Nesta colecção propomos 20 exercícios resolvidos sobre inequações com valor absoluto, ordenados de forma progressiva. Cada exercício é resolvido passo a passo, com particular atenção ao significado das equivalências utilizadas e à correcta escrita do conjunto solução.
Recordemos que, para \(k>0\), valem as equivalências fundamentais:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k \]
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x-2|<5 \]
Resultado
\[ S=(-3,7) \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|<k \]
com:
\[ A(x)=x-2, \qquad k=5 \]
Como \(5>0\), podemos transformar a inequação com valor absoluto na dupla inequação:
\[ -5<x-2<5 \]
Somamos \(2\) a todos os membros:
\[ -5+2<x-2+2<5+2 \]
ou seja:
\[ -3<x<7 \]
Logo, o conjunto solução é:
\[ S=(-3,7) \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x+4|\le 3 \]
Resultado
\[ S=[-7,-1] \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|\le k \]
com:
\[ A(x)=x+4, \qquad k=3 \]
Como \(3>0\), podemos escrever:
\[ -3\le x+4\le 3 \]
Subtraímos \(4\) a todos os membros:
\[ -3-4\le x+4-4\le 3-4 \]
Obtemos:
\[ -7\le x\le -1 \]
Como a inequação inicial contém o símbolo \(\le\), os extremos também estão incluídos.
Portanto:
\[ S=[-7,-1] \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |2x-1|>7 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|>k \]
com:
\[ A(x)=2x-1, \qquad k=7 \]
Como \(7>0\), o valor absoluto é maior do que \(7\) quando o argumento é menor do que \(-7\) ou maior do que \(7\). Portanto:
\[ 2x-1<-7 \quad \text{ou} \quad 2x-1>7 \]
Resolvemos a primeira inequação:
\[ 2x-1<-7 \]
Somamos \(1\):
\[ 2x<-6 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x<-3 \]
Resolvemos agora a segunda inequação:
\[ 2x-1>7 \]
Somamos \(1\):
\[ 2x>8 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x>4 \]
Reunindo as duas soluções, obtemos:
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |3x+2|\ge 4 \]
Resultado
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|\ge k \]
com:
\[ A(x)=3x+2, \qquad k=4 \]
Como \(4>0\), podemos escrever:
\[ 3x+2\le -4 \quad \text{ou} \quad 3x+2\ge 4 \]
Resolvemos a primeira inequação:
\[ 3x+2\le -4 \]
Subtraímos \(2\):
\[ 3x\le -6 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x\le -2 \]
Resolvemos a segunda inequação:
\[ 3x+2\ge 4 \]
Subtraímos \(2\):
\[ 3x\ge 2 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x\ge \frac{2}{3} \]
Como a inequação inicial contém o símbolo \(\ge\), os extremos encontrados estão incluídos.
Logo:
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |5-x|<2 \]
Resultado
\[ S=(3,7) \]
Resolução
A inequação é:
\[ |5-x|<2 \]
Como \(2>0\), podemos transformá-la em:
\[ -2<5-x<2 \]
Precisamos agora de isolar \(x\). Subtraímos \(5\) a todos os membros:
\[ -2-5<5-x-5<2-5 \]
ou seja:
\[ -7<-x<-3 \]
Multiplicamos todos os membros por \(-1\). Como multiplicamos por um número negativo, o sentido das inequações inverte-se:
\[ 7>x>3 \]
Escrevendo o intervalo por ordem crescente na reta real:
\[ 3<x<7 \]
Logo:
\[ S=(3,7) \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |4-2x|\le 6 \]
Resultado
\[ S=[-1,5] \]
Resolução
Como \(6>0\), transformamos a inequação em:
\[ -6\le 4-2x\le 6 \]
Subtraímos \(4\) a todos os membros:
\[ -10\le -2x\le 2 \]
Dividimos por \(-2\). Como dividimos por um número negativo, o sentido das inequações inverte-se:
\[ 5\ge x\ge -1 \]
Reescrevemos a dupla inequação por ordem crescente:
\[ -1\le x\le 5 \]
Portanto:
\[ S=[-1,5] \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |2x+3|<|x-1| \]
Resultado
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Resolução
Nesta inequação aparecem dois valores absolutos. Como ambos os membros são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar o conjunto solução:
\[ |2x+3|<|x-1| \iff (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Expandimos os quadrados:
\[ 4x^2+12x+9<x^2-2x+1 \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 4x^2+12x+9-x^2+2x-1<0 \]
ou seja:
\[ 3x^2+14x+8<0 \]
Factorizamos o trinómio:
\[ 3x^2+14x+8=(3x+2)(x+4) \]
A inequação torna-se:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Os zeros dos factores são:
\[ 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}, \qquad x+4=0 \iff x=-4 \]
Note-se, contudo, que a factorização anterior está correcta relativamente ao trinómio \(3x^2+14x+8\), pois:
\[ (3x+2)(x+4)=3x^2+14x+8 \]
pelo que está correcta. Estudamos então o sinal do produto:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
O produto é negativo entre os dois zeros:
\[ -4<x<-\frac{2}{3} \]
Verificamos o passo inicial com um método alternativo: a inequação \(|2x+3|<|x-1|\) equivale a dizer que \(2x+3\) está mais próximo de \(0\) do que \(x-1\). Elevando ao quadrado obtemos efectivamente:
\[ (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Logo, a solução correcta é:
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x-3|>0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Resolução
O valor absoluto de uma expressão é sempre maior ou igual a zero:
\[ |x-3|\ge 0 \]
A inequação exige, porém, que o valor absoluto seja estritamente maior do que zero:
\[ |x-3|>0 \]
Um valor absoluto é igual a zero se e só se o seu argumento é igual a zero:
\[ |x-3|=0 \iff x-3=0 \iff x=3 \]
Donde a inequação é verificada para todos os números reais excepto \(x=3\).
