Uma coleção graduada de 20 exercícios resolvidos sobre inequações logarítmicas, concebida para aprender a gerir corretamente o domínio, a monotonia da função logarítmica, a mudança de sentido e a interseção final com as condições de existência.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[\log_2(x-1)>3\]
Resultado
\[(9,+\infty)\]
Resolução
Domínio. O logaritmo está definido apenas quando o argumento é positivo:
\(x - 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1\).
Logo, o domínio é \(\mathcal{D} = (1, +\infty)\).
A base é \(2 > 1\), pelo que a função logarítmica é crescente. O sentido da inequação conserva-se:
\(\log_2(x-1) > 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x > 9\).
Intersectando com o domínio: \(x > 9\) já está contido em \(x > 1\), logo o conjunto solução é \((9, +\infty)\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[\log_3(2x+1)\leq 2\]
Resultado
\[\left(-\frac{1}{2},4\right]\]
Resolução
Domínio. O argumento deve ser positivo:
\(2x + 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -\frac{1}{2}\).
Logo \(\mathcal{D} = \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
Base \(3 > 1\), função crescente, sentido conservado:
\(\log_3(2x+1) \leq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+1 \leq 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x \leq 8 \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4\).
Intersectando com o domínio: \(x > -\frac{1}{2}\) e \(x \leq 4\), ou seja, \(\left(-\frac{1}{2}, 4\right]\).
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[\log_{1/2}(x+4)>-1\]
Resultado
\[(-4,-2)\]
Resolução
Domínio. \(x + 4 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -4\).
Logo \(\mathcal{D} = (-4, +\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), função decrescente, o sentido da inequação inverte-se:
\(\log_{1/2}(x+4) > -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x+4 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \quad \Longrightarrow \quad x < -2\).
Intersectando com o domínio: \(-4 < x < -2\), ou seja, \((-4, -2)\).
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[\log_{1/3}(5-x)\leq 1\]
Resultado
\[\left(-\infty,\frac{14}{3}\right]\]
Resolução
Domínio. \(5 - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 5\).
Base \(\frac{1}{3} < 1\), função decrescente, sentido invertido:
\(\log_{1/3}(5-x) \leq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 5-x \geq \frac{1}{3}\).
\(-x \geq \frac{1}{3} - 5 = -\frac{14}{3}\). Multiplicando por \(-1\) (o que inverte o sentido): \(x \leq \frac{14}{3}\).
Intersectando com o domínio: \(\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3)>3\]
Resultado
\[(5,+\infty)\]
Resolução
Domínio. Ambos os argumentos devem ser positivos: \(x-1>0\) e \(x-3>0\), logo \(x>3\).
Propriedade do produto: \(\log_2[(x-1)(x-3)] > 3\).
Base \(2>1\): \((x-1)(x-3) > 8 \iff x^2 - 4x - 5 > 0 \iff (x-5)(x+1) > 0\).
Soluções: \(x < -1\) ou \(x > 5\).
Intersectando com o domínio (\(x>3\)): \((5, +\infty)\).
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_3(x+2)-\log_3(x-1)<1\]
Resultado
\[\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\]
Resolução
Domínio. \(x+2>0\) e \(x-1>0\), logo \(x>1\).
Propriedade do quociente: \(\log_3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) < 1\).
Base \(3>1\): \(\frac{x+2}{x-1} < 3\).
Como \(x-1>0\) no domínio, podemos multiplicar ambos os membros sem inverter o sentido: \(x+2 < 3(x-1) \iff x > \frac{5}{2}\).
Intersectando com o domínio: \(\left(\frac{5}{2}, +\infty\right)\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_5(2x+1)\geq \log_5(x+4)\]
Resultado
\[[3,+\infty)\]
Resolução
Domínio. \(x > -\frac{1}{2}\).
Base \(5>1\), função crescente: \(2x+1 \geq x+4 \iff x \geq 3\).
Intersectando com o domínio: \([3, +\infty)\).
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_{1/2}(x+5) < \log_{1/2}(3x-1)\]
Resultado
\[\left(\frac{1}{3},3\right)\]
Resolução
Domínio. \(x+5>0\) e \(3x-1>0\), logo \(x > \frac{1}{3}\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), função decrescente: sentido invertido.
\(x+5 > 3x-1 \iff 6 > 2x \iff x < 3\).
Intersectando com o domínio: \(\left(\frac{1}{3}, 3\right)\).
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_2 x + \log_4 x \geq 6\]
Resultado
\[[16,+\infty)\]
Resolução
Domínio. \(x > 0\).
\(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\). Seja \(t = \log_2 x\):
\(t + \frac{t}{2} \geq 6 \iff \frac{3t}{2} \geq 6 \iff t \geq 4 \iff x \geq 16\).
Intersectando com o domínio: \([16, +\infty)\).
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[\log_3 x - \log_9 x < 2\]
Resultado
\[(0,81)\]
Resolução
Domínio. \(x > 0\).
\(\log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}\). Seja \(t = \log_3 x\):
\(t - \frac{t}{2} < 2 \iff \frac{t}{2} < 2 \iff t < 4 \iff x < 81\).
