As funções pares e as funções ímpares são caracterizadas por determinadas propriedades de simetria. Uma função par assume o mesmo valor em dois pontos opostos \(x\) e \(-x\), ao passo que uma função ímpar assume valores opostos.
Do ponto de vista geométrico, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, ao passo que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Estas simetrias permitem simplificar o estudo do gráfico e são particularmente úteis também no cálculo de integrais em intervalos simétricos.
Antes de definir formalmente as funções pares e ímpares, é, contudo, necessário esclarecer uma condição fundamental: o domínio da função deve ser simétrico em relação à origem. Com efeito, para comparar \(f(x)\) com \(f(-x)\), ambos os valores devem estar definidos.
Índice
- Domínio simétrico em relação à origem
- Funções pares
- Significado geométrico das funções pares
- Funções ímpares
- Significado geométrico das funções ímpares
- Funções nem pares nem ímpares
- Funções simultaneamente pares e ímpares
- Soma de funções pares e ímpares
- Produto de funções pares e ímpares
- Integrais de funções pares e ímpares em intervalos simétricos
- Decomposição em parte par e parte ímpar
- Unicidade da decomposição
Domínio simétrico em relação à origem
Para falar corretamente de função par ou de função ímpar, o domínio deve possuir uma propriedade preliminar: deve ser simétrico em relação à origem.
Diz-se que um conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) é simétrico em relação à origem se, para cada elemento \(x\in X\), o seu oposto \(-x\) também pertence a \(X\). Em símbolos:
\[ x\in X \implies -x\in X. \]
Esta condição significa que o domínio contém sempre os pares de pontos opostos \(x\) e \(-x\).
Por exemplo, os conjuntos
\[ \mathbb R, \qquad [-a,a], \qquad (-a,a), \qquad \mathbb R\setminus\{0\} \]
são simétricos em relação à origem.
Por outro lado, os conjuntos
\[ [0,+\infty), \qquad (0,+\infty), \qquad [1,3] \]
não são simétricos em relação à origem. Por exemplo, \(1\in[0,+\infty)\), mas \(-1\notin[0,+\infty)\).
A simetria do domínio é essencial porque, para determinar se uma função é par ou ímpar, é necessário comparar os valores \(f(x)\) e \(f(-x)\). Se \(x\) pertence ao domínio mas \(-x\) não pertence, então \(f(-x)\) não está definido e a comparação não faz sentido.
Por conseguinte, uma função só pode ser par ou ímpar se o seu domínio for simétrico em relação à origem.
Funções pares
Seja \(f:X\to\mathbb R\) uma função definida num domínio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico em relação à origem. Diz-se que a função \(f\) é par se, para cada \(x\in X\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Ou seja, uma função é par se assume o mesmo valor em dois pontos opostos do domínio. A condição deve verificar-se para cada elemento do domínio.
A definição envolve, portanto, dois requisitos distintos:
- o domínio deve ser simétrico em relação à origem;
- a função deve assumir o mesmo valor em \(x\) e em \(-x\).
Se um destes dois requisitos não se verificar, a função não é par.
Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
O domínio é \(\mathbb R\), logo é simétrico em relação à origem. Além disso, para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). \]
Portanto, a função \(f(x)=x^2\) é par.
A função cosseno também é par. Com efeito, para cada \(x\in\mathbb R\) é válida a identidade trigonométrica
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
Portanto, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\cos x \]
é uma função par.
Outro exemplo é a função cosseno hiperbólico. Recordando que
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \]
obtemos
\[ \cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
Portanto, \(f(x)=\cosh x\) é par.
Consideremos, por fim, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{-x^2}. \]
Para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x). \]
Assim, \(f(x)=e^{-x^2}\) é também uma função par.
