdade se conseguir deduzir que

\[ x_1=x_2, \]

então a função é injectiva.

De forma sintética, o raciocínio é o seguinte:

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Se esta implicação for válida para quaisquer \(x_1,x_2\in A\), então \(f\) é injectiva.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]

Sejam \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e suponhamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Então

\[ 3x_1-2=3x_2-2. \]

Somando \(2\) a ambos os membros, obtemos

\[ 3x_1=3x_2. \]

Dividindo por \(3\), segue-se que

\[ x_1=x_2. \]

Logo

\[ f(x_1)=f(x_2)\quad \Longrightarrow\quad x_1=x_2. \]

Portanto, \(f\) é injectiva.

Para mostrar, pelo contrário, que uma função não é injectiva, basta encontrar um contra-exemplo: dois elementos distintos do domínio que têm a mesma imagem.

Em símbolos, é preciso encontrar \(x_1,x_2\in A\) tais que

\[ x_1\ne x_2 \]

mas

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Por exemplo, consideremos a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

A função não é injectiva, porque

\[ -1\ne 1, \]

mas

\[ g(-1)=(-1)^2+1=2 \]

e

\[ g(1)=1^2+1=2. \]

Portanto, \(g(-1)=g(1)\), apesar de \(-1\ne 1\). Isto basta para concluir que \(g\) não é injectiva.

Em alguns casos, a injectividade também pode ser verificada recorrendo à monotonia. Se uma função real de variável real é estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo o seu domínio, então é injectiva.

Com efeito, se \(x_1<x_2\) e \(f\) é estritamente crescente, então

\[ f(x_1)<f(x_2), \]

de modo que dois elementos distintos do domínio não podem ter a mesma imagem. Um raciocínio análogo vale para as funções estritamente decrescentes.

Por exemplo, a função

\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]

é injectiva, porque é estritamente crescente no domínio \([0,+\infty)\).

É preciso, no entanto, ter cuidado: uma função crescente, mas não estritamente crescente, não é necessariamente injectiva. A injectividade exige que elementos distintos tenham sempre imagens distintas.

Do ponto de vista gráfico, uma função real de variável real é injectiva quando toda a recta horizontal intersecta o gráfico em, no máximo, um ponto. Este critério é frequentemente designado por teste da recta horizontal.

Se uma recta horizontal encontra o gráfico em dois pontos distintos, então existem dois elementos diferentes do domínio com a mesma imagem e, portanto, a função não é injectiva. O critério é útil para interpretar geometricamente a injectividade, mas nas demonstrações é preferível usar a definição simbólica.

Como verificar se uma função é sobrejectiva

Verificar se uma função é sobrejectiva significa determinar se todo o elemento do contradomínio é efectivamente atingido pela função.

Consideremos uma função

\[ f:A\to B. \]

Para demonstrar que \(f\) é sobrejectiva, é preciso tomar um elemento arbitrário \(y\in B\) e mostrar que existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que

\[ f(x)=y. \]

De forma sintética, o raciocínio é o seguinte:

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Se esta condição for satisfeita, então todo o elemento do contradomínio pertence à imagem da função. Por conseguinte

\[ f(A)=B, \]

e, portanto, \(f\) é sobrejectiva.

Na prática, para verificar a sobrejectividade parte-se da equação

\[ f(x)=y \]

e tenta-se resolvê-la em ordem a \(x\). Se, para todo \(y\in B\), se conseguir encontrar pelo menos uma solução \(x\in A\), então a função é sobrejectiva.

Para as funções reais de variável real, verificar a sobrejectividade significa muitas vezes determinar a imagem da função. Conforme os casos, pode ser necessário estudar a monotonia, calcular limites, localizar máximos e mínimos ou resolver directamente a equação \(f(x)=y\).

A pergunta fundamental é sempre a mesma: a imagem da função coincide com o contradomínio declarado?

