Infinitos e Infinitésimos: Definições, Comparação e Equivalência

Significado de infinito e infinitésimo

Os conceitos de infinito e infinitésimo descrevem o comportamento de uma função em relação a um determinado processo de passagem ao limite, por exemplo quando \(x\to x_0\) ou quando \(x\to \pm\infty\).

Dizer que uma função é infinita significa que os seus valores tendem para \(+\infty\) ou para \(-\infty\). O símbolo \(\infty\), portanto, não representa um número real, mas exprime um comportamento ilimitado.

Dizer, por outro lado, que uma função é infinitesimal significa que os seus valores tendem para zero. Também neste caso não se descreve o valor assumido pela função num único ponto, mas sim o seu comportamento ao longo do processo de passagem ao limite considerado.

Uma mesma função pode ser infinita em relação a um processo de passagem ao limite e infinitesimal em relação a outro. Por este motivo, toda afirmação deve especificar o processo de passagem ao limite a que se refere.

Funções infinitas

Seja \(f\) uma função definida numa vizinhança de \(x_0\), possivelmente com exceção do próprio ponto \(x_0\). Diz-se que \(f\) é infinita quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

ou

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

No primeiro caso, os valores de \(f(x)\) tornam-se maiores do que qualquer número real prefixado; no segundo, tornam-se menores do que qualquer número real prefixado.

Por exemplo, a função

\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]

é infinita quando \(x\to 0\), uma vez que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Analogamente, uma função pode ser infinita quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\). Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]

A expressão «função infinita» tem, portanto, sentido apenas em relação a um processo de passagem ao limite específico.

Funções infinitesimais

Seja \(f\) uma função definida numa vizinhança de \(x_0\), possivelmente com exceção do próprio ponto \(x_0\). Diz-se que \(f\) é infinitesimal quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

Isto significa que os valores de \(f(x)\) podem tornar-se arbitrariamente pequenos em valor absoluto, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\).

Por exemplo, a função

\[ f(x)=x^2 \]

é infinitesimal quando \(x\to 0\), uma vez que

\[ \lim_{x\to 0}x^2=0. \]

Uma função pode ser infinitesimal também quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\). Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]

pelo que a função \(\displaystyle\frac{1}{x}\) é infinitesimal quando \(x\to+\infty\).

Também neste caso, a expressão «função infinitesimal» deve sempre referir-se a um processo de passagem ao limite específico.

Comparação entre infinitos

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções infinitas em relação ao mesmo processo de passagem ao limite. Para comparar a rapidez com que crescem em valor absoluto, considera-se o limite do seu quociente:

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

então \(f\) é um infinito de ordem inferior em relação a \(g\): o valor absoluto de \(g(x)\) cresce mais rapidamente do que o de \(f(x)\).

Se, pelo contrário,

\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]

então \(f\) é um infinito de ordem superior em relação a \(g\).

Por fim, se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]

as duas funções são infinitos da mesma ordem.

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0. \]

Logo, \(x\) é um infinito de ordem inferior em relação a \(x^2\).

Se nenhum dos três casos anteriores se verificar, as duas funções não são comparáveis através desta classificação.

Comparação entre infinitésimos

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções infinitesimais em relação ao mesmo processo de passagem ao limite, com \(g(x)\neq 0\) eventualmente. Também neste caso, a comparação é feita estudando o limite do quociente

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

então \(f\) é um infinitésimo de ordem superior em relação a \(g\): a função \(f\) tende para zero mais rapidamente do que \(g\).

Se, pelo contrário,

\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]

então \(f\) é um infinitésimo de ordem inferior em relação a \(g\).

Por fim, se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]

as duas funções são infinitésimos da mesma ordem.

Por exemplo, quando \(x\to 0\),

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x =0. \]

Logo, \(x^2\) é um infinitésimo de ordem superior em relação a \(x\).

Se nenhum dos três casos anteriores se verificar, as duas funções não são comparáveis através desta classificação.

Ordem de infinito e ordem de infinitésimo

A comparação por meio do quociente permite precisar ainda mais a rapidez com que uma função tende para zero, ou para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).

Sejam \(f\) e \(g\) dois infinitésimos em relação ao mesmo processo de passagem ao limite, com \(g(x)>0\) eventualmente. Diz-se que \(f\) é um infinitésimo de ordem \(\alpha>0\) em relação a \(g\) se

\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]

Por exemplo, quando \(x\to 0^+\), a função \(x^3\) é um infinitésimo de ordem \(3\) em relação a \(x\), uma vez que

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1. \]

Analogamente, sejam \(f\) e \(g\) dois infinitos em relação ao mesmo processo de passagem ao limite, com \(g(x)>0\) eventualmente. Diz-se que \(f\) é um infinito de ordem \(\alpha>0\) em relação a \(g\) se

\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\), a função \(x^4\) é um infinito de ordem \(4\) em relação a \(x\), porque

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{x^4}=1. \]

A ordem não é, portanto, uma propriedade absoluta da função, mas depende da função escolhida como termo de comparação.

Infinitos e infinitésimos equivalentes

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções, ambas infinitas ou ambas infinitesimais, em relação ao mesmo processo de passagem ao limite, com \(g(x)\neq 0\) eventualmente. As duas funções dizem-se assintoticamente equivalentes se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

Neste caso escreve-se

\[ f(x)\sim g(x). \]

A equivalência assintótica significa que, no processo de passagem ao limite considerado, o quociente entre as duas funções tende para \(1\): ambas apresentam, portanto, o mesmo comportamento principal.