Portanto:
\[ S=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]
ou, em forma de reunião de intervalos:
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |2x-5|\le 0 \]
Resultado
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Resolução
O valor absoluto é sempre não negativo:
\[ |2x-5|\ge 0 \]
A inequação:
\[ |2x-5|\le 0 \]
só pode ser verificada quando o valor absoluto é igual a zero:
\[ |2x-5|=0 \]
Um valor absoluto anula-se se e só se o seu argumento se anula:
\[ 2x-5=0 \]
Resolvemos:
\[ 2x=5 \]
pelo que:
\[ x=\frac{5}{2} \]
Portanto:
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x+2|<-1 \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolução
O valor absoluto de qualquer expressão real é sempre maior ou igual a zero:
\[ |x+2|\ge 0 \]
A inequação proposta exige, pelo contrário:
\[ |x+2|<-1 \]
ou seja, exige que um número não negativo seja menor do que um número negativo. Tal é impossível.
Logo, a inequação não admite soluções:
\[ S=\varnothing \]
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ |3x-6|>-2 \]
Resultado
\[ S=\mathbb{R} \]
Resolução
O valor absoluto é sempre maior ou igual a zero:
\[ |3x-6|\ge 0 \]
A inequação exige:
\[ |3x-6|>-2 \]
Como todo o valor absoluto é não negativo, é certamente maior do que \(-2\).
A inequação é portanto verificada para todo o número real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x-1|+2<5 \]
Resultado
\[ S=(-2,4) \]
Resolução
Antes de aplicar as regras do valor absoluto, isolamos o módulo.
Partimos de:
\[ |x-1|+2<5 \]
Subtraímos \(2\) a ambos os membros:
\[ |x-1|<3 \]
Como \(3>0\), podemos escrever:
\[ -3<x-1<3 \]
Somamos \(1\) a todos os membros:
\[ -2<x<4 \]
Portanto:
\[ S=(-2,4) \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Resolução
Começamos por isolar o valor absoluto.
Partimos de:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Somamos \(1\) a ambos os membros:
\[ 2|x+3|\ge 8 \]
Dividimos por \(2\):
\[ |x+3|\ge 4 \]
Como \(4>0\), a inequação equivale a:
\[ x+3\le -4 \quad \text{ou} \quad x+3\ge 4 \]
Resolvemos a primeira inequação:
\[ x\le -7 \]
Resolvemos a segunda:
\[ x\ge 1 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Resultado
\[ S=(3,5) \]
Resolução
Neste exercício o valor absoluto está multiplicado por um número negativo. Procedemos com atenção.
Partimos de:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Subtraímos \(3\) a ambos os membros:
\[ -2|x-4|>-2 \]
Dividimos por \(-2\). Como dividimos por um número negativo, o sentido da inequação inverte-se:
\[ |x-4|<1 \]
Como \(1>0\), podemos escrever:
\[ -1<x-4<1 \]
Somamos \(4\) a todos os membros:
\[ 3<x<5 \]
Portanto:
\[ S=(3,5) \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x^2-4|\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-3,3] \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|\le k \]
com:
\[ A(x)=x^2-4, \qquad k=5 \]
Como \(5>0\), podemos transformá-la na dupla inequação:
\[ -5\le x^2-4\le 5 \]
Somamos \(4\) a todos os membros:
\[ -1\le x^2\le 9 \]
Observamos que \(x^2\ge 0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\). Por isso, a condição:
\[ -1\le x^2 \]
é sempre verificada.
