Guia para a Resolução de Equações Fracionárias. Exercícios guiados passo a passo: da determinação do domínio à eliminação dos denominadores. Uma coleção completa para entender quando uma solução é aceitável ou deve ser descartada.
Exercício 1 de 20/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{x} = 3 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{1}{3} \]
Resolução
Condições de existência
O denominador não pode ser nulo: \(x \neq 0\).
Ideia-chave
Multiplicam-se ambos os membros pelo denominador \(x\) para eliminar a fração.
Multiplicação por \(x\)
\[ 1 = 3x \implies x = \frac{1}{3} \]
Verificação
\[ \frac{1}{1/3} = 3 \]
Resultado
\[ \boxed{x = \dfrac{1}{3}} \]
Exercício 2 de 20/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ \frac{2}{x - 1} = 4 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{3}{2} \]
Resolução
Condições de existência
\[ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \]
Multiplicação por \((x-1)\)
\[ 2 = 4(x-1) = 4x - 4 \implies 4x = 6 \implies x = \frac{3}{2} \]
Verificação
\[ \frac{2}{\frac{3}{2}-1} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \]
Resultado
\[ \boxed{x = \dfrac{3}{2}} \]
Exercício 3 de 20/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ \frac{x}{x - 3} = 2 \]
Resultado
\[ x = 6 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 3 \]
Multiplicação por \((x-3)\)
\[ x = 2(x-3) = 2x - 6 \implies -x = -6 \implies x = 6 \]
Verificação
\[ \frac{6}{6-3} = \frac{6}{3} = 2 \]
Resultado
\[ \boxed{x = 6} \]
Exercício 4 de 20/03/2026 — nível ★★☆☆☆
\[ \frac{x + 1}{x - 2} = 3 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{7}{2} \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 2 \]
Multiplicação por \((x-2)\)
\[ x+1 = 3(x-2) = 3x-6 \implies -2x = -7 \implies x = \frac{7}{2} \]
Verificação
\[ \frac{\frac{7}{2}+1}{\frac{7}{2}-2} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = 3 \]
Resultado
\[ \boxed{x = \dfrac{7}{2}} \]
Exercício 5 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \]
Resultado
\[ x = 2 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 0 \]
Multiplicação pelo m.m.c. dos denominadores
O m.m.c. de \(x\), \(3\) e \(6\) é \(6x\). Multiplica-se tudo por \(6x\):
\[ 6 + 2x = 5x \implies 6 = 3x \implies x = 2 \]
Verificação
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]
Resultado
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercício 6 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 0 \]
Resultado
\[ x = -3 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-1)(x+1)\)
\[ 2(x+1) - (x-1) = 0 \implies 2x+2-x+1 = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3 \]
Verificação
\[ \frac{2}{-4} - \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 0 \]
Resultado
\[ \boxed{x = -3} \]
Exercício 7 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} = 2 \]
Resultado
\[ x = -\dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = 2 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 0 \qquad x \neq -2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \(x(x+2)\)
\[ 3(x+2) + 2x = 2x(x+2) \implies 5x+6 = 2x^2+4x \implies 2x^2-x-6 = 0 \]
Discriminante e soluções
\[ \Delta = 1+48 = 49 \implies x = \frac{1\pm7}{4} \]
\(x = 2\) ou \(x = -\tfrac{3}{2}\). Ambas satisfazem as c.e.
Verificação
\(x=2\): \(\tfrac{3}{2}+\tfrac{2}{4}=\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}=2\) \(x=-\tfrac{3}{2}\): \(-2+\tfrac{2}{1/2}=-2+4=2\)
Resultado
\[ \boxed{x = -\dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = 2} \]
Exercício 8 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1} = \frac{1}{x(x + 1)} \]
Resultado
\[ x = 1 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 0 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \(x(x+1)\)
\[ 2(x+1) - 3x = 1 \implies 2x+2-3x = 1 \implies -x+2 = 1 \implies x = 1 \]
Verificação
\[ \frac{2}{1}-\frac{3}{2} = 2-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \qquad \frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2} \]
Resultado
\[ \boxed{x = 1} \]
Exercício 9 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x^2 - 4} \]
Resultado
\[ \text{Sem solução} \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), as condições são:
\[ x \neq 2 \qquad x \neq -2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-2)(x+2)\)
\[ (x+2)+(x-2) = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \]
Análise do resultado
O valor \(x=2\) está excluído pelas condições de existência: trata-se de uma solução estranha introduzida ao eliminar os denominadores.
