Uma colecção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre inequações exponenciais, concebida para aprender a aplicar correctamente a monotonicidade de tais funções, reconhecer quando o sentido da inequação se conserva e quando, pelo contrário, se inverte.
Em cada exercício utilizaremos com rigor as propriedades das potências, a redução à mesma base e, quando necessário, o método de substituição.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ 2^x>8 \]
Resultado
\[ S=(3,+\infty) \]
Resolução
Escrevemos \(8\) como potência de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
A inequação torna-se:
\[ 2^x>2^3 \]
Como \(2>1\), a função exponencial \(2^x\) é estritamente crescente. Podemos, portanto, comparar os expoentes conservando o mesmo sentido:
\[ x>3 \]
Logo:
\[ S=(3,+\infty) \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ 3^{x-1}\le 27 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4] \]
Resolução
Escrevemos \(27\) como potência de \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Obtemos:
\[ 3^{x-1}\le 3^3 \]
Como \(3>1\), a função exponencial é crescente. O sentido da inequação conserva-se:
\[ x-1\le 3 \]
Portanto:
\[ x\le 4 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac1{16} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4) \]
Resolução
Escrevemos o segundo membro como potência de \(\frac12\):
\[ \frac1{16}=\left(\frac12\right)^4 \]
A inequação torna-se:
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^4 \]
Como:
\[ 0<\frac12<1 \]
a função exponencial é estritamente decrescente. Por conseguinte, ao comparar os expoentes, o sentido da inequação inverte-se:
\[ x<4 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,4) \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 5^{2x+1}\ge 5^{x-3} \]
Resultado
\[ S=[-4,+\infty) \]
Resolução
As duas potências têm a mesma base \(5\). Como \(5>1\), a função exponencial é crescente.
Podemos, portanto, comparar os expoentes conservando o mesmo sentido:
\[ 2x+1\ge x-3 \]
Subtraindo \(x\) de ambos os membros:
\[ x+1\ge -3 \]
Portanto:
\[ x\ge -4 \]
Logo:
\[ S=[-4,+\infty) \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,3] \]
Resolução
A base é \(\frac13\), portanto:
\[ 0<\frac13<1 \]
A função exponencial é decrescente. Consequentemente, ao passar dos exponenciais para os expoentes, o sentido da inequação inverte-se.
De:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
obtemos:
\[ x+2\ge 2x-1 \]
Portanto:
\[ 3\ge x \]
ou seja:
\[ x\le 3 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,3] \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 4^x>2^{3x} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0) \]
Resolução
Escrevemos \(4\) como potência de \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Então:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
A inequação torna-se:
\[ 2^{2x}>2^{3x} \]
Como \(2>1\), a função exponencial \(2^x\) é estritamente crescente. Comparando os expoentes com o mesmo sentido:
\[ 2x>3x \]
Subtraindo \(3x\) de ambos os membros:
\[ -x>0 \]
Multiplicando por \(-1\), o sentido da inequação inverte-se:
\[ x<0 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,0) \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 9^x\le 3^{x+4} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4] \]
Resolução
Escrevemos \(9\) como potência de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Então:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} \]
A inequação torna-se:
\[ 3^{2x}\le 3^{x+4} \]
Como \(3>1\), comparamos os expoentes conservando o sentido:
\[ 2x\le x+4 \]
Portanto:
\[ x\le 4 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 2^{x+2}-2^x>12 \]
Resultado
\[ S=(2,+\infty) \]
Resolução
Reescrevemos o primeiro termo:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x \]
A inequação torna-se:
\[ 4\cdot 2^x-2^x>12 \]
Colocamos \(2^x\) em evidência:
\[ 2^x(4-1)>12 \]
ou seja:
\[ 3\cdot 2^x>12 \]
Dividindo por \(3\), que é positivo:
\[ 2^x>4 \]
Como \(4=2^2\), obtemos:
\[ 2^x>2^2 \]
Sendo \(2>1\), a função exponencial é crescente:
\[ x>2 \]
Logo:
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 3^{x+1}+3^x\le 36 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,2] \]
Resolução
Reescrevemos:
\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x \]
Portanto:
\[ 3^{x+1}+3^x=3\cdot 3^x+3^x=4\cdot 3^x \]
A inequação torna-se:
\[ 4\cdot 3^x\le 36 \]
Dividindo por \(4\), que é positivo:
\[ 3^x\le 9 \]
Como \(9=3^2\), obtemos:
\[ 3^x\le 3^2 \]
Sendo \(3>1\), comparamos os expoentes:
\[ x\le 2 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,2] \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4\le 0 \]
Resultado
\[ S=[0,2] \]
Resolução
Façamos:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
