Inequações Logarítmicas: Teoria, Método de Resolução e Exercícios Resolvidos

Uma inequação logarítmica é uma inequação em que a incógnita surge como argumento de pelo menos um logaritmo. A sua resolução exige, para além do domínio do cálculo algébrico, um tratamento rigoroso de dois elementos distintos: as condições de existência, que definem o domínio da inequação, e o sentido da desigualdade, que depende de forma crucial da monotonia da função logarítmica relativamente à sua base. Um erro no sentido — tão frequente quanto grave — produz conjuntos solução incorretos mesmo quando os cálculos algébricos são impecáveis.

Índice

• Revisão da Função Logarítmica e da Monotonia
• Domínio de uma Inequação Logarítmica
• Inequações Logarítmicas Elementares
• Inequações com Somas ou Diferenças de Logaritmos
• Inequações com Comparação de Dois Logaritmos
• Inequações com Logaritmos de Bases Diferentes
• Inequações Resolúveis por Substituição
• Procedimento de Resolução Geral
• Exercícios Resolvidos
• Interpretação Gráfica

A resolução das inequações logarítmicas depende, de forma direta e ineludível, da monotonia da função logarítmica. É, por isso, indispensável recordar com rigor este aspeto antes de prosseguir.

Fixada uma base \( a \in \mathbb{R} \) com \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \), a função logarítmica \[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x \] é estritamente monótona. Mais precisamente:

• é estritamente crescente se \( a > 1 \): para quaisquer \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u < \log_a v; \]
• é estritamente decrescente se \( 0 < a < 1 \): para quaisquer \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u > \log_a v. \]

Esta dicotomia é o fundamento lógico de toda a teoria das inequações logarítmicas. Quando a base é maior do que um, aplicar a função logarítmica a ambos os membros de uma desigualdade conserva o sentido; quando a base está compreendida entre zero e um, inverte-o. Omitir este passo — inverter o sentido quando se passa do argumento para o logaritmo, ou não o inverter quando é necessário — constitui o erro conceptual mais frequente e produz conjuntos solução sistematicamente incorretos.

Recorda-se ainda que o domínio natural do logaritmo é \( (0, +\infty) \): o logaritmo real de um número não positivo não está definido. Esta restrição é a origem de todas as condições de existência nas inequações logarítmicas, e o seu tratamento é desenvolvido na secção seguinte.

O domínio de uma inequação logarítmica é o conjunto dos valores reais da incógnita para os quais toda a expressão presente na inequação está bem definida. Para cada termo \( \log_a f_i(x) \), à medida que \( i \) percorre o conjunto de índices \( I \) que indexa todos os logaritmos presentes na inequação, é necessário impor: \[ f_i(x) > 0. \]

O domínio da inequação é a interseção de todas estas condições: \[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}. \]

Regra fundamental. O conjunto solução da inequação é um subconjunto de \( \mathcal{D} \). Qualquer valor da incógnita que satisfaça formalmente a inequação algébrica obtida após as transformações, mas que não pertença a \( \mathcal{D} \), deve ser rejeitado.

Ao contrário do que sucede nas equações — onde se verifica a pertença de valores individuais a \( \mathcal{D} \) — nas inequações é necessário intersetar o conjunto das soluções algébricas (tipicamente um intervalo ou uma reunião de intervalos) com \( \mathcal{D} \). Essa interseção constitui o conjunto das soluções admissíveis.

É metodologicamente imprescindível determinar \( \mathcal{D} \) antes de qualquer manipulação algébrica, de modo a ter sempre presente o conjunto em que as soluções devem ser procuradas.

Uma inequação logarítmica diz-se elementar se for redutível à forma canónica: \[ \log_a f(x) \;\square\; k, \qquad k \in \mathbb{R}, \] onde \( \square \) denota um dos símbolos \( >, \geq, <, \leq \). O método de resolução consiste em inverter a função logarítmica, tendo em conta a sua monotonia relativamente à base \( a \).

