As inequações com parâmetro são inequações em que, para além da incógnita, aparece uma letra que representa um número real fixo mas não especificado. A principal dificuldade não consiste apenas em resolver a inequação em ordem à incógnita, mas em compreender como o conjunto solução se altera à medida que o parâmetro varia.
Por este motivo, uma inequação com parâmetro não produz, em geral, uma única resposta: exige uma discussão por casos, na qual se distinguem os valores do parâmetro que modificam o sinal, o grau da inequação ou o número de soluções.
Índice
- Incógnita e parâmetro
- Porque é necessária a discussão por casos
- Inequações lineares com parâmetro
- Inequações de segundo grau com parâmetro
- Discriminante e número de raízes reais
- Concavidade e sinal do trinómio
- Casos degenerados
- Exemplo linear guiado
- Exemplo quadrático completo
- Tabela resumo
- Erros mais comuns
- Procedimento geral
Incógnita e parâmetro
Numa inequação com parâmetro é necessário distinguir com precisão o papel das letras presentes.
A incógnita é a variável em ordem à qual se resolve a inequação. O parâmetro, por seu turno, é tratado como um número real fixo, mas desconhecido.
Por exemplo:
\[ (k-1)x+2>0 \]
é uma inequação na incógnita \(x\), enquanto \(k\) é o parâmetro.
Durante a resolução, \(k\) comporta-se como uma constante; todavia, o resultado final deve ter em conta todos os possíveis valores reais de \(k\).
Isto significa que o conjunto solução não será escrito apenas em função de \(x\), mas será descrito distinguindo os casos do parâmetro.
Porque é necessária a discussão por casos
A discussão por casos decorre do facto de certas operações algébricas dependerem do sinal de expressões que contêm o parâmetro.
Consideremos a inequação:
\[ (k-1)x>2 \]
Para isolar \(x\), seria necessário dividir ambos os membros por \(k-1\). Contudo, o sinal de \(k-1\) não é conhecido à partida.
Se:
\[ k-1>0 \]
ou seja, se \(k>1\), podemos dividir sem alterar o sentido:
\[ x>\frac{2}{k-1} \]
Se, pelo contrário:
\[ k-1<0 \]
ou seja, se \(k<1\), ao dividir por uma quantidade negativa temos de inverter o sentido da inequação:
\[ x<\frac{2}{k-1} \]
Resta ainda o caso:
\[ k-1=0 \]
isto é:
\[ k=1 \]
Neste caso, a inequação torna-se:
\[ 0\cdot x>2 \]
ou seja:
\[ 0>2 \]
que é uma proposição falsa. Portanto, para \(k=1\), a inequação não tem solução.
A solução completa é então:
\[ \begin{cases} x>\dfrac{2}{k-1}, & k>1,\\[6pt] x<\dfrac{2}{k-1}, & k<1,\\[6pt] S=\emptyset, & k=1. \end{cases} \]
Este exemplo simples ilustra o princípio fundamental: sempre que se opera com quantidades que dependem do parâmetro, é indispensável saber se são positivas, negativas ou nulas.
Inequações lineares com parâmetro
Uma inequação linear com parâmetro tem geralmente a forma:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
onde \(a(k)\) e \(b(k)\) são expressões que dependem do parâmetro.
O elemento essencial é o coeficiente da incógnita:
\[ a(k) \]
Se \(a(k)>0\), pode-se dividir por \(a(k)\) sem alterar o sentido. Se \(a(k)<0\), o sentido deve ser invertido. Se \(a(k)=0\), a inequação perde a incógnita e passa a ser uma inequação numérica.
De forma geral:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
é equivalente, quando \(a(k)\neq0\), a:
\[ a(k)x>-b(k) \]
Portanto:
\[ \begin{cases} x>-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)>0,\\[8pt] x<-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)<0. \end{cases} \]
O caso \(a(k)=0\) deve ser tratado separadamente, pois a inequação reduz-se a:
\[ b(k)>0 \]
Se esta proposição for verdadeira, qualquer valor real de \(x\) é solução; se for falsa, não existe qualquer solução.
Inequações de segundo grau com parâmetro
Uma inequação de segundo grau com parâmetro tem a forma:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)>0 \]
ou, de forma mais geral:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)\gtrless 0 \]
Neste caso, a discussão é mais elaborada, porque o parâmetro pode influir sobre três aspectos distintos:
- o grau da inequação;
- o número de raízes reais;
- a concavidade da parábola.
Antes de aplicar a teoria das inequações de segundo grau, é por isso necessário verificar se:
\[ a(k)=0 \]
pois, nesse caso, o termo quadrático desaparece e a inequação deixa de ser de segundo grau.
Apenas quando:
\[ a(k)\neq0 \]
faz sentido estudar o discriminante do trinómio.
Discriminante e número de raízes reais
Quando a inequação é efectivamente de segundo grau, o discriminante é:
\[ \Delta(k)=b(k)^2-4a(k)c(k) \]
O discriminante determina quantas raízes reais possui o trinómio.
Caso \(\Delta(k)<0\)
O trinómio não tem raízes reais. A parábola não intersecta o eixo das abscissas.