Resultado
\[ \boxed{\text{Equação impossível — sem solução}} \]
Exercício 10 de 20/03/2026 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2} \]
Resultado
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 5 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq -2 \qquad x \neq 2 \]
Produto cruzado
\[ (3x-1)(x-2) = (x+1)(x+2) \]
\[ 3x^2-7x+2 = x^2+3x+2 \implies 2x^2-10x = 0 \implies 2x(x-5) = 0 \]
Soluções
\(x=0\) ou \(x=5\). Ambas satisfazem as c.e.
Verificação
\(x=0\): \(\tfrac{-1}{2}=\tfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}\) \(x=5\): \(\tfrac{14}{7}=2\) e \(\tfrac{6}{3}=2\)
Resultado
\[ \boxed{x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 5} \]
Exercício 11 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 1} = 1 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{1}{2} \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 2 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-2)(x+1)\)
\[ x(x+1) + 2(x-2) = (x-2)(x+1) \]
\[ x^2+x+2x-4 = x^2-x-2 \]
\[ 3x-4 = -x-2 \implies 4x = 2 \implies x = \frac{1}{2} \]
Verificação
\[ \frac{1/2}{-3/2}+\frac{2}{3/2} = -\frac{1}{3}+\frac{4}{3} = 1 \]
Resultado
\[ \boxed{x = \dfrac{1}{2}} \]
Exercício 12 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{3}{x + 1} - \frac{2}{x - 2} = \frac{1}{x^2 - x - 2} \]
Resultado
\[ x = 9 \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\), as condições são:
\[ x \neq -1 \qquad x \neq 2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x+1)(x-2)\)
\[ 3(x-2) - 2(x+1) = 1 \implies 3x-6-2x-2 = 1 \implies x-8 = 1 \implies x = 9 \]
Verificação
\[ \frac{3}{10}-\frac{2}{7} = \frac{21-20}{70} = \frac{1}{70} \qquad \frac{1}{81-9-2} = \frac{1}{70} \]
Resultado
\[ \boxed{x = 9} \]
Exercício 13 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x^2 + x - 2} \]
Resultado
\[ x = \dfrac{4}{5} \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), as condições são:
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-1)(x+2)\)
\[ 2(x+2) + 3(x-1) = 5 \implies 2x+4+3x-3 = 5 \implies 5x+1 = 5 \implies x = \frac{4}{5} \]
Verificação
\[ \frac{2}{-1/5}+\frac{3}{14/5} = -10+\frac{15}{14} = \frac{-140+15}{14} = -\frac{125}{14} \]
\[ \frac{5}{\frac{16}{25}+\frac{4}{5}-2} = \frac{5}{-14/25} = -\frac{125}{14} \]
Resultado
\[ \boxed{x = \dfrac{4}{5}} \]
Exercício 14 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x + 2} \]
Resultado
\[ x = 1 \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), as condições são:
\[ x \neq 2 \qquad x \neq -2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-2)(x+2)\)
\[ x(x+2)-4 = (x-2) \]
\[ x^2+2x-4 = x-2 \implies x^2+x-2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \]
Verificação e descarte
\(x=-2\): excluído pelas c.e., descartado.
