O teorema do limite de uma sucessão monótona é um dos resultados fundamentais sobre limites de sucessões. Afirma que toda sucessão monótona tem limite, finito ou infinito.
Mais precisamente, uma sucessão crescente tende para o seu supremo, possivelmente igual a \(+\infty\), ao passo que uma sucessão decrescente tende para o seu ínfimo, possivelmente igual a \(-\infty\). Em particular, toda sucessão monótona e limitada é convergente.
Este resultado é de grande importância, pois permite provar a existência do limite de uma sucessão sem ter de o calcular explicitamente. Basta verificar a monotonia e, quando se pretende um limite finito, também o facto de a sucessão ser limitada.
Índice
- Revisão das sucessões monótonas
- Teorema do limite de uma sucessão monótona
- Caso de uma sucessão crescente
- Caso de uma sucessão decrescente
- Sucessões monótonas e limitadas
- Exemplos
Revisão das sucessões monótonas
Admitimos que as sucessões estão indexadas pelos números naturais positivos, isto é, \(n\in\mathbb{N}\) com \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\).
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se crescente se
\[ a_n\leq a_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por outras palavras, cada termo é menor ou igual ao termo seguinte.
Em contrapartida, uma sucessão real \((a_n)\) diz-se decrescente se
\[ a_n\geq a_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Neste caso, cada termo é maior ou igual ao termo seguinte.
Em ambos os casos, usamos a monotonia em sentido fraco: uma sucessão crescente pode ter termos consecutivos iguais, e o mesmo se aplica a uma sucessão decrescente.
Com esta terminologia, uma sucessão crescente também se diz não decrescente, ao passo que uma sucessão decrescente também se diz não crescente. Quando as desigualdades são estritas, fala-se então de sucessões estritamente crescentes ou estritamente decrescentes.
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou decrescente.
Assim, a monotonia descreve o comportamento ordenado dos termos da sucessão. Por si só, contudo, não indica se o limite é finito ou infinito. Por exemplo, uma sucessão crescente pode convergir para um número real ou divergir para \(+\infty\).
Teorema do limite de uma sucessão monótona
Seja \((a_n)\) uma sucessão real monótona.
Se \((a_n)\) for crescente, então
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
onde o supremo é entendido em sentido estendido e pode ser um número real ou \(+\infty\).
Se \((a_n)\) for decrescente, então
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
onde o ínfimo é entendido em sentido estendido e pode ser um número real ou \(-\infty\).
De forma abreviada:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \begin{cases} \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{se } (a_n) \text{ é crescente},\\[4pt] \inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{se } (a_n) \text{ é decrescente}. \end{cases} \]
Isto significa que uma sucessão monótona não pode deixar de ter limite: o seu limite existe sempre, possivelmente como limite infinito.
Como o limite de uma sucessão, quando existe, é único, este valor determina por completo o comportamento limite da sucessão monótona.
Por exemplo, a sucessão \(a_n=(-1)^n\) não tem limite, mas não é monótona. A monotonia é, portanto, uma condição forte: impede a oscilação persistente entre valores distintos.
Caso de uma sucessão crescente
Suponhamos que \((a_n)\) é uma sucessão crescente. Distinguimos dois casos: a sucessão pode ser limitada superiormente ou não.
Sucessão crescente e limitada superiormente
Suponhamos que \((a_n)\) é crescente e limitada superiormente. Então o conjunto dos seus valores
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
é não vazio e limitado superiormente. Pela propriedade de completude dos números reais, existe o seu supremo. Ponhamos
\[ S=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Por definição de supremo, \(S\) é um majorante do conjunto \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Logo
\[ a_n\leq S \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Além disso, ainda pela definição de supremo, para todo \(\varepsilon>0\) o número \(S-\varepsilon\) não é majorante do conjunto. Por conseguinte, existe um índice \(k\in\mathbb{N}\) tal que
\[ S-\varepsilon<a_k. \]
Como a sucessão é crescente, para todo \(n\geq k\) tem-se
\[ a_k\leq a_n. \]
Portanto, para todo \(n\geq k\),
\[ S-\varepsilon<a_k\leq a_n\leq S. \]
Desta cadeia de desigualdades resulta que
\[ 0\leq S-a_n<\varepsilon. \]
Por conseguinte
\[ |a_n-S|<\varepsilon \]
para todo \(n\geq k\). Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Assim, uma sucessão crescente e limitada superiormente converge para o seu supremo.
Sucessão crescente não limitada superiormente
Suponhamos agora que \((a_n)\) é crescente e não limitada superiormente. Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Como a sucessão não é limitada superiormente, para todo \(M>0\) existe um índice \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_\nu>M. \]
Como \((a_n)\) é crescente, para todo \(n\geq \nu\) tem-se
\[ a_n\geq a_\nu>M. \]
Logo, para todo \(M>0\), existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq\nu\),
\[ a_n>M. \]
Pela definição de divergência para \(+\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Assim, uma sucessão crescente não limitada superiormente diverge para \(+\infty\).