Caso \( a > 1 \) (função crescente). Como \( \log_a \) é estritamente crescente, o sentido da desigualdade conserva-se na inversão:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Uma vez que \( a^k > 0 \), a condição \( f(x) > a^k \) implica automaticamente \( f(x) > 0 \), pelo que as soluções de \( f(x) > a^k \) já pertencem ao domínio.
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Como \( f(x) < a^k \) não implica \( f(x) > 0 \), é necessário intersetar com o domínio, obtendo-se a condição equivalente \( 0 < f(x) < a^k \).

Caso \( 0 < a < 1 \) (função decrescente). Como \( \log_a \) é estritamente decrescente, o sentido da desigualdade inverte-se na inversão:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Como \( f(x) < a^k \) não implica \( f(x) > 0 \), é necessário intersetar com o domínio, obtendo-se \( 0 < f(x) < a^k \).
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Uma vez que \( a^k > 0 \), a condição \( f(x) > a^k \) implica automaticamente \( f(x) > 0 \), pelo que as soluções já pertencem ao domínio.

Note-se a estrutura dual: a condição de domínio é automaticamente satisfeita quando o sentido da desigualdade (após a inversão) é \( f(x) > a^k \), ao passo que requer verificação explícita quando o sentido é \( f(x) < a^k \). Neste último caso, a condição completa é \( 0 < f(x) < a^k \), que exprime a conjunção do domínio com a desigualdade algébrica. O mesmo esquema é válido para \( \geq \) e \( \leq \), com a única diferença de que as desigualdades estritas passam a ser não estritas.

Exemplo 1. Resolver \( \log_3(2x - 1) > 2 \).

Domínio. \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. A base é \( a = 3 > 1 \): a função é crescente, o sentido conserva-se. \[ 2x - 1 > 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x > 10 \quad \Longrightarrow \quad x > 5. \] Como \( 5 > \tfrac{1}{2} \), as soluções \( x > 5 \) já estão contidas em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( (5, +\infty) \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_3(2x - 1) < 2 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Base \( a = 3 > 1 \), função crescente, sentido conservado: \[ 2x - 1 < 9 \quad \Longrightarrow \quad x < 5. \] Como \( 2x - 1 < 9 \) não garante \( 2x - 1 > 0 \), interseta-se com \( \mathcal{D} \): \[ \frac{1}{2} < x < 5. \]

Conjunto solução: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 5\bigr) \).

Exemplo 3. Resolver \( \log_{1/3}(x + 1) > 1 \).

Domínio. \( x + 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, +\infty) \).

Resolução. A base é \( a = \tfrac{1}{3} \), com \( 0 < a < 1 \): a função é decrescente, o sentido inverte-se. \[ x + 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}. \] Como \( x + 1 < \tfrac{1}{3} \) não implica \( x + 1 > 0 \), interseta-se com o domínio: \[ 0 < x + 1 < \frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad -1 < x < -\frac{2}{3}. \]

Conjunto solução: \( \bigl(-1, -\tfrac{2}{3}\bigr) \).

Exemplo 4. Resolver \( \log_{1/2}(x - 3) < -2 \).

Domínio. \( x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Resolução. Base \( a = \tfrac{1}{2} \), com \( 0 < a < 1 \): função decrescente, sentido invertido: \[ x - 3 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad x > 7. \] Como \( x > 7 \) implica \( x - 3 > 0 \), as soluções já pertencem a \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( (7, +\infty) \).

Quando a inequação contém uma soma ou uma diferença de logaritmos com a mesma base, aplicam-se as propriedades do produto e do quociente para a reduzir a um único logaritmo, levando-a à forma elementar. Como já foi referido, as condições de domínio devem ser impostas sobre os argumentos originais, e não sobre o argumento do logaritmo resultante da fusão.

Atenção. A propriedade \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) é válida exclusivamente quando \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) separadamente. O produto \( f(x)g(x) \) pode ser positivo mesmo quando ambos os fatores são negativos; nesse caso o logaritmo do produto estaria definido na inequação transformada, mas os logaritmos dos fatores individuais não o estariam na inequação original. É esta a razão pela qual o domínio deve ser determinado a partir dos argumentos originais.

Exemplo 1. Resolver \( \log_2 x + \log_2(x - 2) > 3 \).