Resta portanto impor:
\[ x^2\le 9 \]
Esta inequação equivale a:
\[ -3\le x\le 3 \]
Portanto:
\[ S=[-3,3] \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ |x^2-1|>3 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Resolução
A inequação tem a forma:
\[ |A(x)|>k \]
com:
\[ A(x)=x^2-1, \qquad k=3 \]
Como \(3>0\), temos de resolver a reunião de duas inequações:
\[ x^2-1<-3 \quad \text{ou} \quad x^2-1>3 \]
Consideramos a primeira:
\[ x^2-1<-3 \]
Somamos \(1\):
\[ x^2<-2 \]
Esta inequação não tem soluções reais, pois o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero.
Consideramos agora a segunda:
\[ x^2-1>3 \]
Somamos \(1\):
\[ x^2>4 \]
A inequação \(x^2>4\) é verificada quando \(x\) é exterior ao intervalo entre \(-2\) e \(2\):
\[ x<-2 \quad \text{ou} \quad x>2 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ |x-1|+|x+2|\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-3,2] \]
Resolução
Nesta inequação aparecem dois valores absolutos. Utilizamos, portanto, o método da definição, dividindo a reta real nos intervalos determinados pelos zeros dos argumentos dos módulos.
Os argumentos dos valores absolutos são:
\[ x-1, \qquad x+2 \]
Determinamos os pontos em que se anulam:
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x+2=0 \iff x=-2 \]
Os pontos críticos são portanto:
\[ -2, \qquad 1 \]
Eles dividem a reta real nos três intervalos:
\[ (-\infty,-2), \qquad [-2,1), \qquad [1,+\infty) \]
Primeiro caso: \(x<-2\)
Se \(x<-2\), então:
\[ x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Pelo que:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
A inequação torna-se:
\[ -x+1-x-2\le 5 \]
ou seja:
\[ -2x-1\le 5 \]
Somamos \(1\):
\[ -2x\le 6 \]
Dividimos por \(-2\), lembrando que o sentido da inequação se inverte:
\[ x\ge -3 \]
Intersectando com a condição inicial \(x<-2\), obtemos:
\[ -3\le x<-2 \]
Segundo caso: \(-2\le x<1\)
Se \(-2\le x<1\), então:
\[ x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Pelo que:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
A inequação torna-se:
\[ -x+1+x+2\le 5 \]
ou seja:
\[ 3\le 5 \]
Esta desigualdade é sempre verdadeira, pelo que todo o intervalo considerado é solução:
\[ -2\le x<1 \]
Terceiro caso: \(x\ge 1\)
Se \(x\ge 1\), então:
\[ x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Pelo que:
\[ |x-1|=x-1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
A inequação torna-se:
\[ x-1+x+2\le 5 \]
ou seja:
\[ 2x+1\le 5 \]
Subtraímos \(1\):
\[ 2x\le 4 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x\le 2 \]
Intersectando com a condição inicial \(x\ge 1\), obtemos:
\[ 1\le x\le 2 \]
Reunindo as soluções obtidas nos três casos:
\[ S= [-3,-2) \cup [-2,1) \cup [1,2] \]
Como os intervalos são consecutivos, podemos escrever de forma mais simples:
\[ S=[-3,2] \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ |x+1|-|x-3|>2 \]
Resultado
\[ S=(2,+\infty) \]
Resolução
Os argumentos dos valores absolutos são:
\[ x+1, \qquad x-3 \]
Determinamos os zeros:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-3=0 \iff x=3 \]
Os pontos críticos são:
\[ -1, \qquad 3 \]
Eles dividem a reta real nos três intervalos:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,3), \qquad [3,+\infty) \]
Primeiro caso: \(x<-1\)
Se \(x<-1\), então:
\[ x+1<0, \qquad x-3<0 \]
Pelo que:
\[ |x+1|=-x-1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
A inequação torna-se:
\[ (-x-1)-(-x+3)>2 \]
ou seja:
\[ -x-1+x-3>2 \]
portanto:
\[ -4>2 \]
Esta desigualdade é falsa, logo no primeiro intervalo não há soluções.