Por exemplo, quando \(x\to 0\),

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \]

pelo que

\[ \sin x\sim x. \]

Analogamente, quando \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right) =1, \]

donde

\[ x^2+x\sim x^2. \]

Dois infinitos ou infinitésimos equivalentes são da mesma ordem. A recíproca, contudo, não é necessariamente verdadeira: se o quociente tender para uma constante finita e não nula diferente de \(1\), as funções têm a mesma ordem, mas não são equivalentes.

Uso dos equivalentes no cálculo de limites

As equivalências assintóticas permitem substituir uma função por outra mais simples que apresente o mesmo comportamento principal no processo de passagem ao limite considerado.

Se

\[ f(x)\sim g(x), \]

então, para o cálculo do limite, é possível substituir \(f(x)\) por \(g(x)\) quando aparece como fator em um produto ou em um quociente, desde que as expressões resultantes estejam eventualmente bem definidas.

Por exemplo, uma vez que

\[ \sin x\sim x \qquad\text{quando }x\to 0, \]

tem-se

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Analogamente, usando

\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} \qquad\text{quando }x\to 0, \]

obtemos

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}. \]

A substituição por meio de equivalentes não pode, contudo, ser aplicada automaticamente em somas e diferenças, porque pode ocorrer um cancelamento dos termos principais.

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),

\[ x+1\sim x, \]

mas substituir \(x+1\) por \(x\) na diferença

\[ (x+1)-x \]

conduziria erradamente a \(0\), quando a expressão é identicamente igual a \(1\).

Os equivalentes devem, portanto, ser usados tendo em conta a estrutura da expressão: são particularmente eficazes em produtos e quocientes, ao passo que em somas e diferenças é preciso identificar previamente o termo dominante, ou transformar convenientemente a expressão.

Relação entre infinitos e infinitésimos

Infinitos e infinitésimos estão relacionados pela passagem aos recíprocos. Se \(f\) é infinita, então \(f(x)\neq 0\) eventualmente e

\[ \lim\frac{1}{f(x)}=0. \]

Reciprocamente, se \(f\) é infinitesimal e \(f(x)\neq 0\) eventualmente, então

\[ \lim\left|\frac{1}{f(x)}\right|=+\infty. \]

Se \(f(x)>0\) eventualmente, o seu recíproco tende para \(+\infty\); se, pelo contrário, \(f(x)<0\) eventualmente, o seu recíproco tende para \(-\infty\). Se \(f\) não for eventualmente de sinal constante, o seu recíproco não tende nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\), embora o seu valor absoluto tenda para \(+\infty\).

Por exemplo, quando \(x\to 0\),

\[ x^2\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^2}\to+\infty. \]

Em contrapartida, quando \(x\to 0^+\),

\[ x\to 0^+ \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\to+\infty, \]

enquanto quando \(x\to 0^-\),

\[ x\to 0^- \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\to-\infty. \]

Principais equivalências assintóticas

No cálculo de limites utilizam-se com frequência algumas equivalências assintóticas fundamentais. Com os ângulos expressos em radianos, quando \(x\to 0\) são válidas as seguintes equivalências:

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad \arcsin x\sim x, \qquad \arctan x\sim x; \]

\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}; \]

\[ e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x; \]

\[ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x, \qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\neq 0. \]

Estas equivalências derivam de limites notáveis e permitem substituir, quando surgem como fatores em produtos ou quocientes, infinitésimos mais complexos por expressões mais simples.

Por exemplo, uma vez que

\[ e^x-1\sim x \qquad\text{e}\qquad \sin x\sim x \qquad\text{quando }x\to 0, \]

obtém-se

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} =1. \]

Hierarquias fundamentais entre infinitos e infinitésimos

Quando \(x\to+\infty\), as principais famílias de funções apresentam velocidades de crescimento distintas. Em particular, para todo \(\alpha>0\) e para todo \(a>1\), tem-se

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0. \]

Isto significa que toda potência positiva de \(x\) cresce mais rapidamente do que o logaritmo, enquanto toda função exponencial de base maior do que \(1\) cresce mais rapidamente do que qualquer potência positiva de \(x\).

Para exprimir esta hierarquia de forma rigorosa, fixado o processo de passagem ao limite considerado e supondo \(g(x)\neq 0\) eventualmente, a notação

\[ f(x)=o(g(x)) \]

significa que

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]

Logo, quando \(x\to+\infty\),

\[ \ln(x)=o(x^\alpha) \qquad\text{e}\qquad x^\alpha=o(a^x). \]

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{10}}{2^x}=0. \]

Passando aos recíprocos, obtém-se a hierarquia correspondente entre infinitésimos:

\[ \frac{1}{a^x}=o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^\alpha}=o\left(\frac{1}{\ln(x)}\right) \qquad\text{quando }x\to+\infty. \]

Em cada relação, a função situada à esquerda tende para zero mais rapidamente e é, portanto, um infinitésimo de ordem superior em relação à situada à direita.

Conclusões

Os conceitos de infinito e infinitésimo permitem descrever e comparar os principais comportamentos assintóticos das funções. Uma função infinita tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), enquanto uma função infinitesimal tende para zero; em ambos os casos, o comportamento deve sempre ser referido a um processo de passagem ao limite específico.

O estudo do quociente entre duas funções permite comparar o seu comportamento: consoante o limite obtido, é possível estabelecer qual das duas prevalece, se têm a mesma ordem ou se são assintoticamente equivalentes. As equivalências são particularmente úteis no cálculo de limites, desde que sejam aplicadas corretamente e sem substituições arbitrárias em somas e diferenças.

Infinitos e infinitésimos constituem, portanto, uma linguagem essencial para reconhecer os termos dominantes de uma expressão e simplificar de forma rigorosa o estudo dos limites.