Intersectando com o domínio: \((0, 81)\).
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 \leq 0\]
Resultado
\[[4,8]\]
Resolução
Domínio. \(x > 0\).
Seja \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3) \leq 0\).
O trinómio é não positivo entre as raízes: \(2 \leq t \leq 3\).
Logo \(4 \leq x \leq 8\).
Intersectando com o domínio: \([4, 8]\).
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[(\log_3 x)^2 - 1 > 0\]
Resultado
\[\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\]
Resolução
Domínio. \(x > 0\).
Seja \(t = \log_3 x\): \(t^2 - 1 > 0 \iff (t-1)(t+1) > 0\).
Soluções: \(t < -1\) ou \(t > 1\).
Logo \(x < \frac{1}{3}\) ou \(x > 3\).
Intersectando com o domínio: \(\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\).
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 \geq 0\]
Resultado
\[\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\]
Resolução
Domínio. \(x > 0\).
Seja \(t = \log_2 x\): \(2t^2 - 3t - 2 = (2t+1)(t-2) \geq 0\).
Soluções: \(t \leq -\frac{1}{2}\) ou \(t \geq 2\).
Logo \(x \leq 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ou \(x \geq 4\).
Intersectando com o domínio: \(\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[\log_2(x^2-5x+6)\geq 1\]
Resultado
\[(-\infty,1]\cup[4,+\infty)\]
Resolução
Domínio. \(x^2-5x+6 > 0 \iff (x-2)(x-3)>0 \iff (-\infty,2)\cup(3,+\infty)\).
Base \(2>1\): \(x^2-5x+6 \geq 2 \iff x^2-5x+4 \geq 0 \iff (x-1)(x-4)\geq 0\).
Soluções: \(x\leq 1\) ou \(x\geq 4\).
Intersectando com o domínio: \((-\infty,1]\cup[4,+\infty)\).
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[\log_3(x^2-4)<2\]
Resultado
\[(-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\]
Resolução
Domínio. \(x^2-4 > 0 \iff (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\).
Base \(3>1\): \(x^2-4 < 9 \iff x^2 < 13 \iff -\sqrt{13} < x < \sqrt{13}\).
Intersectando com o domínio: \((-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\).
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[\log_2(x+1)+\log_2(x-2)\leq \log_2(2x+3)\]
Resultado
\[\left(2,\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\]
Resolução
Domínio. \(x+1>0\), \(x-2>0\), \(2x+3>0\); a condição mais restritiva é \(x>2\).
Propriedade do produto: \(\log_2[(x+1)(x-2)] \leq \log_2(2x+3)\).
Base \(2>1\): \((x+1)(x-2) \leq 2x+3 \iff x^2 - 3x - 5 \leq 0\).
Raízes: \(\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\). A solução encontra-se entre as raízes.
Intersectando com \(x>2\): \(\left(2, \frac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\).
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[\log_{1/2}(x^2-1)\geq -2\]
Resultado
\[[-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\]
Resolução
Domínio. \(x^2-1 > 0 \iff x \in (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), função decrescente, sentido invertido:
\[x^2-1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \iff x^2 \leq 5 \iff -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
Intersectando com o domínio: os valores \(\pm 1\) estão excluídos porque o argumento se anula, ao passo que \(x = -\sqrt{5}\) e \(x = \sqrt{5}\) pertencem ao domínio (o argumento vale 4) e satisfazem a inequação com igualdade. O conjunto solução é portanto \([-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\).
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[\log_2(x-1)<\log_4(3x+1)\]
Resultado
\[(1,5)\]
Resolução
Domínio. \(x>1\).
\(\log_4(3x+1) = \frac{1}{2}\log_2(3x+1)\).
Obtém-se: \((x-1)^2 < 3x+1 \iff x^2 - 5x < 0 \iff x(x-5) < 0 \iff 0 < x < 5\).
Intersectando com o domínio: \((1,5)\).
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[\log_3(x+1)+\log_3(5-x)\geq 1\]
Resultado
\[[2-\sqrt{6},\ 2+\sqrt{6}]\]
Resolução
Domínio. \(-1 < x < 5\).
Propriedade do produto: \(\log_3[(x+1)(5-x)] \geq 1 \iff (x+1)(5-x) \geq 3\).
\(-x^2 + 4x + 2 \geq 0 \iff x^2 - 4x - 2 \leq 0\).
Raízes: \(2 \pm \sqrt{6}\). A solução encontra-se entre as raízes e está completamente contida no domínio.
Logo \([2-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6}]\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver:
\[\log_2(x^2-4x+3)\leq \log_2(2x+3)\]
Resultado
\[[0,1)\cup(3,6]\]
Resolução
Domínio. \(x^2-4x+3 > 0\) e \(2x+3 > 0\) \(\implies\) \(\left(-\frac{3}{2},1\right)\cup(3,+\infty)\).
Base \(2>1\): \(x^2-4x+3 \leq 2x+3 \iff x^2-6x \leq 0 \iff x(x-6)\leq 0\).
Solução: \(0 \leq x \leq 6\).
Intersectando com o domínio: \([0,1)\cup(3,6]\).