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3. \]

Seja \(y\in\mathbb R\). Queremos encontrar um número real \(x\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Como \(f(x)=2x-3\), temos de resolver a equação

\[ 2x-3=y. \]

Donde

\[ 2x=y+3 \]

e, portanto,

\[ x=\frac{y+3}{2}. \]

Como \(y\in\mathbb R\), também \(\displaystyle \frac{y+3}{2}\in\mathbb R\). Assim, escolhendo

\[ x=\frac{y+3}{2}, \]

obtemos

\[ f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y. \]

Mostrámos, pois, que todo \(y\in\mathbb R\) é imagem de pelo menos um \(x\in\mathbb R\). Portanto, \(f\) é sobrejectiva.

Para mostrar, pelo contrário, que uma função não é sobrejectiva, basta encontrar pelo menos um elemento do contradomínio que não seja atingido.

Em símbolos, é preciso encontrar um elemento \(y\in B\) tal que a equação

\[ f(x)=y \]

não tenha soluções \(x\in A\).

Por exemplo, consideremos a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

Esta função não é sobrejectiva. Com efeito, o contradomínio é \(\mathbb R\), mas para todo \(x\in\mathbb R\) tem-se

\[ x^2\ge 0, \]

de modo que

\[ x^2+1\ge 1. \]

Por conseguinte, a função não toma valores menores do que \(1\). Por exemplo, \(0\in\mathbb R\) pertence ao contradomínio, mas não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2+1=0. \]

Portanto, \(g\) não é sobrejectiva.

Contudo, a mesma lei pode tornar-se sobrejectiva se for escolhido um contradomínio diferente. Consideremos, com efeito,

\[ h:\mathbb R\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]

Mostremos que \(h\) é sobrejectiva. Seja \(y\in[1,+\infty)\). Então \(y\ge 1\), de modo que

\[ y-1\ge 0. \]

Podemos, pois, escolher

\[ x=\sqrt{y-1}. \]

Tem-se \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]

Portanto, todo o elemento do contradomínio \([1,+\infty)\) é atingido pela função. Assim, \(h\) é sobrejectiva.

Este exemplo confirma que a sobrejectividade não é uma propriedade da lei por si só, mas da função no seu conjunto. Para determinar se uma função é sobrejectiva, é sempre preciso considerar conjuntamente o domínio, o contradomínio e a lei de associação.

Funções bijectivas e função inversa

As funções bijectivas são particularmente importantes porque permitem definir uma função inversa.

Consideremos uma função

\[ f:A\to B. \]

Dizer que \(f\) é bijectiva significa que cada elemento \(y\in B\) é imagem de um e um só elemento \(x\in A\). Em símbolos:

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Esta propriedade permite inverter o sentido da correspondência. Com efeito, se cada \(y\in B\) provém de um e um só \(x\in A\), então podemos associar a cada elemento \(y\in B\) aquele único elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\).

Define-se assim uma nova função

\[ f^{-1}:B\to A, \]

chamada função inversa de \(f\).

Por definição, a função inversa associa a cada \(y\in B\) o único elemento \(x\in A\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Em símbolos:

\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]

A bijectividade é essencial para se poder definir a inversa sobre todo o contradomínio \(B\).

• A sobrejectividade garante que cada \(y\in B\) tem pelo menos uma pré-imagem em \(A\).
• A injectividade garante que essa pré-imagem é única.

Sem sobrejectividade, existiriam elementos do contradomínio não atingidos pela função e, portanto, a inversa não poderia ser definida sobre todo o \(B\). Sem injectividade, existiriam elementos do contradomínio atingidos por vários elementos do domínio e, portanto, a inversa não seria uma função.

Por exemplo, consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Esta função é bijectiva. Para encontrar a sua inversa, pomos

\[ y=2x+1 \]

e resolvemos em ordem a \(x\). Obtém-se

\[ y-1=2x \]

e, portanto,

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Portanto,

\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]

Designando novamente a variável independente por \(x\), escreve-se habitualmente

\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Neste caso, a função inversa é

\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Verifiquemos agora o significado da inversa através da composição. Para todo \(x\in\mathbb R\),

\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x. \]

Além disso, para todo \(x\in\mathbb R\),

\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x. \]

Portanto, compor uma função bijectiva com a sua inversa devolve o elemento de partida.