\(x=1\): \(\tfrac{1}{-1}-\tfrac{4}{-3}=-1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}\) e \(\tfrac{1}{3}\) ✓
Resultado
\[ \boxed{x = 1} \]
Exercício 15 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x - 2}{x + 1} = 4 \]
Resultado
\[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-1)(x+1)\)
\[ (x+2)(x+1)+(x-2)(x-1) = 4(x^2-1) \]
\[ (x^2+3x+2)+(x^2-3x+2) = 4x^2-4 \]
\[ 2x^2+4 = 4x^2-4 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm2 \]
Verificação
\(x=2\): \(\tfrac{4}{1}+\tfrac{0}{3}=4\) \(x=-2\): \(\tfrac{0}{-3}+\tfrac{-4}{-1}=0+4=4\)
Resultado
\[ \boxed{x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2} \]
Exercício 16 de 20/03/2026 — nível ★★★★☆
\[ \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{4}{x^2 - 1} \]
Resultado
\[ \text{Sem solução} \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-1=(x+1)(x-1)\), as condições são:
\[ x \neq -1 \qquad x \neq 1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x+1)(x-1)\)
\[ (x+2)(x-1) - x(x+1) = 4 \]
\[ (x^2+x-2)-(x^2+x) = 4 \implies -2 = 4 \]
Análise do resultado
Obtém-se uma contradição numérica: a equação é impossível para qualquer valor de \(x\) e não admite soluções.
Resultado
\[ \boxed{\text{Equação impossível — sem solução}} \]
Exercício 17 de 20/03/2026 — nível ★★★★★
\[ \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} = \frac{5}{x^2 - x - 2} \]
Resultado
\[ x = -2 \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), as condições são:
\[ x \neq 2 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-2)(x+1)\)
\[ 3(x+1)-2(x-2) = 5 \implies 3x+3-2x+4 = 5 \implies x+7 = 5 \implies x = -2 \]
Verificação
\[ \frac{3}{-4}-\frac{2}{-1} = -\frac{3}{4}+2 = \frac{5}{4} \qquad \frac{5}{4+2-2} = \frac{5}{4} \]
Resultado
\[ \boxed{x = -2} \]
Exercício 18 de 20/03/2026 — nível ★★★★★
\[ \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x^2 + 5}{x^2 + x - 2} \]
Resultado
\[ x = 4 \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), as condições são:
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -2 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-1)(x+2)\)
\[ x(x+2)-(x-1) = x^2+5 \]
\[ x^2+2x-x+1 = x^2+5 \implies x+1 = 5 \implies x = 4 \]
Verificação
\[ \frac{4}{3}-\frac{1}{6} = \frac{8}{6}-\frac{1}{6} = \frac{7}{6} \qquad \frac{21}{18} = \frac{7}{6} \]
Resultado
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercício 19 de 20/03/2026 — nível ★★★★★
\[ \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{10}{3} \]
Resultado
\[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
Resolução
Condições de existência
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -1 \]
Substituição \(t = \dfrac{x+1}{x-1}\)
Observa-se que \(\dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{1}{t}\). A equação torna-se:
\[ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2-10t+3 = 0 \implies (3t-1)(t-3) = 0 \]
Caso \(t = 3\)
\[ \frac{x+1}{x-1} = 3 \implies x+1 = 3x-3 \implies x = 2 \]
Caso \(t = \frac{1}{3}\)
\[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies 3x+3 = x-1 \implies x = -2 \]
Verificação
\(x=2\): \(3+\tfrac{1}{3}=\tfrac{10}{3}\) \(x=-2\): \(\tfrac{-1}{-3}+\tfrac{-3}{-1}=\tfrac{1}{3}+3=\tfrac{10}{3}\)
Resultado
\[ \boxed{x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2} \]
Exercício 20 de 20/03/2026 — nível ★★★★★
\[ \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1} + 1 \]
Resultado
\[ \text{Sem solução} \]
Resolução
Condições de existência
Como \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), as condições são:
\[ x \neq 1 \qquad x \neq -1 \]
Multiplicação pelo m.m.c. \((x-1)(x+1)\)
\[ (x+1)+(x-1) = 2+(x^2-1) \implies 2x = x^2+1 \implies x^2-2x+1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \]
Análise do resultado
A única solução algébrica seria \(x=1\), mas está excluída pelas condições de existência. Trata-se de uma solução estranha: a equação não admite soluções.
Resultado
\[ \boxed{\text{Equação impossível — sem solução}} \]