Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre o teorema do limite de uma sucessão monótona. Os exercícios mostram como estudar a monotonia de uma sucessão, como reconhecer se é limitada e como deduzir a existência do limite recorrendo ao teorema do limite de uma sucessão monótona.
Em particular, usaremos o seguinte resultado: uma sucessão crescente tende para o seu supremo, podendo este ser igual a \(+\infty\), enquanto uma sucessão decrescente tende para o seu ínfimo, podendo este ser igual a \(-\infty\).
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Estudar a monotonia da sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
e deduzir o seu limite recorrendo ao teorema do limite de uma sucessão monótona.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Para estudar a monotonia, comparamos dois termos consecutivos:
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1>n\) e os denominadores são positivos, tem-se
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Logo,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é, pois, estritamente decrescente e, em particular, decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\), tem-se
\[ \frac1n>0. \]
Logo, \(0\) é um minorante da sucessão. A sucessão é decrescente e limitada inferiormente.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, ela converge para o seu ínfimo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
O ínfimo é \(0\): com efeito, todos os termos são positivos, mas tornam-se arbitrariamente pequenos.
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Estudar a monotonia da sucessão
\[ a_n=1-\frac{1}{n} \]
e deduzir o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=1-\frac1n. \]
Calculamos o termo seguinte:
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
mudando o sinal, obtemos
\[ -\frac{1}{n+1}>-\frac1n. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac1n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
A sucessão é estritamente crescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 1-\frac1n<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante da sucessão.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, uma sucessão crescente e limitada superiormente converge para o seu supremo.
Neste caso,
\[ \sup\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Com efeito, os termos são sempre menores que \(1\), mas aproximam-se de \(1\) tanto quanto se queira.
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=n. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, não limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=n. \]
O termo seguinte é
\[ a_{n+1}=n+1. \]
Para todo \(n\geq1\), tem-se
\[ n+1>n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
A sucessão é estritamente crescente.
Não é limitada superiormente. Com efeito, dado um número real qualquer \(M\), podemos escolher um inteiro \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Então
\[ a_n=n>M. \]
Portanto, a sucessão cresce indefinidamente.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, uma sucessão crescente e não limitada superiormente diverge para \(+\infty\).
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=-n. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, não limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=-n. \]
O termo seguinte é
\[ a_{n+1}=-(n+1)=-n-1. \]
Como
\[ -n-1<-n, \]
tem-se
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é estritamente decrescente.
Não é limitada inferiormente. Com efeito, dado \(M>0\), podemos escolher \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ -n<-M. \]
Logo, os termos da sucessão tornam-se menores que qualquer limiar negativo.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, uma sucessão decrescente e não limitada inferiormente diverge para \(-\infty\).
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral:
\[ a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Como a sucessão
\[ \frac{1}{n+1} \]
é decrescente, a sucessão
\[ 1-\frac{1}{n+1} \]
é crescente.
Verifiquemo-lo diretamente. Tem-se
\[ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}. \]
Calculamos a diferença:
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}. \]
Reduzindo ao mesmo denominador:
\[ a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1. \]
Logo,
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Portanto, \(a_{n+1}>a_n\), ou seja, a sucessão é estritamente crescente.
Além disso,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \]
para todo \(n\geq1\), de modo que \(1\) é um majorante.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, a sucessão converge para o seu supremo.
Como os termos se aproximam de \(1\) por valores inferiores, tem-se
\[ \sup\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n+1}{n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Como \(\displaystyle \frac1n\) é decrescente, a expressão
\[ 1+\frac1n \]
também é decrescente.
Verifiquemo-lo com os termos consecutivos:
\[ a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
somando \(1\) a ambos os membros, obtemos
\[ 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac1n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é estritamente decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1n>1. \]
Logo, \(1\) é um minorante.
Uma sucessão decrescente e limitada inferiormente converge para o seu ínfimo.
Neste caso,
\[ \inf\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=2-\frac{3}{n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=2-\frac3n. \]
O termo seguinte é
\[ a_{n+1}=2-\frac{3}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{3}{n+1}<\frac3n, \]
mudando o sinal, obtém-se
\[ -\frac{3}{n+1}>-\frac3n. \]
Somando \(2\):
\[ 2-\frac{3}{n+1}>2-\frac3n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
A sucessão é estritamente crescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 2-\frac3n<2. \]
Logo, \(2\) é um majorante.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, a sucessão converge para o seu supremo.