Domínio. \( x > 0 \) e \( x - 2 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Resolução. Aplicando a propriedade do produto: \[ \log_2[x(x-2)] > 3. \] Base \( a = 2 > 1 \): sentido conservado. \[ x(x - 2) > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2x - 8 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) > 0. \] O trinómio é positivo para \( x < -2 \) ou \( x > 4 \). Intersectando com \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \): \[ x > 4. \]

Conjunto solução: \( (4, +\infty) \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_3(x + 5) - \log_3(x - 1) > 1 \).

Domínio. \( x + 5 > 0 \) e \( x - 1 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolução. Aplicando a propriedade do quociente: \[ \log_3\!\left(\frac{x+5}{x-1}\right) > 1. \] Base \( a = 3 > 1 \): sentido conservado. \[ \frac{x + 5}{x - 1} > 3. \] Como estamos no domínio \( x > 1 \), tem-se \( x - 1 > 0 \), pelo que é possível multiplicar ambos os membros por \( x - 1 \) sem inverter o sentido: \[ x + 5 > 3(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad x + 5 > 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 8 > 2x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < 4. \]

Conjunto solução: \( (1, 4) \).

Nota metodológica. No exemplo 2, a multiplicação por \( x - 1 \) é lícita — sem inversão do sentido — precisamente porque se opera dentro do domínio, onde \( x - 1 > 0 \) está garantido. Fora do domínio, tal operação poderia exigir a análise do sinal do denominador, complicando consideravelmente o procedimento. Este é mais um argumento a favor da determinação prévia de \( \mathcal{D} \).

Se a inequação tem a forma: \[ \log_a f(x) \;\square\; \log_a g(x), \] a estrita monotonia da função \( t \mapsto \log_a t \) em \( (0, +\infty) \) permite eliminar o logaritmo, atendendo ao sentido determinado pela base:

• Se \( a > 1 \) (função crescente): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) > g(x) \), desde que ambos os argumentos sejam positivos.
• Se \( 0 < a < 1 \) (função decrescente): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) < g(x) \), sujeito às mesmas condições de domínio.

Em ambos os casos, o método de resolução é o seguinte: determina-se \( \mathcal{D} \) impondo \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \), elimina-se o logaritmo aplicando a correspondência indicada (com ou sem inversão do sentido), resolvem-se as desigualdades algébricas resultantes e, por fim, interseta-se o conjunto obtido com \( \mathcal{D} \).

Observação lógica. Dentro do domínio \( \mathcal{D} \), ambas as condições \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) estão garantidas por hipótese. Portanto, na operação de eliminação do logaritmo, não é necessário impor condições de positividade adicionais: estas já estão incorporadas em \( \mathcal{D} \). A interseção final com \( \mathcal{D} \) é, assim, suficiente para garantir a correção das soluções.

Exemplo 1. Resolver \( \log_2(x + 3) > \log_2(2x - 1) \).

Domínio. \( x + 3 > 0 \) e \( 2x - 1 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Base \( a = 2 > 1 \): sentido conservado. \[ x + 3 > 2x - 1 \quad \Longrightarrow \quad 4 > x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{1}{2} < x < 4. \]

Conjunto solução: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 4\bigr) \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_{1/2}(3 - x) > \log_{1/2}(x + 1) \).

Domínio. \( 3 - x > 0 \) e \( x + 1 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Resolução. Base \( a = \tfrac{1}{2} \), com \( 0 < a < 1 \): função decrescente, sentido invertido. \[ 3 - x < x + 1 \quad \Longrightarrow \quad 2 < 2x \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Conjunto solução: \( (1, 3) \).

Exemplo 3. Resolver \( \log_5(x^2 - 3x) \geq \log_5(x + 7) \).

