Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que associa a cada elemento do primeiro conjunto (domínio) um e um único elemento do segundo conjunto (codomínio).
Neste artigo estudaremos a definição formal de função, o significado de domínio, codomínio e imagem, bem como as propriedades fundamentais de injectividade, surjectividade, bijectividade, função inversa e restrição.
Índice
- Definição de Função
- Domínio, Codomínio e Imagem
- Funções Injectivas
- Exercícios sobre Funções Injectivas
- Funções Surjectivas
- Exercícios sobre Funções Surjectivas
- Funções Bijectivas
- Função Inversa
- Exercícios sobre Funções Bijectivas
- Restrição de uma Função
- Exercícios sobre a Restrição de Funções
Definição de Função
Uma função (ou aplicação) é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto \(X\) um e um único elemento de um conjunto \(Y\).
Escreve-se:
\[ f:X\to Y, \]
onde \(X\) é o domínio e \(Y\) o codomínio.
Se \(x\in X\), o valor associado a \(x\) pela função designa-se por \(f(x)\) e chama-se imagem de \(x\).
A notação:
\[ x\mapsto f(x) \]
descreve explicitamente a correspondência definida pela função.
A propriedade fundamental de uma função é a unicidade da imagem: para cada elemento do domínio deve existir um e um único elemento do codomínio que lhe está associado.
Por exemplo:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2 \]
define uma função, pois a cada número real associa um único número real.
Domínio, Codomínio e Imagem
Dada uma função:
\[ f:X\to Y, \]
o conjunto \(X\) chama-se domínio e \(Y\) é o codomínio. O conjunto dos valores efectivamente assumidos pela função designa-se por imagem.
Em símbolos:
\[ \operatorname{Im}(f)=f(X)=\{y\in Y \mid \exists x\in X:\ f(x)=y\}. \]
Verifica-se sempre:
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y, \]
ou seja, a imagem é um subconjunto do codomínio.
Consideremos:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Neste caso o domínio e o codomínio coincidem com \(\mathbb{R}\), enquanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty), \]
pois o quadrado de um número real não pode ser negativo.
Funções Injectivas
Uma função:
\[ f:X\to Y \]
diz-se injectiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas:
\[ x_1\neq x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
De forma equivalente:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Intuitivamente, uma função injectiva não "identifica" elementos distintos do domínio.
Consideremos:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ 2x_1+1=2x_2+1 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
A função é portanto injectiva.
A função:
\[ f(x)=x^2 \]
não é injectiva, pois:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
sendo porém:
\[ 1\neq -1. \]
Do ponto de vista gráfico, uma função é injectiva se cada recta horizontal intersecta o gráfico em, no máximo, um ponto. Este critério designa-se por teste da recta horizontal.
Exercícios sobre Funções Injectivas
Exercício 1. Determine se:
\[ f(x)=2x+3 \]
é injectiva em \(\mathbb{R}\).
Solução. Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtemos:
\[ 2x_1+3=2x_2+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
A função é portanto injectiva.
Exercício 2. Determine se:
\[ f(x)=x^2 \]
é injectiva em \(\mathbb{R}\).
Solução. Tem-se:
\[ f(2)=4 \qquad \text{e} \qquad f(-2)=4, \]
sendo porém:
\[ 2\neq -2. \]
A função não é portanto injectiva.
Funções Surjectivas
Uma função:
\[ f:X\to Y \]
diz-se surjectiva se todo o elemento do codomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio:
\[ \forall y\in Y, \quad \exists x\in X \quad \text{tal que} \quad f(x)=y. \]
De forma equivalente:
\[ \operatorname{Im}(f)=Y. \]
Intuitivamente, uma função surjectiva "cobre" todo o codomínio.
Consideremos:
\[ f(x)=2x+1. \]
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Resolvendo:
\[ 2x+1=y, \]
obtemos:
\[ x=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{R}. \]
A função é portanto surjectiva.
A função:
\[ f(x)=x^2 \]
não é surjectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\), pois:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Exercícios sobre Funções Surjectivas
Exercício 1. Determine se:
\[ f(x)=2x+3 \]
é surjectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\).
Solução. Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Resolvendo:
\[ 2x+3=y, \]
obtemos:
\[ x=\frac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. \]
A função é portanto surjectiva.