Significado geométrico das funções pares
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
Com efeito, se \(f\) é par, então para cada \(x\) do domínio
\[ f(-x)=f(x). \]
Isto significa que os pontos do gráfico correspondentes a \(x\) e a \(-x\) têm a mesma ordenada:
\[ (x,f(x)) \qquad \text{e} \qquad (-x,f(-x))=(-x,f(x)). \]
Os dois pontos são simétricos em relação ao eixo \(y\). Por conseguinte, todo o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
Esta propriedade é útil no estudo do gráfico: se uma função é par, basta estudá-la para \(x\ge 0\). A parte do gráfico correspondente a \(x<0\) obtém-se depois por simetria em relação ao eixo das ordenadas.
Funções ímpares
Seja \(f:X\to\mathbb R\) uma função definida num domínio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico em relação à origem. Diz-se que a função \(f\) é ímpar se, para cada \(x\in X\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Ou seja, uma função é ímpar se assume valores opostos em dois pontos opostos do domínio. Também neste caso a condição deve verificar-se para cada elemento do domínio.
A definição exige, portanto, dois requisitos distintos:
- o domínio deve ser simétrico em relação à origem;
- a função deve assumir valores opostos em \(x\) e em \(-x\).
Se um destes dois requisitos não se verificar, a função não é ímpar.
Consideremos a função seno:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\operatorname{sen} x. \]
O domínio é \(\mathbb R\), logo é simétrico em relação à origem. Além disso, para cada \(x\in\mathbb R\) é válida a identidade trigonométrica
\[ \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x. \]
Portanto, a função \(f(x)=\operatorname{sen} x\) é ímpar.
Outro exemplo fundamental é a função cúbica:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3. \]
Para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). \]
Portanto, a função \(f(x)=x^3\) é ímpar.
São também ímpares muitas outras funções elementares, por exemplo
\[ f(x)=x,\qquad f(x)=x^5,\qquad f(x)=\operatorname{tg} x \]
cada uma no seu domínio natural. Em qualquer caso, a verificação consiste sempre em calcular \(f(-x)\) e averiguar se coincide com \(-f(x)\).
Significado geométrico das funções ímpares
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Com efeito, se \(f\) é ímpar, então para cada \(x\) do domínio
\[ f(-x)=-f(x). \]
Portanto, se o ponto
\[ (x,f(x)) \]
pertence ao gráfico da função, então também pertence ao gráfico o ponto
\[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x)). \]
Os pontos \((x,f(x))\) e \((-x,-f(x))\) são simétricos em relação à origem. Por conseguinte, todo o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
De modo equivalente, uma rotação de \(180^\circ\) do gráfico de uma função ímpar em torno da origem reproduz o mesmo gráfico.
Esta propriedade é útil no estudo do gráfico: se uma função é ímpar, basta estudá-la para \(x\ge 0\). A parte do gráfico correspondente a \(x<0\) obtém-se depois por simetria em relação à origem.
Funções nem pares nem ímpares
Uma função pode não ser nem par nem ímpar. Isto pode ocorrer por dois motivos diferentes.
O primeiro motivo diz respeito ao domínio: se o domínio não é simétrico em relação à origem, a função não pode ser classificada como par ou ímpar segundo as definições dadas. Com efeito, pode acontecer que \(x\) pertença ao domínio mas \(-x\) não, de modo que o valor \(f(-x)\) não esteja definido.
Por exemplo, a função
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
não é considerada par enquanto função definida em \([0,+\infty)\), porque o seu domínio não é simétrico em relação à origem.
O segundo motivo diz respeito, por sua vez, à lei da função. Mesmo quando o domínio é simétrico em relação à origem, pode acontecer que não se verifique nem
\[ f(-x)=f(x) \]
nem
\[ f(-x)=-f(x). \]
Neste caso, a função não é nem par nem ímpar.
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
O domínio é \(\mathbb R\), logo é simétrico em relação à origem. No entanto, para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Em geral, \(e^{-x}\ne e^x\), pelo que a função não é par. Além disso, em geral \(e^{-x}\ne -e^x\), pelo que a função não é ímpar.