Domínio. \( x^2 - 3x > 0 \) e \( x + 7 > 0 \). Fatorando: \( x(x - 3) > 0 \) se \( x < 0 \) ou \( x > 3 \). A segunda condição dá \( x > -7 \). Logo \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Resolução. Base \( a = 5 > 1 \): sentido conservado (com \( \geq \)). \[ x^2 - 3x \geq x + 7 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 4x - 7 \geq 0. \] As raízes do trinómio são \( x = 2 \pm \sqrt{11} \). O trinómio é não negativo para \( x \leq 2 - \sqrt{11} \) ou \( x \geq 2 + \sqrt{11} \). Como \( 2 - \sqrt{11} \approx -1{,}32 \) e \( 2 + \sqrt{11} \approx 5{,}32 \), intersectando com \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \): \[ \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr). \]

Conjunto solução: \( \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr) \).

Quando uma inequação contém logaritmos com bases diferentes, não é possível aplicar diretamente o princípio de comparação nem as propriedades operativas. O método padrão consiste em reduzir todos os logaritmos à mesma base através da fórmula da mudança de base: \[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \] onde a base auxiliar \( b \) é escolhida de modo a simplificar os cálculos. As escolhas mais comuns são \( b = 10 \) ou \( b = e \); em muitos casos convém tomar como base comum uma das que já figuram na inequação.

Atenção. Quando se multiplicam ou dividem ambos os membros da desigualdade por uma quantidade, é necessário atender ao sinal dessa quantidade. Em particular, \( \log_b a \) tem sinal determinado: é positivo se \( b \) e \( a \) estão do mesmo lado de 1 (ambos maiores ou ambos menores do que um), e negativo nos restantes casos. Multiplicar por uma quantidade negativa inverte o sentido da desigualdade.

Exemplo 1. Resolver \( \log_2 x > \log_4(x + 2) \).

Domínio. \( x > 0 \) e \( x + 2 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. Converte-se \( \log_4(x+2) \) para a base 2: \[ \log_4(x + 2) = \frac{\log_2(x + 2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 2)}{2}. \] A inequação transforma-se em: \[ \log_2 x > \frac{\log_2(x+2)}{2}. \] Multiplicando ambos os membros por 2 (positivo, sentido conservado): \[ 2\log_2 x > \log_2(x + 2) \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x^2 > \log_2(x + 2). \] A escrita \( 2\log_2 x = \log_2 x^2 \) é lícita porque no domínio \( x > 0 \). Como a base 2 é maior do que um, o sentido conserva-se: \[ x^2 > x + 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x - 2)(x + 1) > 0. \] O trinómio é positivo para \( x < -1 \) ou \( x > 2 \). Intersectando com \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ x > 2. \]

Conjunto solução: \( (2, +\infty) \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x \leq 3 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. Converte-se \( \log_4 x \) para a base 2: \[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}. \] Fazendo \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad t \leq 2. \] Voltando à variável original: \( \log_2 x \leq 2 \Rightarrow x \leq 4 \). Intersectando com \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ 0 < x \leq 4. \]

Conjunto solução: \( (0, 4] \).

Uma classe importante de inequações logarítmicas é aquela em que o logaritmo surge como argumento de uma expressão polinomial. A forma típica é: \[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) \;\square\; 0, \] onde \( P \) é um polinómio. O método consiste em fazer \( t = \log_a f(x) \), resolver a inequação algébrica \( P(t) \;\square\; 0 \) em \( t \), determinando o conjunto de valores admissíveis para \( t \), e, para cada intervalo resultante, resolver por fim a inequação elementar correspondente \( \log_a f(x) \;\square\; t_k \).

Atenção. A substituição \( t = \log_a f(x) \) transfere a inequação para a variável auxiliar \( t \). Após a resolução da inequação em \( t \), cada intervalo obtido deve ser traduzido numa condição correspondente sobre \( x \). Assim, um intervalo \( t \in [t_1, t_2] \) converte-se na conjunção das duas inequações elementares \( \log_a f(x) \geq t_1 \) e \( \log_a f(x) \leq t_2 \). Quando a solução em \( t \) é uma reunião de intervalos, cada intervalo deve ser tratado separadamente e os conjuntos solução obtidos devem ser reunidos.

Exemplo 1. Resolver \( (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 \geq 0 \).

Domínio. \( x > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_3 x \). A inequação torna-se: \[ t^2 - t - 2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad (t - 2)(t + 1) \geq 0. \] O trinómio é não negativo para \( t \leq -1 \) ou \( t \geq 2 \).