Como \(\displaystyle \frac3n\to0\), os termos aproximam-se de \(2\) por valores inferiores. Por conseguinte,
\[ \sup\left\{2-\frac3n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=2. \]
Concluímos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=5+\frac{2}{n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=5+\frac2n. \]
O termo seguinte é
\[ a_{n+1}=5+\frac{2}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{2}{n+1}<\frac2n, \]
somando \(5\) a ambos os membros, obtemos
\[ 5+\frac{2}{n+1}<5+\frac2n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é estritamente decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 5+\frac2n>5. \]
Logo, \(5\) é um minorante.
Uma sucessão decrescente e limitada inferiormente converge para o seu ínfimo.
Como \(\displaystyle \frac2n\to0\), os termos aproximam-se de \(5\) por valores superiores. Assim,
\[ \inf\left\{5+\frac2n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=5. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}. \]
Portanto,
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}. \]
Como \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) é decrescente, o termo
\[ -\frac{1}{n+1} \]
é crescente. Logo, \(a_n\) é crescente.
Verifiquemos também com o termo seguinte:
\[ a_{n+1}=2-\frac{1}{n+2}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}, \]
tem-se
\[ -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}. \]
Somando \(2\):
\[ 2-\frac{1}{n+2}>2-\frac{1}{n+1}. \]
Por conseguinte,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
A sucessão é estritamente crescente.
Além disso,
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}<2, \]
de modo que \(2\) é um majorante.
A sucessão é crescente e limitada superiormente, portanto converge para o seu supremo.
Como \(\displaystyle \frac1{n+1}\to0\), o supremo é \(2\). Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}=3+\frac4n. \]
Como \(\displaystyle \frac4n\) é decrescente, a expressão
\[ 3+\frac4n \]
também é decrescente.
Com efeito,
\[ a_{n+1}=3+\frac{4}{n+1}. \]
Uma vez que
\[ \frac{4}{n+1}<\frac4n, \]
tem-se
\[ 3+\frac{4}{n+1}<3+\frac4n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é estritamente decrescente.
Além disso,
\[ 3+\frac4n>3 \]
para todo \(n\geq1\), de modo que \(3\) é um minorante.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, a sucessão converge para o seu ínfimo.
Como \(\displaystyle \frac4n\to0\), os termos aproximam-se de \(3\) por valores superiores. Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}=1-\frac{1}{n^2+1}. \]
Como \(n^2+1\) cresce à medida que \(n\) cresce, a quantidade
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
diminui.
Por conseguinte,
\[ 1-\frac{1}{n^2+1} \]
cresce.
Portanto, a sucessão é crescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante.
A sucessão é crescente e limitada superiormente, portanto converge.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, o seu limite é o supremo do conjunto dos seus valores.
Como
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obtemos
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+1}\to1. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac1{n^2}. \]
A sucessão \(\displaystyle \frac1{n^2}\) é decrescente, porque \(n^2\) cresce à medida que \(n\) cresce.
Logo, a expressão
\[ 1+\frac1{n^2} \]
também é decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1{n^2}>1. \]
Assim, \(1\) é um minorante.
A sucessão é decrescente e limitada inferiormente, portanto converge para o seu ínfimo.
Como
\[ \frac1{n^2}\to0, \]
tem-se
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}=1-\frac{1}{2^n+1}. \]
Como \(2^n\) cresce à medida que \(n\) cresce, também \(2^n+1\) cresce. Logo,
\[ \frac{1}{2^n+1} \]
decresce.
Por conseguinte,
\[ 1-\frac{1}{2^n+1} \]
cresce.
A sucessão é, portanto, crescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ \frac{2^n}{2^n+1}<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante.
A sucessão é crescente e limitada superiormente; por isso converge para o seu supremo.
Como
\[ \frac{1}{2^n+1}\to0, \]
segue-se que
\[ a_n=1-\frac{1}{2^n+1}\to1. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral:
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}=1+\frac{1}{3^n}. \]
Como \(3^n\) cresce à medida que \(n\) cresce, a sucessão
\[ \frac{1}{3^n} \]
é decrescente.
Logo,
\[ a_n=1+\frac{1}{3^n} \]
é decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac{1}{3^n}>1. \]
Logo, \(1\) é um minorante.
A sucessão é decrescente e limitada inferiormente, portanto converge para o seu ínfimo.
Como
\[ \frac1{3^n}\to0, \]
segue-se que
\[ 1+\frac1{3^n}\to1. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Resolução
Reescrevemos a sucessão:
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1-\frac{1}{n^2+n+1}. \]
O denominador
\[ n^2+n+1 \]
cresce à medida que \(n\) cresce. Com efeito, passando de \(n\) para \(n+1\), obtemos
\[ (n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3, \]
que é maior que
\[ n^2+n+1. \]
Logo,
\[ \frac{1}{n^2+n+1} \]
é decrescente.