Consideremos agora a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta função não admite inversa de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), porque não é bijectiva. Com efeito, não é injectiva, visto que

\[ g(-1)=g(1), \]

apesar de \(-1\ne 1\). Além disso, não é sobrejectiva sobre \(\mathbb R\), porque não toma valores negativos.

Se, porém, restringirmos o domínio e o contradomínio e considerarmos

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

então \(h\) é bijectiva e admite função inversa. Para todo \(y\in[0,+\infty)\), o único \(x\in[0,+\infty)\) tal que

\[ x^2=y \]

é

\[ x=\sqrt y. \]

Portanto,

\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h^{-1}(x)=\sqrt x. \]

Este exemplo mostra mais uma vez que a existência da função inversa não depende apenas da lei, mas da função considerada na sua totalidade: domínio, contradomínio e lei de associação.

Exemplos sobre funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas

Vejamos alguns exemplos em que as propriedades de injectividade, sobrejectividade e bijectividade são determinadas explicitamente. Em todos os casos é importante considerar não só a lei da função, mas também o domínio e o contradomínio com que está definida.

Exemplo 1. Consideremos a função

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]

Mostremos que \(f\) é bijectiva.

Para verificar a injectividade, sejam \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e suponhamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Então

\[ x_1+3=x_2+3. \]

Subtraindo \(3\) a ambos os membros, obtemos

\[ x_1=x_2. \]

Logo, \(f\) é injectiva.

Para verificar a sobrejectividade, seja \(y\in\mathbb R\). Procuramos \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Temos, então, de resolver

\[ x+3=y, \]

donde

\[ x=y-3. \]

Como \(y\in\mathbb R\), também \(y-3\in\mathbb R\). Escolhendo \(x=y-3\), obtém-se

\[ f(x)=f(y-3)=(y-3)+3=y. \]

Logo, \(f\) é sobrejectiva.

Como \(f\) é simultaneamente injectiva e sobrejectiva, \(f\) é bijectiva.

Exemplo 2. Consideremos a função

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

A função \(g\) não é injectiva, porque dois elementos distintos do domínio podem ter a mesma imagem. Com efeito

\[ -1\ne 1, \]

mas

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ g(1)=1^2=1. \]

Portanto, \(g(-1)=g(1)\), apesar de \(-1\ne 1\). A função não é injectiva.

Além disso, \(g\) não é sobrejectiva de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\). Com efeito, para todo \(x\in\mathbb R\) tem-se

\[ x^2\ge 0. \]

Logo, a função não toma valores negativos. Por exemplo, não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2=-1. \]

Portanto, \(g\) não é sobrejectiva.

Concluímos que \(g\) não é injectiva nem sobrejectiva; logo, não é bijectiva.

Exemplo 3. Consideremos a função

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2. \]

Relativamente ao exemplo anterior, a lei e o domínio são os mesmos, mas o contradomínio mudou.

A função \(h\) não é injectiva, porque

\[ h(-1)=h(1)=1, \]

apesar de \(-1\ne 1\).

No entanto, \(h\) é sobrejectiva. Com efeito, seja \(y\in[0,+\infty)\). Então \(y\ge 0\), de modo que podemos escolher

\[ x=\sqrt y. \]

Tem-se \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Portanto, todo o elemento do contradomínio \([0,+\infty)\) é atingido pela função.

Assim, \(h\) é sobrejectiva, mas não injectiva. Por conseguinte, não é bijectiva.

Contudo, a mesma lei torna-se injectiva se se restringir o domínio a \([0,+\infty)\), porque nesse intervalo a função \(x^2\) é estritamente crescente.

Exemplo 4. Consideremos a função

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^3. \]

Mostremos que \(p\) é bijectiva.

