As inequações exponenciais são inequações em que a incógnita figura no expoente. Constituem uma das aplicações fundamentais das propriedades das funções exponenciais e exigem especial atenção ao estudo da monotonicidade.
A forma mais simples é:
\[ a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Nestes casos, o comportamento da inequação depende inteiramente da base \(a\):
- se \(a>1\), a função exponencial é estritamente crescente;
- se \(0<a<1\), a função exponencial é estritamente decrescente.
Por conseguinte:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u>v \qquad \text{se } a>1, \]
ao passo que:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u<v \qquad \text{se } 0<a<1. \]
Este é o princípio central de toda a teoria das inequações exponenciais.
Índice
- Definição de inequação exponencial
- Monotonicidade da função exponencial
- Inequações elementares com a mesma base
- Caso \(a>1\)
- Caso \(0<a<1\)
- Redução à mesma base
- Inequações redutíveis a uma exponencial
- Método de substituição
- Inequações exponenciais fraccionárias
- Sistemas de inequações exponenciais
- Exemplos resolvidos
Definição de inequação exponencial
Uma inequação exponencial é uma inequação em que a incógnita figura no expoente de pelo menos uma potência.
Exemplos:
\[ 2^x>8, \]
\[ 3^{2x-1}\le 9, \]
\[ \left(\frac12\right)^{x+1}>4. \]
Nem todas as inequações exponenciais se resolvem da mesma forma. Em alguns casos, basta comparar os expoentes; noutros, é necessário efectuar transformações algébricas, factorizações ou substituições.
Monotonicidade da função exponencial
Consideremos a função:
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Esta função é:
- crescente se \(a>1\);
- decrescente se \(0<a<1\).
Este facto é fundamental, pois permite passar da inequação exponencial a uma inequação entre expoentes.
Com efeito:
\[ a^{u(x)} \gtrless a^{v(x)} \]
é equivalente a:
\[ u(x)\gtrless v(x) \]
quando \(a>1\), ao passo que o sentido se inverte quando \(0<a<1\).
Inequações elementares com a mesma base
Consideremos:
\[ 5^{2x-1}>5^3. \]
Como a base é maior do que \(1\), podemos comparar directamente os expoentes:
\[ 2x-1>3. \]
Resolvendo:
\[ 2x>4 \]
\[ x>2. \]
Logo:
\[ S=(2,+\infty). \]
Caso \(a>1\)
Se a base é maior do que \(1\), a função exponencial preserva a ordem:
\[ a^u>a^v \iff u>v. \]
Exemplo:
\[ 3^{x+2}\le 3^{2x-1}. \]
Comparamos os expoentes:
\[ x+2\le 2x-1. \]
Assim:
\[ 3\le x. \]
A solução é:
\[ S=[3,+\infty). \]
Caso \(0<a<1\)
Se, pelo contrário:
\[ 0<a<1, \]
a função é decrescente e o sentido da inequação inverte-se.
Por exemplo:
\[ \left(\frac12\right)^{x-1}>\left(\frac12\right)^{2x+3}. \]
Como:
\[ 0<\frac12<1, \]
devemos inverter o sentido:
\[ x-1<2x+3. \]
Assim:
\[ -4<x. \]
Portanto:
\[ S=(-4,+\infty). \]
Redução à mesma base
Frequentemente, as bases são diferentes mas redutíveis a uma base comum.
Consideremos:
\[ 8^x>2^{x+1}. \]
Note-se que:
\[ 8=2^3. \]
Então:
\[ (2^3)^x>2^{x+1}. \]
Aplicando a propriedade:
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
obtemos:
\[ 2^{3x}>2^{x+1}. \]
Como \(2>1\):
\[ 3x>x+1. \]
Logo:
\[ 2x>1 \]
\[ x>\frac12. \]
Inequações redutíveis a uma exponencial
Por vezes, é necessário transformar a expressão antes de poder aplicar a monotonicidade.
Por exemplo:
\[ 2^{x+1}-2^x>4. \]
Colocamos \(2^x\) em evidência:
\[ 2^x(2-1)>4. \]
ou seja:
\[ 2^x>4. \]
Como:
\[ 4=2^2, \]
obtemos:
\[ 2^x>2^2. \]
Portanto:
\[ x>2. \]
Método de substituição
Algumas inequações exponenciais assumem uma forma polinomial após uma substituição conveniente.
Consideremos:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+6>0. \]
Fazemos:
\[ t=2^x. \]
Como uma exponencial é sempre positiva:
\[ t>0. \]
Além disso:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2. \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-5t+6>0. \]
Factorizamos:
\[ (t-2)(t-3)>0. \]
O estudo do sinal fornece:
\[ t<2 \quad \text{ou} \quad t>3. \]
Substituindo de volta:
\[ 2^x<2 \quad \text{ou} \quad 2^x>3. \]
A primeira dá:
\[ x<1. \]
A segunda:
\[ x>\log_2 3. \]
Portanto:
\[ S=(-\infty,1)\cup(\log_2 3,+\infty). \]
Inequações exponenciais fraccionárias
Podem igualmente surgir expressões racionais envolvendo exponenciais.
Exemplo:
\[ \frac{2^x-1}{2^x+3}>0. \]
Seja:
\[ t=2^x, \qquad t>0. \]
Obtemos:
\[ \frac{t-1}{t+3}>0. \]
Como:
\[ t+3>0 \]
para todo \(t>0\), basta impor:
\[ t-1>0. \]
Logo:
\[ t>1. \]
Regressando à incógnita:
\[ 2^x>1. \]
Como:
\[ 1=2^0, \]
tem-se:
\[ x>0. \]
Sistemas de inequações exponenciais
As inequações exponenciais podem surgir no seio de sistemas.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} 2^x>4 \\ 3^x\le 27 \end{cases} \]
A primeira inequação fornece:
\[ x>2. \]
A segunda:
\[ x\le 3. \]
Fazendo a intersecção:
\[ S=(2,3]. \]
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Resolver:
\[ 4^x\ge 16. \]
Escrevemos tudo na base \(2\):
\[ 4=2^2, \qquad 16=2^4. \]
Assim:
\[ 2^{2x}\ge 2^4. \]
Como \(2>1\):
\[ 2x\ge 4. \]
De onde:
\[ x\ge 2. \]
Portanto:
\[ S=[2,+\infty). \]
Exemplo 2
Resolver:
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}<27. \]
Escrevemos tudo na base \(3\):
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}, \qquad 27=3^3. \]
Obtemos:
\[ 3^{-2x+1}<3^3. \]
Como a base \(3\) é maior do que \(1\):
\[ -2x+1<3. \]
Assim:
\[ -2x<2 \]
\[ x>-1. \]
Logo:
\[ S=(-1,+\infty). \]
Exemplo 3
Resolver:
\[ 3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0. \]
Seja:
\[ t=3^x, \qquad t>0. \]
Obtemos:
\[ t^2-10t+9\le 0. \]
Factorizamos:
\[ (t-1)(t-9)\le 0. \]
Do estudo do sinal:
\[ 1\le t\le 9. \]
Regressando à exponencial:
\[ 1\le 3^x\le 9. \]
ou seja:
\[ 3^0\le 3^x\le 3^2. \]
Como \(3>1\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Portanto:
\[ S=[0,2]. \]
As inequações exponenciais resolvem-se, portanto, tirando partido das propriedades fundamentais da função exponencial: monotonicidade, comparação de bases, transformações algébricas e substituições. Compreender o comportamento da base é o ponto essencial para evitar erros no sentido da inequação e construir uma resolução rigorosa e correcta.