As inequações de grau superior são inequações polinomiais em que intervém um polinómio de grau pelo menos \(3\). Resolvê-las significa determinar para que valores da variável o polinómio toma valores positivos, negativos, não negativos ou não positivos.
Ao contrário das inequações lineares ou quadráticas, não existe uma fórmula geral imediata que permita obter a solução num único passo. O problema assenta, pelo contrário, no estudo do sinal de um produto de factores.
Por essa razão, o passo fundamental consiste quase sempre na factorização do polinómio:
\[ \text{factorizar o polinómio} \]
Uma vez obtida a factorização, a inequação reduz-se ao estudo do sinal dos factores individuais e à construção da tabela de sinais.
Índice
- O que é uma inequação de grau superior
- Forma geral
- Princípio fundamental do estudo do sinal
- Método geral de resolução
- Multiplicidade das raízes e mudança de sinal
- Inequações factorizáveis
- Inequações com raízes múltiplas
- Inequações com factores quadráticos
- Inequações de grau ímpar
- Inequações de grau par
- Método da tabela de sinais
- Erros mais comuns
- Exercícios resolvidos
O que é uma inequação de grau superior
Uma inequação de grau superior é uma inequação da forma:
\[ P(x)>0, \qquad P(x)\geq0, \qquad P(x)<0, \qquad P(x)\leq0 \]
onde \(P(x)\) é um polinómio de grau pelo menos \(3\).
Por exemplo:
\[ x^3-4x>0 \]
ou:
\[ x^4-5x^2+4\leq0 \]
ou ainda:
\[ x^5-2x^4-3x^3\geq0. \]
Em todos estes casos, o problema consiste em determinar em que intervalos da recta real o polinómio assume o sinal pretendido.
Forma geral
Uma inequação polinomial de grau \(n\) pode escrever-se na forma:
\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \gtrless 0 \]
com:
\[ a_n\neq0. \]
O grau da inequação coincide com o grau do polinómio.
Por exemplo:
\[ x^5-3x^2+1>0 \]
é uma inequação de quinto grau.
Princípio fundamental do estudo do sinal
O princípio fundamental é o seguinte:
o sinal de um produto depende do sinal dos seus factores.
Por conseguinte, para resolver uma inequação polinomial é essencial compreender como varia o sinal dos factores individuais nos diferentes intervalos da recta real.
Por exemplo:
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
verifica-se quando:
- ambos os factores são positivos;
- ou ambos são negativos.
Por essa razão, a estratégia geral consiste em:
- factorizar o polinómio;
- estudar o sinal de cada factor;
- combinar os sinais obtidos.
Método geral de resolução
O procedimento padrão para resolver uma inequação de grau superior articula-se em cinco passos fundamentais.
1. Transpor tudo para o primeiro membro
A inequação deve ser escrita na forma:
\[ P(x)\gtrless0. \]
2. Factorizar o polinómio
Procura-se factorizar o polinómio:
\[ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\dots \]
As principais técnicas são:
- factorização pelo factor comum;
- produtos notáveis;
- regra de Ruffini;
- determinação das raízes;
- substituições.
3. Determinar os zeros
Determinam-se os valores que anulam cada factor.
4. Construir a tabela de sinais
Os zeros dividem a recta real em intervalos. Em cada intervalo, o sinal do polinómio permanece constante.
5. Seleccionar os intervalos pretendidos
Escolhem-se por fim os intervalos em que o polinómio satisfaz a inequação dada.
Multiplicidade das raízes e mudança de sinal
Um aspecto fundamental no estudo das inequações polinomiais diz respeito à multiplicidade das raízes.
Consideremos:
\[ (x-1)^2. \]
A raiz:
\[ x=1 \]
tem multiplicidade \(2\).
Neste caso, o sinal do polinómio não muda ao atravessar a raiz.
Com efeito:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
tanto à esquerda como à direita de \(1\).
Pelo contrário, uma raiz de multiplicidade ímpar provoca uma mudança de sinal.
Por exemplo:
\[ (x-1)^3 \]
muda de sinal ao atravessar:
\[ x=1. \]
Em geral:
- raiz de multiplicidade par \(\Rightarrow\) o sinal não muda;
- raiz de multiplicidade ímpar \(\Rightarrow\) o sinal muda.