Por conseguinte,
\[ 1-\frac{1}{n^2+n+1} \]
é crescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante.
A sucessão é crescente e limitada superiormente, portanto converge.
Como
\[ \frac{1}{n^2+n+1}\to0, \]
tem-se
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+n+1}\to1. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Resolução
Reescrevemos:
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1} = \frac{n^2+1+1}{n^2+1} = 1+\frac{1}{n^2+1}. \]
Como \(n^2+1\) cresce à medida que \(n\) cresce, a quantidade
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
decresce.
Logo,
\[ a_n=1+\frac{1}{n^2+1} \]
é decrescente.
Além disso, para todo \(n\geq1\),
\[ a_n>1. \]
Logo, \(1\) é um minorante.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, a sucessão converge para o seu ínfimo.
Como
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obtemos
\[ a_n\to1. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=\sqrt{n}. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é crescente, não limitada superiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=\sqrt n. \]
Como \(n+1>n\) e a raiz quadrada preserva a ordem nos números não negativos, tem-se
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
A sucessão é estritamente crescente.
Mostremos agora que não é limitada superiormente. Dado \(M>0\), queremos encontrar \(n\) tal que
\[ \sqrt n>M. \]
Esta desigualdade equivale a
\[ n>M^2. \]
É sempre possível escolher um número natural \(n\) maior que \(M^2\). Logo, a sucessão não é limitada superiormente.
Sendo crescente e não limitada superiormente, pelo teorema do limite de uma sucessão monótona ela diverge para \(+\infty\).
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Estudar a sucessão
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Determinar se é monótona e se é limitada, e calcular o seu limite.
Resultado
A sucessão é decrescente, não limitada inferiormente e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Como
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n, \]
multiplicando por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ -\sqrt{n+1}<-\sqrt n. \]
Logo,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
A sucessão é estritamente decrescente.
Não é limitada inferiormente. Com efeito, dado \(M>0\), queremos encontrar \(n\) tal que
\[ -\sqrt n<-M. \]
Multiplicando por \(-1\), o sentido inverte-se:
\[ \sqrt n>M. \]
Esta desigualdade verifica-se quando
\[ n>M^2. \]
Logo, os termos tornam-se menores que qualquer limiar negativo.
Sendo decrescente e não limitada inferiormente, a sucessão diverge para \(-\infty\).
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Seja \((a_n)\) uma sucessão crescente tal que
\[ a_n<4 \]
para todo \(n\geq1\). Determinar se a sucessão tem limite e indicar o que se pode afirmar sobre o seu valor.
Resultado
A sucessão é convergente. O seu limite \(L\) existe e é igual a
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Além disso, \(L\leq4\).
Resolução
A sucessão \((a_n)\) é crescente por hipótese. Além disso, para todo \(n\geq1\), verifica-se
\[ a_n<4. \]
Logo, \(4\) é um majorante do conjunto dos valores da sucessão:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
A sucessão é, portanto, crescente e limitada superiormente.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, uma sucessão crescente e limitada superiormente converge para o seu supremo.
Por conseguinte, existe o limite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Além disso,
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Como \(4\) é um majorante, o supremo não pode ser maior que \(4\). Logo,
\[ L\leq4. \]
Contudo, não podemos concluir necessariamente que \(L=4\). Por exemplo, uma sucessão crescente e sempre menor que \(4\) poderia convergir para \(4\), mas poderia também convergir para um número menor.
Assim, a informação segura é:
\[ \text{a sucessão converge e o seu limite satisfaz } L\leq4. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Seja \((a_n)\) uma sucessão decrescente tal que
\[ a_n>-2 \]
para todo \(n\geq1\). Determinar se a sucessão tem limite e indicar o que se pode afirmar sobre o seu valor.
Resultado
A sucessão é convergente. O seu limite \(L\) existe e é igual a
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Além disso, \(L\geq -2\).
Resolução
A sucessão \((a_n)\) é decrescente por hipótese. Além disso, para todo \(n\geq1\), verifica-se
\[ a_n>-2. \]
Logo, \(-2\) é um minorante do conjunto dos valores da sucessão:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
A sucessão é, portanto, decrescente e limitada inferiormente.
Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, uma sucessão decrescente e limitada inferiormente converge para o seu ínfimo.
Por conseguinte, existe o limite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Além disso,
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Como \(-2\) é um minorante, o ínfimo não pode ser menor que \(-2\). Logo,
\[ L\geq -2. \]
Contudo, não podemos concluir necessariamente que \(L=-2\). A sucessão poderia tender para \(-2\), mas poderia também tender para um número maior.
Assim, a informação segura é:
\[ \text{a sucessão converge e o seu limite satisfaz } L\geq -2. \]