Para verificar a injectividade, sejam \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e suponhamos que

\[ p(x_1)=p(x_2). \]

Então

\[ x_1^3=x_2^3. \]

Como a função cúbica é estritamente crescente em \(\mathbb R\), de \(x_1^3=x_2^3\) segue-se necessariamente

\[ x_1=x_2. \]

Logo, \(p\) é injectiva.

Para verificar a sobrejectividade, seja \(y\in\mathbb R\). Escolhendo

\[ x=\sqrt[3]{y}, \]

tem-se \(x\in\mathbb R\) e

\[ p(x)=p(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y. \]

Logo, \(p\) é sobrejectiva.

Como \(p\) é simultaneamente injectiva e sobrejectiva, \(p\) é bijectiva.

Exemplo 5. Consideremos os conjuntos finitos

\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\} \]

e a função \(q:A\to B\) definida por

\[ q(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=c. \]

A função \(q\) é injectiva, porque elementos distintos de \(A\) têm imagens distintas em \(B\).

Além disso, \(q\) é sobrejectiva, porque todo o elemento do contradomínio \(B\) é atingido:

\[ a=q(1),\qquad b=q(2),\qquad c=q(3). \]

Logo, \(q\) é bijectiva.

Este exemplo ilustra de forma simples a ideia de correspondência um a um: a cada elemento do domínio corresponde um elemento diferente do contradomínio, e cada elemento do contradomínio é atingido exactamente uma vez.

Exemplo 6. Consideremos a função

\[ r:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad r(x)=e^x. \]

A função \(r\) é injectiva, porque a função exponencial é estritamente crescente em \(\mathbb R\).

Além disso, \(r\) é sobrejectiva sobre o contradomínio \((0,+\infty)\). Com efeito, se \(y\in(0,+\infty)\), então \(y>0\) e podemos escolher

\[ x=\log y. \]

Tem-se \(x\in\mathbb R\) e

\[ r(x)=r(\log y)=e^{\log y}=y. \]

Logo, \(r\) é bijectiva.

A sua função inversa é

\[ r^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad r^{-1}(x)=\log x. \]

Também neste caso a escolha do contradomínio é essencial: se a exponencial fosse declarada como função de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), não seria sobrejectiva.

Erros comuns a evitar

Resumimos alguns erros frequentes no estudo das funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas.

• Confundir injectividade e sobrejectividade. A injectividade diz respeito ao facto de elementos distintos do domínio terem imagens distintas; a sobrejectividade, pelo contrário, diz respeito ao facto de todo o elemento do contradomínio ser atingido.
• Pensar que a lei determina por si só estas propriedades. A mesma lei pode definir funções com propriedades diferentes se mudarem o domínio ou o contradomínio.
• Estabelecer a sobrejectividade sem olhar para o contradomínio. Uma função é sobrejectiva se a sua imagem coincide com o contradomínio declarado, e não simplesmente se toma «muitos» valores.
• Estabelecer a injectividade olhando apenas para alguns valores. Para demonstrar que uma função é injectiva é preciso verificar a propriedade para todos os elementos do domínio; para demonstrar que não é injectiva basta, pelo contrário, um único contra-exemplo.
• Pensar que uma função bijectiva é apenas uma função invertível «ao nível da fórmula ou da lei». Uma função é bijectiva quando cada elemento do contradomínio é atingido por um e um só elemento do domínio. Só neste caso existe uma função inversa definida sobre todo o contradomínio.

Por exemplo, uma função pode ter uma lei simples e aparentemente bem conhecida, mas mudar completamente de comportamento se mudarem o domínio ou o contradomínio. Por este motivo, nunca se deve estabelecer a injectividade, a sobrejectividade ou a bijectividade olhando apenas para a expressão da função.

A injectividade, a sobrejectividade e a bijectividade devem ser estudadas sobre a função completa, isto é, tendo em conta o domínio, o contradomínio e a lei de correspondência.

Em conclusão, uma função injectiva não envia elementos distintos para o mesmo valor; uma função sobrejectiva atinge todo o contradomínio; uma função bijectiva realiza ambas as condições e estabelece uma correspondência um a um entre domínio e contradomínio.