Inequações factorizáveis
Consideremos a inequação:
\[ x^3-4x>0. \]
Factorização
Factorizando por \(x\):
\[ x(x^2-4)>0. \]
Decompõe-se agora a diferença de quadrados:
\[ x(x-2)(x+2)>0. \]
Estudo do sinal
Os zeros do polinómio são:
\[ -2,\qquad0,\qquad2. \]
Constrói-se a tabela de sinais:
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Como se pretende:
\[ x(x-2)(x+2)>0, \]
obtém-se:
\[ (-2,0)\cup(2,+\infty). \]
Inequações com raízes múltiplas
Consideremos:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0. \]
Os zeros são:
\[ x=1 \]
com multiplicidade \(2\), e:
\[ x=-3 \]
com multiplicidade \(1\).
Ao atravessar \(x=-3\) o sinal muda, ao passo que ao atravessar \(x=1\) o sinal permanece inalterado.
A tabela de sinais é portanto:
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,1)\) | \(+\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Como a inequação é:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0, \]
incluem-se também os zeros:
\[ [-3,+\infty). \]
Inequações com factores quadráticos
Nem todos os factores de um polinómio são necessariamente lineares.
Consideremos:
\[ (x^2-4)(x^2+1)>0. \]
O segundo factor:
\[ x^2+1 \]
é sempre positivo para todo o número real:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Por conseguinte, o sinal da inequação depende exclusivamente do factor:
\[ x^2-4. \]
Decompõe-se:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtém-se assim:
\[ (x-2)(x+2)>0, \]
cuja solução é:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Inequações de grau ímpar
Os polinómios de grau ímpar com coeficiente principal positivo satisfazem:
\[ P(x)\to-\infty \qquad \text{para} \qquad x\to-\infty \]
e:
\[ P(x)\to+\infty \qquad \text{para} \qquad x\to+\infty. \]
Este comportamento permite frequentemente prever o sinal global do polinómio.
Por exemplo:
\[ x^3-1 \]
é negativo à esquerda da raiz \(x=1\) e positivo à direita.
Inequações de grau par
Os polinómios de grau par com coeficiente principal positivo satisfazem, pelo contrário:
\[ P(x)\to+\infty \]
tanto para:
\[ x\to-\infty \]
como para:
\[ x\to+\infty. \]
Isto explica por que razão a tabela de sinais de tais polinómios tende frequentemente a começar e a terminar com o mesmo sinal.
Método da tabela de sinais
A tabela de sinais é o instrumento central na resolução das inequações polinomiais.
O procedimento consiste em:
- ordenar os zeros do polinómio;
- dividir a recta real nos intervalos correspondentes;
- determinar o sinal dos factores individuais;
- multiplicar os sinais obtidos.
É importante recordar que:
- uma raiz de multiplicidade ímpar provoca inversão de sinal;
- uma raiz de multiplicidade par não provoca mudança de sinal.
Erros mais comuns
Esquecer de factorizar completamente
Muitos erros resultam de factorizações incompletas do polinómio.
Ignorar a multiplicidade das raízes
Uma raiz dupla não provoca inversão de sinal.
Engano no sinal nos intervalos
Convém sempre verificar o sinal recorrendo a valores de teste.
Incluir erroneamente os zeros
Nas inequações estritas:
\[ >,\qquad< \]
os zeros não pertencem à solução.
Nas inequações:
\[ \geq,\qquad\leq \]
os zeros devem, pelo contrário, ser incluídos.
Exercícios resolvidos
Exemplo 1. Resolver:
\[ x^3-x^2-6x>0. \]
Factorização
Factorizando por \(x\):
\[ x(x^2-x-6)>0. \]
Decompõe-se o trinómio:
\[ x(x-3)(x+2)>0. \]
Estudo do sinal
Os zeros são:
\[ -2,\qquad0,\qquad3. \]
A tabela de sinais fornece:
\[ (-2,0)\cup(3,+\infty). \]
Exemplo 2. Resolver:
\[ x^4-5x^2+4\leq0. \]
Substituição
Fazendo:
\[ y=x^2. \]
Obtém-se:
\[ y^2-5y+4\leq0. \]
Factorizando:
\[ (y-1)(y-4)\leq0. \]
Logo:
\[ 1\leq y\leq4. \]
Resubstituindo:
\[ 1\leq x^2\leq4. \]
Conclui-se:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2]. \]
As inequações de grau superior resolvem-se através do estudo do sinal dos polinómios.
A ideia fundamental consiste em transformar o polinómio num produto de factores e analisar o comportamento do sinal nos diferentes intervalos da recta real.
Por essa razão, são essenciais:
- a factorização dos polinómios;
- o estudo das raízes;
- a multiplicidade dos zeros;
- a tabela de sinais.
Uma vez dominadas estas ferramentas, mesmo inequações aparentemente muito complexas podem ser abordadas de forma sistemática, rigorosa e organizada.