Portanto, \(f(x)=e^x\) não é nem par nem ímpar.
A função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
também não é nem par nem ímpar. Com efeito,
\[ f(-x)=-x+1. \]
Em geral, \(-x+1\ne x+1\), pelo que a função não é par; além disso, \(-x+1\ne -(x+1)\), pelo que a função não é ímpar.
Funções simultaneamente pares e ímpares
Uma função real definida num domínio simétrico em relação à origem pode ser simultaneamente par e ímpar apenas num caso particular: quando é identicamente nula no seu domínio.
Seja \(f:X\to\mathbb R\) uma função definida num domínio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico em relação à origem. Se \(f\) é simultaneamente par e ímpar, então, para cada \(x\in X\), verificam-se simultaneamente as duas relações
\[ f(-x)=f(x) \]
e
\[ f(-x)=-f(x). \]
Comparando as duas igualdades, obtemos
\[ f(x)=-f(x). \]
Logo,
\[ 2f(x)=0, \]
e, por conseguinte,
\[ f(x)=0. \]
Uma vez que isto se verifica para cada \(x\in X\), a função é identicamente nula:
\[ f\equiv 0. \]
Reciprocamente, a função nula é simultaneamente par e ímpar. Com efeito, se \(f(x)=0\) para cada \(x\in X\), então
\[ f(-x)=0=f(x) \]
e também
\[ f(-x)=0=-0=-f(x). \]
Assim, num domínio simétrico em relação à origem, as únicas funções reais simultaneamente pares e ímpares são as funções identicamente nulas.
Soma de funções pares e ímpares
As propriedades de ser par ou ímpar comportam-se de modo simples relativamente à soma de funções.
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções reais definidas em domínios simétricos \(D_f\) e \(D_g\). A soma \(f+g\) está definida no domínio comum
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Uma vez que \(D_f\) e \(D_g\) são simétricos em relação à origem, também \(D\) o é.
Se \(f\) e \(g\) são ambas pares, então, para cada \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x). \]
Portanto, a soma de duas funções pares é ainda uma função par.
Se, pelo contrário, \(f\) e \(g\) são ambas ímpares, então, para cada \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)). \]
Uma vez que
\[ -(f(x)+g(x))=-(f+g)(x), \]
obtemos
\[ (f+g)(-x)=-(f+g)(x). \]
Portanto, a soma de duas funções ímpares é ainda uma função ímpar.
A soma de uma função par e de uma função ímpar, por sua vez, não é, em geral, nem par nem ímpar. Por exemplo,
\[ f(x)=x^2+x \]
é a soma da função par \(x^2\) e da função ímpar \(x\), mas não é nem par nem ímpar.
Produto de funções pares e ímpares
Também o produto de funções pares e ímpares segue regras precisas.
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções reais definidas em domínios simétricos \(D_f\) e \(D_g\). O produto \(fg\) está definido no domínio comum
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Se \(f\) e \(g\) são ambas pares, então, para cada \(x\in D\),
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Portanto, o produto de duas funções pares é par.
Se \(f\) e \(g\) são ambas ímpares, então
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Portanto, o produto de duas funções ímpares é par.
Por fim, se \(f\) é par e \(g\) é ímpar, então
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-(fg)(x). \]
Portanto, o produto de uma função par e de uma função ímpar é ímpar.
Em resumo:
\[ \text{par}\cdot\text{par}=\text{par}, \qquad \text{ímpar}\cdot\text{ímpar}=\text{par}, \qquad \text{par}\cdot\text{ímpar}=\text{ímpar}. \]
Integrais de funções pares e ímpares em intervalos simétricos
As funções pares e ímpares são particularmente úteis no cálculo de integrais em intervalos simétricos em relação à origem.
Seja \(a>0\) e seja \(f\) uma função integrável em \([-a,a]\).