Além disso:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Portanto:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
O produto é menor ou igual a zero entre as duas raízes:
\[ 1\le t\le 4 \]
Regressando a \(x\):
\[ 1\le 2^x\le 4 \]
Escrevemos:
\[ 1=2^0,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtemos:
\[ 0\le x\le 2 \]
Logo:
\[ S=[0,2] \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Resolução
Façamos:
\[ t=3^x \]
Como \(3^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
Além disso:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-4t+3>0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3) \]
Portanto:
\[ (t-1)(t-3)>0 \]
O produto é positivo no exterior das raízes:
\[ t<1 \quad \text{ou} \quad t>3 \]
Tendo em conta que \(t>0\), a primeira condição significa:
\[ 0
Regressando a \(x\):
\[ 3^x<1 \quad \text{ou} \quad 3^x>3 \]
Escrevemos:
\[ 1=3^0,\qquad 3=3^1 \]
Como \(3>1\), obtemos:
\[ x<0 \quad \text{ou} \quad x>1 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ 4^x-6\cdot 2^x+8\ge 0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Resolução
Observamos que:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
Façamos:
\[ t=2^x \]
com:
\[ t>0 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-6t+8\ge 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Portanto:
\[ (t-2)(t-4)\ge 0 \]
O produto é maior ou igual a zero no exterior das raízes:
\[ t\le 2 \quad \text{ou} \quad t\ge 4 \]
Regressando a \(x\):
\[ 2^x\le 2 \quad \text{ou} \quad 2^x\ge 4 \]
Como:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
e sendo \(2>1\), obtemos:
\[ x\le 1 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ \frac{2^x-4}{2^x+1}\ge 0 \]
Resultado
\[ S=[2,+\infty) \]
Resolução
Façamos:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
A inequação torna-se:
\[ \frac{t-4}{t+1}\ge 0 \]
Como \(t>0\), o denominador é sempre positivo:
\[ t+1>0 \]
Assim, o sinal da fracção depende apenas do numerador:
\[ t-4\ge 0 \]
ou seja:
\[ t\ge 4 \]
Regressando a \(x\):
\[ 2^x\ge 4 \]
Como \(4=2^2\) e \(2>1\), obtemos:
\[ x\ge 2 \]
Logo:
\[ S=[2,+\infty) \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \frac{3^x-9}{3^x-1}<0 \]
Resultado
\[ S=(0,2) \]
Resolução
Façamos:
\[ t=3^x \]
Como \(3^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
A inequação torna-se:
\[ \frac{t-9}{t-1}<0 \]
Os pontos críticos são:
\[ t=1,\qquad t=9 \]
O valor \(t=1\) anula o denominador, pelo que não é admissível. O valor \(t=9\) anula o numerador.
Para \(t>0\), estudamos os intervalos:
\[ (0,1),\qquad (1,9),\qquad (9,+\infty) \]
O quadro de sinais é:
\[ \begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & (1,9) & (9,+\infty)\\ \hline t-9 & - & - & +\\ t-1 & - & + & +\\ \hline \dfrac{t-9}{t-1} & + & - & + \end{array} \]
A fracção deve ser negativa, portanto:
\[ 1
Regressando à variável \(x\):
\[ 1<3^x<9 \]
Escrevemos:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
Portanto:
\[ 3^0<3^x<3^2 \]
Como \(3>1\), obtemos:
\[ 0
Logo:
\[ S=(0,2) \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ 2^{x+1}+2^{1-x}\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-1,1] \]
Resolução
Façamos:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
Reescrevemos os dois termos:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]
Além disso:
\[ 2^{1-x}=2\cdot 2^{-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t} \]
A inequação torna-se:
\[ 2t+\frac{2}{t}\le 5 \]
Como \(t>0\), podemos multiplicar por \(t\) sem alterar o sentido:
\[ 2t^2+2\le 5t \]
Transportando tudo para o primeiro membro:
\[ 2t^2-5t+2\le 0 \]
Factorizamos:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Portanto:
\[ (2t-1)(t-2)\le 0 \]
O produto é menor ou igual a zero entre as duas raízes:
\[ \frac12\le t\le 2 \]
Regressando a \(x\):
\[ \frac12\le 2^x\le 2 \]
Escrevemos:
\[ \frac12=2^{-1},\qquad 2=2^1 \]
Como \(2>1\), obtemos:
\[ -1\le x\le 1 \]
Logo:
\[ S=[-1,1] \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ 9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Resolução
Observamos que:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2 \]
Façamos:
\[ t=3^x \]
com:
\[ t>0 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-10t+9\ge 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Portanto:
\[ (t-1)(t-9)\ge 0 \]
O produto é maior ou igual a zero no exterior das raízes:
\[ t\le 1 \quad \text{ou} \quad t\ge 9 \]
Regressando a \(x\):
\[ 3^x\le 1 \quad \text{ou} \quad 3^x\ge 9 \]
Como:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
e sendo \(3>1\), obtemos:
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
Logo:
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \left(\frac14\right)^x-5\left(\frac12\right)^x+4\le 0 \]
Resultado
\[ S=[-2,0] \]
Resolução
Expressamos tudo em função de \(\left(\frac12\right)^x\).