Segundo caso: \(-1\le x<3\)
Se \(-1\le x<3\), então:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-3<0 \]
Pelo que:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
A inequação torna-se:
\[ x+1-(-x+3)>2 \]
ou seja:
\[ x+1+x-3>2 \]
portanto:
\[ 2x-2>2 \]
Somamos \(2\):
\[ 2x>4 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x>2 \]
Intersectando com o intervalo \(-1\le x<3\), obtemos:
\[ 2<x<3 \]
Terceiro caso: \(x\ge 3\)
Se \(x\ge 3\), então:
\[ x+1>0, \qquad x-3\ge 0 \]
Pelo que:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=x-3 \]
A inequação torna-se:
\[ x+1-(x-3)>2 \]
ou seja:
\[ 4>2 \]
Esta desigualdade é sempre verdadeira, pelo que todo o intervalo considerado é solução:
\[ x\ge 3 \]
Reunindo os resultados:
\[ S=(2,3)\cup[3,+\infty) \]
portanto:
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ |2x-1|+|x+2|<6 \]
Resultado
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Resolução
Os argumentos dos dois valores absolutos são:
\[ 2x-1, \qquad x+2 \]
Determinamos os zeros:
\[ 2x-1=0 \iff x=\frac{1}{2}, \qquad x+2=0 \iff x=-2 \]
Os pontos críticos, ordenados na reta real, são:
\[ -2, \qquad \frac{1}{2} \]
Estudamos então os três intervalos:
\[ (-\infty,-2), \qquad \left[-2,\frac{1}{2}\right), \qquad \left[\frac{1}{2},+\infty\right) \]
Primeiro caso: \(x<-2\)
Se \(x<-2\), então:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Pelo que:
\[ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1, \qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
A inequação torna-se:
\[ -2x+1-x-2<6 \]
ou seja:
\[ -3x-1<6 \]
Somamos \(1\):
\[ -3x<7 \]
Dividimos por \(-3\), invertendo o sentido:
\[ x>-\frac{7}{3} \]
Intersectando com \(x<-2\), obtemos:
\[ -\frac{7}{3}<x<-2 \]
Segundo caso: \(-2\le x<\frac{1}{2}\)
Se \(-2\le x<\frac{1}{2}\), então:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Pelo que:
\[ |2x-1|=-2x+1, \qquad |x+2|=x+2 \]
A inequação torna-se:
\[ -2x+1+x+2<6 \]
ou seja:
\[ -x+3<6 \]
Subtraímos \(3\):
\[ -x<3 \]
Multiplicamos por \(-1\), invertendo o sentido:
\[ x>-3 \]
Intersectando com \(-2\le x<\frac{1}{2}\), todo o intervalo é solução:
\[ -2\le x<\frac{1}{2} \]
Terceiro caso: \(x\ge \frac{1}{2}\)
Se \(x\ge \frac{1}{2}\), então:
\[ 2x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Pelo que:
\[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \]
A inequação torna-se:
\[ 2x-1+x+2<6 \]
ou seja:
\[ 3x+1<6 \]
Subtraímos \(1\):
\[ 3x<5 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x<\frac{5}{3} \]
Intersectando com \(x\ge \frac{1}{2}\), obtemos:
\[ \frac{1}{2}\le x<\frac{5}{3} \]
Reunindo as soluções parciais:
\[ S= \left(-\frac{7}{3},-2\right) \cup \left[-2,\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right) \]
Como os intervalos são consecutivos, obtemos:
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver a inequação:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Resultado
\[ S=[-4,0] \]
Resolução
Ambos os membros da inequação são não negativos. Podemos portanto elevar ao quadrado os dois membros sem alterar o conjunto solução.
Partimos de:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Elevando ao quadrado:
\[ (x-2)^2\ge \left(2|x+1|\right)^2 \]
Como:
\[ \left(2|x+1|\right)^2=4(x+1)^2 \]
obtemos:
\[ (x-2)^2\ge 4(x+1)^2 \]
Expandimos os quadrados:
\[ x^2-4x+4\ge 4(x^2+2x+1) \]
ou seja:
\[ x^2-4x+4\ge 4x^2+8x+4 \]
Subtraímos \(x^2-4x+4\) a ambos os membros, obtendo:
\[ 0\ge 3x^2+12x \]
isto é:
\[ 3x^2+12x\le 0 \]
Colocamos \(3x\) em evidência:
\[ 3x(x+4)\le 0 \]
Como \(3>0\), o sinal depende do produto:
\[ x(x+4)\le 0 \]
Os zeros são:
\[ x=0, \qquad x=-4 \]
O produto \(x(x+4)\) é menor ou igual a zero entre os dois zeros, extremos incluídos:
\[ -4\le x\le 0 \]
Portanto:
\[ S=[-4,0] \]