Exercícios Resolvidos sobre Inequações do Segundo Grau. Um percurso guiado pelo uso da fórmula resolutiva e a análise dos sinais. Aprenda a ir da equação associada à solução final em poucos passos algébricos simples.
Exercício 1 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Resultado
\[ x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2 \]
Resolução
Equação associada e raízes
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x_1=-2,\quad x_2=2 \]
Regra dos sinais
O coeficiente de \(x^2\) é positivo: a parábola tem concavidade voltada para cima e o polinômio é positivo fora das raízes.
\[ x^2-4 > 0 \iff x < -2 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2} \]
Exercício 2 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 - 9 \leq 0 \]
Resultado
\[ -3 \leq x \leq 3 \]
Resolução
Equação associada e raízes
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \implies x_1=-3,\quad x_2=3 \]
Regra dos sinais
Parábola com concavidade voltada para cima: o polinômio é negativo ou nulo entre as raízes.
\[ x^2-9 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3 \]
Conjunto solução
\[ S = [-3,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 3} \]
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 > 0 \]
Resultado
\[ x < 2 \quad \text{ou} \quad x > 3 \]
Resolução
Equação associada e raízes
Produto \(6\), soma \(-5\): obtêm-se \(x_1=2\) e \(x_2=3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Regra dos sinais
Parábola com concavidade voltada para cima: positivo fora das raízes.
\[ x^2-5x+6 > 0 \iff x < 2 \;\text{ ou }\; x > 3 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 2 \quad \text{ou} \quad x > 3} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Resultado
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Resolução
Equação associada e raízes
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=3 \]
Regra dos sinais
Parábola com concavidade voltada para cima: o polinômio é negativo ou nulo entre as raízes. Em relação ao exercício anterior, muda apenas o sentido da desigualdade.
\[ x^2-5x+6 \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 3 \]
Conjunto solução
\[ S = [2,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Exercício 5 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 > 0 \]
Resultado
\[ x < 3 \quad \text{ou} \quad x > 4 \]
Resolução
Equação associada e raízes
Produto \(12\), soma \(-7\): obtêm-se \(x_1=3\) e \(x_2=4\).
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Regra dos sinais
\[ x^2-7x+12 > 0 \iff x < 3 \;\text{ ou }\; x > 4 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,3)\cup(4,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 3 \quad \text{ou} \quad x > 4} \]
Exercício 6 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \leq 0 \]
Resultado
\[ -3 \leq x \leq 2 \]
Resolução
Equação associada e raízes
Produto \(-6\), soma \(1\): obtêm-se \(x_1=-3\) e \(x_2=2\).
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0 \]
Regra dos sinais
Parábola com concavidade voltada para cima: negativo ou nulo entre as raízes.
\[ x^2+x-6 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 2 \]
Conjunto solução
\[ S = [-3,\,2] \]
Resultado
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 2} \]
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(sempre verdadeira)} \]
Resolução
Reconhecimento do quadrado perfeito
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Análise
O quadrado de qualquer número real é sempre não negativo: \((x-1)^2 \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). A inequação é satisfeita por todos os reais.
Conjunto solução
\[ S = \mathbb{R} \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 < 0 \]
Resultado
Sem solução
Resolução
Reconhecimento do quadrado perfeito
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Análise
O quadrado de um número real é sempre \(\geq 0\): nunca pode ser estritamente negativo. A inequação não tem solução.
Conjunto solução
\[ S = \emptyset \]
Resultado
\[ \boxed{\text{Sem solução}} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 5 > 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(sempre verdadeira)} \]
Resolução
Cálculo do discriminante
\[ \Delta = 4 - 20 = -16 \]
Análise
Como \(\Delta < 0\), o polinômio não tem raízes reais. Com o coeficiente de \(x^2\) positivo, a parábola fica inteiramente acima do eixo \(x\): o polinômio é sempre positivo.
Conjunto solução
\[ S = \mathbb{R} \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 4x + 5 \leq 0 \]
Resultado
Sem solução
Resolução
Cálculo do discriminante
\[ \Delta = 16 - 20 = -4 \]
Análise
Como \(\Delta < 0\) e o coeficiente de \(x^2\) é positivo, a parábola está sempre acima do eixo \(x\): o polinômio nunca é \(\leq 0\).
Conjunto solução
\[ S = \emptyset \]
Resultado
\[ \boxed{\text{Sem solução}} \]
Exercício 11 — nível ★★★★☆
\[ x^2 > 2x + 3 \]
Resultado
\[ x < -1 \quad \text{ou} \quad x > 3 \]
Resolução
Reescrita na forma padrão
\[ x^2-2x-3 > 0 \]
Equação associada e raízes
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \implies x_1=-1,\quad x_2=3 \]
Regra dos sinais
Parábola com concavidade voltada para cima: positivo fora das raízes.
\[ x < -1 \;\text{ ou }\; x > 3 \]
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,-1)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < -1 \quad \text{ou} \quad x > 3} \]
Exercício 12 — nível ★★★★☆
\[ 3x^2 - x - 2 \leq 0 \]
Resultado
\[ -\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Resolução
Equação associada e raízes
\[ \Delta = 1+24=25 \implies x = \frac{1\pm5}{6} \implies x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1 \]
Fatoração
\[ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \]
Verificação: \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\) ✓
Regra dos sinais
Coeficiente de \(x^2\) positivo: negativo ou nulo entre as raízes.
\[ -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Conjunto solução
\[ S = \left[-\frac{2}{3},\,1\right] \]
Resultado
\[ \boxed{-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1} \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
\[ -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \]
Resultado
\[ 1 \leq x \leq 3 \]
Resolução
Mudança de sinal
Multiplica-se por \(-1\): o coeficiente de \(x^2\) torna-se positivo e o sentido da inequação se inverte.
\[ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \]
Equação associada e raízes
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1,\quad x_2=3 \]
Regra dos sinais
Negativo ou nulo entre as raízes: \(1 \leq x \leq 3\).