Como:
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2 \]
temos:
\[ \left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x} \]
Façamos:
\[ t=\left(\frac12\right)^x \]
com:
\[ t>0 \]
Então:
\[ \left(\frac12\right)^{2x}=t^2 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Portanto:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
O produto é menor ou igual a zero entre as raízes:
\[ 1\le t\le 4 \]
Regressando a \(x\):
\[ 1\le \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Escrevemos os extremos como potências de \(\frac12\):
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
Como a base \(\frac12\) pertence ao intervalo \((0,1)\), a função exponencial é decrescente, pelo que a ordem dos expoentes se inverte.
Resolvemos separadamente:
\[ \left(\frac12\right)^x\ge 1 \]
e:
\[ \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Como:
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
e sendo a função exponencial de base \(\frac12\) decrescente, obtemos:
\[ x\le 0 \]
e:
\[ x\ge -2 \]
Intersectando:
\[ -2\le x\le 0 \]
Logo:
\[ S=[-2,0] \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \begin{cases} 2^x>4\\ 3^{x-1}\le 9 \end{cases} \]
Resultado
\[ S=(2,3] \]
Resolução
Resolvemos separadamente as duas inequações.
Primeira inequação:
\[ 2^x>4 \]
Como \(4=2^2\), temos:
\[ 2^x>2^2 \]
Sendo \(2>1\), obtemos:
\[ x>2 \]
Segunda inequação:
\[ 3^{x-1}\le 9 \]
Como \(9=3^2\), obtemos:
\[ 3^{x-1}\le 3^2 \]
Sendo \(3>1\), comparamos os expoentes:
\[ x-1\le 2 \]
Portanto:
\[ x\le 3 \]
Intersectando as duas condições:
\[ x>2 \quad \text{e} \quad x\le 3 \]
Obtemos:
\[ 2
Logo:
\[ S=(2,3] \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ \frac{2^{2x}-5\cdot 2^x+4}{2^x-2}\ge 0 \]
Resultado
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Resolução
Façamos:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), temos:
\[ t>0 \]
Além disso:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
A inequação torna-se:
\[ \frac{t^2-5t+4}{t-2}\ge 0 \]
Factorizamos o numerador:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Portanto:
\[ \frac{(t-1)(t-4)}{t-2}\ge 0 \]
Os pontos críticos são:
\[ t=1,\qquad t=2,\qquad t=4 \]
O valor \(t=2\) anula o denominador, pelo que deve ser excluído.
Estudamos o sinal para \(t>0\):
\[ \begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline t-1 & - & + & + & +\\ t-4 & - & - & - & +\\ t-2 & - & - & + & +\\ \hline \dfrac{(t-1)(t-4)}{t-2} & - & + & - & + \end{array} \]
Como pretendemos uma fracção maior ou igual a zero, seleccionamos os intervalos com sinal positivo e incluímos os zeros do numerador:
\[ 1\le t<2 \quad \text{ou} \quad t\ge 4 \]
O valor \(t=2\) permanece excluído por anular o denominador.
Regressando a \(x\):
\[ 1\le 2^x<2 \quad \text{ou} \quad 2^x\ge 4 \]
Escrevemos:
\[ 1=2^0,\qquad 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtemos:
\[ 0\le x<1 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
Logo:
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8<0 \]
Resultado
\[ S=(1,2) \]
Resolução
Reescrevemos tudo em função de \(2^x\).
Como:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
e:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x \]
façamos:
\[ t=2^x \]
com:
\[ t>0 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-6t+8<0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Portanto:
\[ (t-2)(t-4)<0 \]
O produto é negativo entre as duas raízes:
\[ 2
Regressando a \(x\):
\[ 2<2^x<4 \]
Escrevemos:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtemos:
\[ 1
Logo:
\[ S=(1,2) \]