Regresso à variável original.

• \( \log_3 x \leq -1 \): base \( 3 > 1 \), função crescente, sentido conservado: \( x \leq 3^{-1} = \tfrac{1}{3} \). Intersectando com \( \mathcal{D} \): \( 0 < x \leq \tfrac{1}{3} \).
• \( \log_3 x \geq 2 \): \( x \geq 3^2 = 9 \). Já em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( \bigl(0, \tfrac{1}{3}\bigr] \cup [9, +\infty) \).

Exemplo 2. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 4 < 0 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 4 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t+2) < 0 \quad \Longrightarrow \quad -2 < t < 2. \]

Regresso à variável original. A condição \( -2 < \log_2 x < 2 \) decompõe-se em: \[ \log_2 x > -2 \;\Rightarrow\; x > 2^{-2} = \tfrac{1}{4}, \qquad \log_2 x < 2 \;\Rightarrow\; x < 4. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ \frac{1}{4} < x < 4. \]

Conjunto solução: \( \bigl(\tfrac{1}{4}, 4\bigr) \).

Exemplo 3. Resolver \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 < 0 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_5 x \): \[ 2t^2 + 3t - 2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \] As raízes são \( t_1 = -2 \) e \( t_2 = \tfrac{1}{2} \). O trinómio é negativo para \( -2 < t < \tfrac{1}{2} \).

Regresso à variável original. \[ -2 < \log_5 x < \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 5^{-2} < x < 5^{1/2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{25} < x < \sqrt{5}. \] Já em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( \Bigl(\dfrac{1}{25}, \sqrt{5}\Bigr) \).

O seguinte esquema constitui um protocolo completo e rigoroso aplicável a qualquer tipo de inequação logarítmica tratada neste trabalho.

1. Determinação do domínio. Para cada logaritmo \( \log_a f_i(x) \) presente na inequação, impor \( f_i(x) > 0 \). Calcular \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Redução à mesma base (se necessário). Se estiverem presentes logaritmos com bases diferentes, aplicar a fórmula da mudança de base para os uniformizar, tendo em conta o sinal de \( \log_b a \) nas operações subsequentes sobre a desigualdade.
3. Simplificação mediante propriedades dos logaritmos. Aplicar as propriedades do produto, do quociente e da potência — válidas apenas para argumentos positivos — para reduzir a inequação a uma das formas canónicas: \( \log_a f(x) \,\square\, k \), ou \( \log_a f(x) \,\square\, \log_a g(x) \), ou \( P(\log_a f(x)) \,\square\, 0 \).
4. Eliminação do logaritmo. Aplicar a correspondência monótona: se \( a > 1 \), o sentido conserva-se; se \( 0 < a < 1 \), o sentido inverte-se. Para as formas polinomiais, aplicar a substituição \( t = \log_a f(x) \) e resolver a inequação algébrica em \( t \).
5. Resolução da inequação algébrica resultante. Determinar o conjunto das soluções algébricas (tipicamente um intervalo ou uma reunião de intervalos).
6. Interseção com o domínio. O conjunto solução da inequação logarítmica é a interseção entre as soluções algébricas e \( \mathcal{D} \). Verificar que a condição de positividade dos argumentos é respeitada; descartar as partes externas a \( \mathcal{D} \).
7. Escrita do conjunto solução.

Exercício 1. Resolver \( \log_2(x + 3) \geq 4 \).

Domínio. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Resolução. Base \( 2 > 1 \): sentido conservado. \( x + 3 \geq 2^4 = 16 \Rightarrow x \geq 13 \). Já em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( [13, +\infty) \).

Exercício 2. Resolver \( \log_3 x + \log_3(x - 1) < 1 \).

Domínio. \( x > 0 \) e \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolução. \[ \log_3[x(x-1)] < 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) < 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 < 0. \] As raízes são \( x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \). O trinómio é negativo para \( \dfrac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \). Intersectando com \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}. \]

Conjunto solução: \( \Bigl(1,\, \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}\Bigr) \).