Conjunto solução
\[ S = [1,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{1 \leq x \leq 3} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ 2x^2 + 5x - 3 < 0 \]
Resultado
\[ -3 < x < \dfrac{1}{2} \]
Resolução
Equação associada e raízes
\[ \Delta = 25+24=49 \implies x = \frac{-5\pm7}{4} \implies x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{2} \]
Fatoração
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]
Regra dos sinais
Coeficiente de \(x^2\) positivo: estritamente negativo entre as raízes.
\[ -3 < x < \frac{1}{2} \]
Conjunto solução
\[ S = \left(-3,\,\frac{1}{2}\right) \]
Resultado
\[ \boxed{-3 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ x^2 - 6x + 9 > 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\} \]
Resolução
Reconhecimento do quadrado perfeito
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Análise
\(\Delta=0\): raiz dupla em \(x=3\). A parábola é sempre \(\geq 0\) e se anula somente em \(x=3\). Para a desigualdade estrita, exclui-se o ponto de tangência.
\[ (x-3)^2 > 0 \iff x \neq 3 \]
Conjunto solução
\[ S = \mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,\,3)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
\[ x(x-4) \geq 5 \]
Resultado
\[ x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 5 \]
Resolução
Reescrita na forma padrão
\[ x^2-4x-5 \geq 0 \]
Equação associada e raízes
\[ \Delta = 16+20=36 \implies x = \frac{4\pm6}{2} \implies x_1=-1,\quad x_2=5 \]
Fatoração
\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5) \]
Regra dos sinais
Positivo ou nulo fora das raízes: \(x \leq -1\) ou \(x \geq 5\).
Verificação
\(x=5\): \(5\cdot1=5\geq5\) \(x=-1\): \((-1)(-5)=5\geq5\)
Resultado
\[ \boxed{x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 5} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2-5x+4 < 0 \\ x^2-4 > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 < x < 4 \]
Resolução
Primeira inequação
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4 \]
Segunda inequação
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Interseção
Intersectam-se \((1,\,4)\) com \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\):
\[ (1 < x < 4)\;\cap\;(x > 2) \;=\; 2 < x < 4 \]
Conjunto solução
\[ S = (2,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ (x^2-4x+3)(x^2-x-2) \leq 0 \]
Resultado
\[ -1 \leq x \leq 1 \quad \text{ou} \quad 2 \leq x \leq 3 \]
Resolução
Fatoração
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \qquad x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
As raízes do produto são \(x=-1,\,1,\,2,\,3\).
Tabela de sinais de \((x-1)(x-3)(x-2)(x+1)\)
\(x < -1\): quatro fatores negativos \(\to\) produto \(> 0\)
\(-1 < x < 1\): três negativos \(\to\) produto \(< 0\)
\(1 < x < 2\): dois negativos \(\to\) produto \(> 0\)
\(2 < x < 3\): um negativo \(\to\) produto \(< 0\)
\(x > 3\): nenhum negativo \(\to\) produto \(> 0\)
Solução para \(\leq 0\)
O produto é negativo ou nulo nos intervalos de sinal \(-\) e nos pontos de zero.
Conjunto solução
\[ S = [-1,\,1]\cup[2,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{-1 \leq x \leq 1 \quad \text{ou} \quad 2 \leq x \leq 3} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x^2-5x+2 > 0 \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 < x < \dfrac{1}{2} \]
Resolução
Primeira inequação
\[ \Delta=9 \implies x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=2 \qquad (2x-1)(x-2) > 0 \implies x < \frac{1}{2} \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Segunda inequação
\[ (x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2 \]
Interseção
\[ \left(x < \tfrac{1}{2} \;\text{ ou }\; x > 2\right)\cap\left(-1 < x < 2\right) = -1 < x < \frac{1}{2} \]
Conjunto solução
\[ S = \left(-1,\,\tfrac{1}{2}\right) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ x(x-2) > x-2 \]
Resultado
\[ x < 1 \quad \text{ou} \quad x > 2 \]
Resolução
Reescrita na forma padrão
\[ x(x-2)-(x-2) > 0 \]
Colocação de \((x-2)\) em evidência
\[ (x-2)(x-1) > 0 \]
Raízes e regra dos sinais
Raízes: \(x=1\) e \(x=2\). Parábola com concavidade para cima: positivo fora das raízes.
\[ x < 1 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Verificação
\(x=0\): \(0 > -2\) \(x=3\): \(3 > 1\) \(x=1{,}5\): \(-0{,}75 > -0{,}5\) — falso, não é solução
Conjunto solução
\[ S = (-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 1 \quad \text{ou} \quad x > 2} \]