Exercício 2. Determine se:
\[ f(x)=x^2 \]
é surjectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\).
Solução. Não existe nenhum:
\[ x\in\mathbb{R} \]
tal que:
\[ x^2=-1. \]
A função não é portanto surjectiva.
Funções Bijectivas
Uma função:
\[ f:X\to Y \]
diz-se bijectiva se é simultaneamente injectiva e surjectiva.
Numa função bijectiva, cada elemento do codomínio é imagem de um e um único elemento do domínio.
As funções bijectivas estabelecem assim uma correspondência perfeita entre domínio e codomínio, e são precisamente as funções que admitem função inversa.
A função:
\[ f(x)=2x+1 \]
é bijectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\), ao passo que:
\[ f(x)=x^2 \]
não é bijectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\), pois não é nem injectiva nem surjectiva.
Função Inversa
Seja:
\[ f:X\to Y. \]
Uma função:
\[ g:Y\to X \]
diz-se função inversa de \(f\) se:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X \qquad \text{e} \qquad f\circ g=\operatorname{Id}_Y. \]
Nesse caso escreve-se:
\[ g=f^{-1}. \]
De forma equivalente:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \forall x\in X, \]
e:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \forall y\in Y. \]
Uma função admite inversa se e somente se é bijectiva.
Inversa Esquerda e Injectividade
Seja:
\[ f:X\to Y \]
uma função injectiva com:
\[ X\neq\varnothing. \]
Então existe uma função:
\[ g:Y\to X \]
tal que:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X. \]
Uma tal função designa-se por inversa esquerda.
Para cada:
\[ y\in f(X), \]
existe com efeito um único:
\[ x\in X \]
tal que:
\[ f(x)=y. \]
Para os elementos de:
\[ Y\setminus f(X), \]
o valor da função pode ser definido arbitrariamente.
Inversa Direita e Surjectividade
Seja:
\[ f:X\to Y \]
uma função surjectiva.
Uma função:
\[ h:Y\to X \]
tal que:
\[ f\circ h=\operatorname{Id}_Y \]
designa-se por inversa direita.
Para construir tal função é necessário escolher, para cada:
\[ y\in Y, \]
um elemento:
\[ x\in X \]
tal que:
\[ f(x)=y. \]
Em geral, a existência de tal função de escolha para famílias arbitrárias está ligada ao Axioma da Escolha.
Caso Bijectivo
Se uma função é bijectiva, então existem uma única inversa esquerda e uma única inversa direita.
Além disso, elas coincidem e definem a função inversa:
\[ f^{-1}:Y\to X. \]
Consideremos:
\[ f(x)=2x+1. \]
Resolvendo:
\[ y=2x+1 \]
em ordem a \(x\), obtemos:
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
A função inversa é portanto:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Exercícios sobre Funções Bijectivas
Exercício 1. Determine se:
\[ f(x)=3x-4 \]
é bijectiva de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\).
Solução. A função é injectiva e surjectiva, logo é bijectiva.
Resolvendo:
\[ y=3x-4, \]
obtemos:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}. \]
Exercício 2. Verifique se:
\[ f(x)=x^2 \]
é bijectiva de:
\[ [0,+\infty) \]
em:
\[ [0,+\infty). \]
Solução. Nesse intervalo a função é injectiva e todo o número real não negativo possui uma raiz quadrada real não negativa. A função é portanto bijectiva.
A função inversa é:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]
Restrição de uma Função
A restrição de uma função consiste em limitar o domínio a um subconjunto.
Este procedimento é frequentemente útil para tornar uma função injectiva ou bijectiva.
Por exemplo:
\[ f(x)=x^2 \]
não é injectiva em \(\mathbb{R}\), mas a restrição:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2 \]
é bijectiva.
Quando se restringe também o codomínio de modo a obter uma função surjectiva, fala-se mais precisamente de corestrição.
Exercícios sobre a Restrição de Funções
Exercício 1. Restrinja o domínio de:
\[ f(x)=x^2 \]
de modo que a função se torne bijectiva.
Solução. Consideremos a restrição:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Neste caso a função é injectiva e surjectiva, logo bijectiva.
A função inversa é:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]