Se \(f\) é par, então
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Com efeito, podemos escrever
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx. \]
Na primeira parcela, fazemos a substituição \(x=-t\). Quando \(x=-a\), então \(t=a\); quando \(x=0\), então \(t=0\). Além disso, \(dx=-dt\). Logo,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt. \]
Como \(f\) é par, \(f(-t)=f(t)\). Portanto,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt. \]
Somando as duas parcelas, obtemos
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Se, pelo contrário, \(f\) é ímpar, então
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. \]
Com efeito, procedendo como antes,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(-t)\,dt. \]
Como \(f\) é ímpar, \(f(-t)=-f(t)\). Logo,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=-\int_0^a f(t)\,dt. \]
Por conseguinte,
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx=0. \]
Geometricamente, no caso de uma função ímpar, as áreas orientadas nas duas metades do intervalo compensam-se. No caso de uma função par, pelo contrário, as duas contribuições são iguais.
Decomposição em parte par e parte ímpar
Qualquer função real definida num domínio simétrico em relação à origem pode escrever-se como soma de uma função par e de uma função ímpar.
Seja, então,
\[ f:X\to\mathbb R \]
uma função definida num conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico em relação à origem.
Definimos a função
\[ f_p:X\to\mathbb R,\qquad f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Esta função chama-se parte par de \(f\).
Definimos ainda
\[ f_i:X\to\mathbb R,\qquad f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Esta função chama-se parte ímpar de \(f\).
Verifiquemos que \(f_p\) é par. Para cada \(x\in X\), usando a definição de \(f_p\), obtemos
\[ f_p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = f_p(x). \]
Portanto, \(f_p\) é par.
Verifiquemos agora que \(f_i\) é ímpar. Para cada \(x\in X\),
\[ f_i(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -f_i(x). \]
Portanto, \(f_i\) é ímpar.
Por fim, somando \(f_p(x)\) e \(f_i(x)\), obtemos
\[ f_p(x)+f_i(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x). \]
Portanto,
\[ f=f_p+f_i. \]
Assim, qualquer função real definida num domínio simétrico pode decompor-se na soma da sua parte par e da sua parte ímpar:
\[ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Exemplo. Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
A parte par de \(f\) é
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
A parte ímpar de \(f\) é
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\operatorname{senh} x. \]
Por conseguinte,
\[ e^x=\cosh x+\operatorname{senh} x. \]
Unicidade da decomposição
A decomposição de uma função na soma de uma função par e de uma função ímpar é única.
Seja \(f:X\to\mathbb R\) uma função definida num domínio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico em relação à origem. Suponhamos que \(f\) pode escrever-se de dois modos como soma de uma função par e de uma função ímpar:
\[ f=u+v=\tilde u+\tilde v, \]
onde \(u\) e \(\tilde u\) são funções pares, enquanto \(v\) e \(\tilde v\) são funções ímpares.
Da igualdade
\[ u+v=\tilde u+\tilde v \]
obtemos
\[ u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Denotemos por
\[ h=u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Como \(u\) e \(\tilde u\) são pares, a diferença \(u-\tilde u\) é par. Logo, \(h\) é par.
Como \(\tilde v\) e \(v\) são ímpares, a diferença \(\tilde v-v\) é ímpar. Logo, \(h\) é ímpar.
A função \(h\) é, portanto, simultaneamente par e ímpar. Assim, para cada \(x\in X\),
\[ h(-x)=h(x) \]
e
\[ h(-x)=-h(x). \]
Comparando as duas igualdades, obtém-se
\[ h(x)=-h(x). \]
Logo,
\[ 2h(x)=0, \]
e, por conseguinte,
\[ h(x)=0 \]
para cada \(x\in X\). Assim, \(h\) é a função identicamente nula.
De
\[ h=u-\tilde u \]
resulta que
\[ u=\tilde u. \]
De
\[ h=\tilde v-v \]
resulta que
\[ v=\tilde v. \]
As duas decomposições coincidem. Portanto, a decomposição de \(f\) como soma de uma função par e de uma função ímpar é única.