Exercício 3. Resolver \( \log_5(x + 1) \geq \log_5(2x - 3) \).

Domínio. \( x + 1 > 0 \) e \( 2x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Base \( 5 > 1 \): sentido conservado. \[ x + 1 \geq 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 \geq x \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{3}{2} < x \leq 4. \]

Conjunto solução: \( \bigl(\tfrac{3}{2},\, 4\bigr] \).

Exercício 4. Resolver \( \log_2(x - 1) + \log_2(x - 5) < 3 \).

Domínio. \( x - 1 > 0 \) e \( x - 5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Resolução. \[ \log_2[(x-1)(x-5)] < 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) < 8. \] \[ x^2 - 6x + 5 < 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 6x - 3 < 0. \] As raízes são \( x = 3 \pm 2\sqrt{3} \). O trinómio é negativo para \( 3 - 2\sqrt{3} < x < 3 + 2\sqrt{3} \). Como \( 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 \), intersectando com \( \mathcal{D} = (5, +\infty) \): \[ 5 < x < 3 + 2\sqrt{3}. \]

Conjunto solução: \( \bigl(5,\, 3 + 2\sqrt{3}\bigr) \).

Exercício 5. Resolver \( \log_{1/2}(x + 1) < \log_{1/2}(3 - x) \).

Domínio. \( x + 1 > 0 \) e \( 3 - x > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Resolução. Base \( \tfrac{1}{2} \), com \( 0 < a < 1 \): função decrescente, sentido invertido. \[ x + 1 > 3 - x \quad \Longrightarrow \quad 2x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersectando com \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Conjunto solução: \( (1, 3) \).

Exercício 6. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 < 0 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 5t + 6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 2 < t < 3. \]

Regresso à variável original. \[ 2 < \log_2 x < 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 < x < 8. \] Já em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( (4, 8) \).

Exercício 7. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x > 3 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Seja \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad t > 2 \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 4. \] Já em \( \mathcal{D} \).

Conjunto solução: \( (4, +\infty) \).

A interpretação gráfica das inequações logarítmicas fornece uma visão qualitativa do conjunto solução, complementando o tratamento analítico.

Resolver a inequação \( \log_a f(x) > k \) equivale geometricamente a determinar os valores da incógnita para os quais o gráfico de \( y = \log_a f(x) \) se encontra acima da reta horizontal \( y = k \). Se \( a > 1 \), a função é crescente e o gráfico ultrapassa o limiar \( y = k \) para argumentos suficientemente grandes; se \( 0 < a < 1 \), a função é decrescente e ultrapassa esse limiar para argumentos suficientemente pequenos (e positivos). A distinção gráfica entre os dois casos torna visualmente evidente o mecanismo de inversão do sentido.

Resolver \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) equivale a encontrar os valores da incógnita para os quais o gráfico de \( y = \log_a f(x) \) se encontra acima do gráfico de \( y = \log_a g(x) \). O sentido da comparação depende da monotonia: se \( a > 1 \), o gráfico de \( \log_a f(x) \) é mais elevado do que o de \( \log_a g(x) \) exatamente quando \( f(x) > g(x) \); se \( 0 < a < 1 \), esse mesmo gráfico é mais elevado exatamente quando \( f(x) < g(x) \), dado que a função logarítmica ordena inversamente os seus argumentos.

Nas inequações resolvidas por substituição, o conjunto solução em \( t \) corresponde a uma faixa horizontal no plano \( (x, t) \) ao longo da curva \( t = \log_a f(x) \); o regresso à variável \( x \) consiste em determinar a pré-imagem dessa faixa através da função \( x \mapsto \log_a f(x) \), tendo em conta as condições de domínio e a forma concreta da função envolvida.

A interpretação gráfica torna também evidente o papel do domínio: os ramos do gráfico existem apenas para \( x \in \mathcal{D} \), e qualquer porção de reta ou de curva exterior a \( \mathcal{D} \) está simplesmente ausente no plano cartesiano. Os valores excluídos não correspondem a nenhum ponto do gráfico e não podem, portanto, constituir soluções da inequação logarítmica original.