Neste caso, o trinómio mantém sempre o mesmo sinal em toda a recta real. Esse sinal coincide com o sinal do coeficiente do termo quadrático.
Assim:
- se \(a(k)>0\), o trinómio é sempre positivo;
- se \(a(k)<0\), o trinómio é sempre negativo.
Caso \(\Delta(k)=0\)
O trinómio tem uma raiz real dupla:
\[ x_0=-\frac{b(k)}{2a(k)} \]
A parábola toca o eixo das abscissas sem o atravessar.
Neste caso, o trinómio tem o mesmo sinal de \(a(k)\) para todo o \(x\neq x_0\), anulando-se em \(x=x_0\).
Por esta razão, nas inequações estritas a raiz dupla é excluída; nas inequações não estritas, é incluída quando compatível com o sentido da inequação.
Caso \(\Delta(k)>0\)
O trinómio tem duas raízes reais distintas:
\[ x_1=\frac{-b(k)-\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)}, \qquad x_2=\frac{-b(k)+\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)} \]
Depois de as ordenar de modo que:
\[ x_1<x_2 \]
o sinal do trinómio é determinado analisando a concavidade da parábola.
Concavidade e sinal do trinómio
O sinal de \(a(k)\) determina a concavidade da parábola.
Se:
\[ a(k)>0 \]
a parábola tem a concavidade voltada para cima. Quando existem duas raízes reais distintas, o trinómio é positivo no exterior das raízes e negativo no interior:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
e:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
Se, pelo contrário:
\[ a(k)<0 \]
a parábola tem a concavidade voltada para baixo. O comportamento inverte-se: o trinómio é positivo no interior das raízes e negativo no exterior.
Portanto:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
e:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
Isto mostra por que razão o discriminante por si só não basta: saber quantas raízes existem não é suficiente. É igualmente necessário saber se a parábola tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Casos degenerados
Um caso degenerado ocorre quando o coeficiente do termo de maior grau se anula.
Por exemplo, na inequação:
\[ (k-2)x^2+x+1>0 \]
o coeficiente do termo quadrático é:
\[ k-2 \]
Se:
\[ k=2 \]
a inequação torna-se:
\[ x+1>0 \]
ou seja, uma inequação linear.
Se, em contrapartida:
\[ k\neq2 \]
a inequação permanece de segundo grau e pode ser estudada mediante o discriminante e a concavidade.
Os casos degenerados devem ser tratados antes do estudo do discriminante, visto que o discriminante diz respeito apenas aos trinómios efectivamente quadráticos.
Exemplo linear guiado
Consideremos a inequação:
\[ (k+2)x-1\leq0 \]
A incógnita é \(x\) e \(k\) é o parâmetro.
Passando o termo independente para o segundo membro:
\[ (k+2)x\leq1 \]
A partir daqui, o comportamento depende do sinal de \(k+2\).
Caso \(k+2>0\)
Se:
\[ k>-2 \]
podemos dividir sem alterar o sentido:
\[ x\leq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2<0\)
Se:
\[ k<-2 \]
ao dividir por uma quantidade negativa, o sentido deve ser invertido:
\[ x\geq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2=0\)
Se:
\[ k=-2 \]
a inequação torna-se:
\[ 0\cdot x-1\leq0 \]
isto é:
\[ -1\leq0 \]
que é verdadeira para todo o \(x\in\mathbb{R}\).
A solução completa é então:
\[ \begin{cases} x\leq\dfrac{1}{k+2}, & k>-2,\\[8pt] x\geq\dfrac{1}{k+2}, & k<-2,\\[8pt] S=\mathbb{R}, & k=-2. \end{cases} \]
Exemplo quadrático completo
Consideremos a inequação:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
Neste exemplo, o parâmetro aparece no coeficiente do termo quadrático. Antes de mais, é preciso verificar se a inequação é efectivamente de segundo grau.
Caso degenerado: \(k=1\)
Se:
\[ k=1 \]
o termo quadrático anula-se e a inequação torna-se:
\[ 2x+1\geq0 \]
Resolvendo:
\[ 2x\geq-1 \]
portanto:
\[ x\geq-\frac12 \]
Assim, para \(k=1\), tem-se:
\[ S=\left[-\frac12,+\infty\right) \]
Caso quadrático: \(k\neq1\)
Se \(k\neq1\), a inequação é de segundo grau. O coeficiente do termo quadrático é:
\[ a=k-1 \]
O discriminante é:
\[ \Delta=2^2-4(k-1)\cdot1 \]
ou seja:
\[ \Delta=4-4k+4=8-4k \]
Estudemos o sinal do discriminante:
\[ \Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 8-4k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<2 \]
\[ \Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=2 \]
\[ \Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>2 \]
A concavidade depende do sinal de \(k-1\):
\[ k-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>1 \]
e:
\[ k-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<1 \]
Os valores críticos do parâmetro são portanto:
\[ k=1,\qquad k=2 \]
Há que distinguir os seguintes casos:
\[ k<1,\qquad k=1,\qquad 1<k<2,\qquad k=2,\qquad k>2 \]
Caso \(k<1\)
Neste caso:
\[ k-1<0 \]
pelo que a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Além disso, como \(k<1<2\), tem-se:
\[ \Delta>0 \]
O trinómio tem duas raízes reais distintas. Com a concavidade voltada para baixo, o trinómio é positivo no interior das raízes e negativo no exterior.
Como a inequação é:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
a solução é:
\[ S=[x_1,x_2] \]
Caso \(1<k<2\)
Neste caso:
\[ k-1>0 \]
pelo que a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Além disso:
\[ \Delta>0 \]
pois \(k<2\). O trinómio tem portanto duas raízes reais distintas.
Com a concavidade voltada para cima, o trinómio é positivo no exterior das raízes e negativo no interior. Tratando-se de uma inequação não estrita, as raízes devem ser incluídas.
Portanto:
\[ S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty) \]
Caso \(k=2\)
Para \(k=2\), o discriminante é nulo:
\[ \Delta=0 \]
Além disso:
\[ k-1=1>0 \]
pelo que a parábola tem a concavidade voltada para cima.
O trinómio possui uma raiz dupla. Uma vez que a parábola tem a concavidade voltada para cima, o trinómio é sempre maior ou igual a zero.
Como a inequação exige:
\[ \geq0 \]
a solução é toda a recta real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(k>2\)
Neste caso:
\[ \Delta<0 \]
e:
\[ k-1>0 \]
A parábola tem a concavidade voltada para cima e não intersecta o eixo das abscissas.
O trinómio é portanto sempre positivo:
\[ (k-1)x^2+2x+1>0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Satisfaz, com maior razão, a inequação não estrita:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
Portanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Resultado final
Em síntese:
\[ \begin{cases} S=[x_1,x_2], & k<1,\\[6pt] S=\left[-\dfrac12,+\infty\right), & k=1,\\[8pt] S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty), & 1<k<2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k=2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k>2. \end{cases} \]
Nos casos em que existem duas raízes distintas, \(x_1\) e \(x_2\) designam as raízes do trinómio ordenadas de modo que:
\[ x_1<x_2 \]
Tabela resumo
Para as inequações quadráticas com parâmetro, uma vez excluídos os eventuais casos degenerados, o comportamento do trinómio resume-se no seguinte quadro.
| Condição | Consequência |
|---|---|
| \(\Delta<0,\ a>0\) | O trinómio é sempre positivo |
| \(\Delta<0,\ a<0\) | O trinómio é sempre negativo |
| \(\Delta=0\) | Existe uma raiz dupla |
| \(\Delta>0,\ a>0\) | Positivo no exterior das raízes, negativo no interior |
| \(\Delta>0,\ a<0\) | Positivo no interior das raízes, negativo no exterior |
Erros mais comuns
Dividir por uma expressão que contém o parâmetro sem estudar o seu sinal
Quando se divide por uma quantidade que pode ser positiva, negativa ou nula, é obrigatório distinguir todos os casos. Caso contrário, corre-se o risco de não inverter o sentido quando necessário ou de dividir por zero.
Esquecer os casos degenerados
Quando o coeficiente do termo de maior grau se anula, a inequação muda de natureza. Uma inequação quadrática pode tornar-se linear, e uma inequação linear pode tornar-se numérica.
Estudar apenas o discriminante
O discriminante determina o número de raízes reais, mas não define por si só o sinal do trinómio. É sempre necessário considerar também a concavidade da parábola.
Confundir inequações estritas e não estritas
Nas inequações com \(>\) ou \(<\), os zeros não se incluem. Nas inequações com \(\geq\) ou \(\leq\), os zeros incluem-se, salvo eventuais valores não admissíveis.
Não ordenar correctamente os casos do parâmetro
Quando surgem vários valores críticos do parâmetro, é necessário dispô-los na recta real e discutir os intervalos pela ordem correcta. Isto evita sobreposições, omissões e casos duplicados.
Procedimento geral
Para resolver uma inequação com parâmetro, convém seguir um procedimento ordenado.
- Identificar a incógnita e distinguir o parâmetro.
- Determinar os valores do parâmetro que anulam coeficientes relevantes.
- Tratar separadamente os eventuais casos degenerados.
- Se a inequação for linear, discutir o sinal do coeficiente da incógnita.
- Se a inequação for quadrática, estudar o discriminante como função do parâmetro.
- Analisar a concavidade da parábola através do sinal do coeficiente do termo quadrático.
- Determinar o sinal da expressão nos vários casos.
- Escrever o conjunto solução distinguindo todos os valores ou intervalos do parâmetro.
As inequações com parâmetro exigem ordem e atenção, pois cada valor particular do parâmetro pode alterar a própria natureza do problema.
Uma boa discussão não consiste em multiplicar os cálculos, mas em reconhecer quais os valores do parâmetro que modificam o grau da inequação, o sentido das operações, o número de raízes reais ou a concavidade da parábola.
Neste sentido, as inequações com parâmetro representam uma etapa importante: ensinam a não resolver de forma mecânica, mas a controlar toda a estrutura do problema.