Caso de uma sucessão decrescente
Suponhamos que \((a_n)\) é uma sucessão decrescente. Também neste caso distinguimos duas possibilidades: a sucessão pode ser limitada inferiormente ou não.
Sucessão decrescente e limitada inferiormente
Suponhamos que \((a_n)\) é decrescente e limitada inferiormente. Então o conjunto dos seus valores
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
é não vazio e limitado inferiormente. Pela propriedade de completude dos números reais, existe o seu ínfimo. Ponhamos
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Por definição de ínfimo, \(L\) é um minorante do conjunto \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Logo
\[ L\leq a_n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Além disso, pela definição de ínfimo, para todo \(\varepsilon>0\) o número \(L+\varepsilon\) não é minorante do conjunto. Por conseguinte, existe um índice \(k\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_k<L+\varepsilon. \]
Como a sucessão é decrescente, para todo \(n\geq k\) tem-se
\[ a_n\leq a_k. \]
Portanto, para todo \(n\geq k\),
\[ L\leq a_n\leq a_k<L+\varepsilon. \]
Desta cadeia de desigualdades resulta que
\[ 0\leq a_n-L<\varepsilon. \]
Por conseguinte
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
para todo \(n\geq k\). Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Assim, uma sucessão decrescente e limitada inferiormente converge para o seu ínfimo.
Sucessão decrescente não limitada inferiormente
Suponhamos agora que \((a_n)\) é decrescente e não limitada inferiormente. Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Como a sucessão não é limitada inferiormente, para todo \(M>0\) existe um índice \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_\nu<-M. \]
Como \((a_n)\) é decrescente, para todo \(n\geq \nu\) tem-se
\[ a_n\leq a_\nu<-M. \]
Logo, para todo \(M>0\), existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq\nu\),
\[ a_n<-M. \]
Pela definição de divergência para \(-\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Assim, uma sucessão decrescente não limitada inferiormente diverge para \(-\infty\).
Sucessões monótonas e limitadas
Do teorema anterior decorre um critério de uso muito frequente.
Se uma sucessão for crescente e limitada superiormente, então converge, e o seu limite é o seu supremo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Se uma sucessão for decrescente e limitada inferiormente, então converge, e o seu limite é o seu ínfimo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Em particular, toda sucessão real monótona e limitada é convergente.
Este critério é frequentemente designado por teorema da convergência monótona para sucessões. É útil porque estabelece a existência de um limite sem que seja necessário conhecer de antemão o seu valor explícito.
Exemplos
Exemplo 1. Consideremos a sucessão
\[ a_n=1-\frac{1}{n}. \]
Esta sucessão é crescente, pois
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \]
e, uma vez que
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \]
tem-se
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n}. \]
Logo
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Além disso, para todo \(n\in\mathbb{N}\),
\[ a_n<1. \]
A sucessão é, pois, crescente e limitada superiormente. Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, converge para o seu supremo.
Neste caso
\[ \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}=1. \]
Com efeito,
\[ 1-\frac{1}{n}<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), pelo que \(1\) é um majorante. Além disso, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ 1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}. \]
Esta desigualdade equivale a
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon, \]
que se verifica para \(n\) suficientemente grande. Portanto, \(1\) é o menor dos majorantes.
Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \]
Exemplo 2. Consideremos a sucessão
\[ b_n=\frac{1}{n}. \]
Esta sucessão é decrescente, pois
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, é limitada inferiormente, pois
\[ b_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Assim, \((b_n)\) é decrescente e limitada inferiormente. Pelo teorema do limite de uma sucessão monótona, converge para o seu ínfimo.
Neste caso
\[ \inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\}=0. \]
Com efeito, \(0\) é um minorante da sucessão, pois
\[ \frac{1}{n}>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon. \]
Portanto, os termos da sucessão aproximam-se arbitrariamente de \(0\) pela direita. Por conseguinte, \(0\) é o maior dos minorantes.
Assim,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Exemplo 3. Consideremos a sucessão
\[ c_n=n. \]
Esta sucessão é crescente, mas não é limitada superiormente. Com efeito, para todo \(M>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M. \]
Logo, pelo teorema do limite de uma sucessão monótona,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exemplo 4. Consideremos a sucessão
\[ d_n=-n. \]
Esta sucessão é decrescente e não é limitada inferiormente. Com efeito, para todo \(M>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ -n<-M. \]
Logo, pelo teorema do limite de uma sucessão monótona,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Estes exemplos mostram que a monotonia garante sempre a existência do limite, mas não que o limite seja finito. Para obter a convergência para um número real, é também necessária a limitação adequada: superiormente para as sucessões crescentes, inferiormente para as decrescentes.
O teorema depende de modo essencial da completude dos números reais. Com efeito, em \(\mathbb{Q}\) uma sucessão monótona e limitada pode não convergir para um número racional. Por exemplo, a sucessão das aproximações decimais finitas de \(\sqrt{2}\),
\[ 1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ 1{,}4142;\ \ldots \]
é crescente e limitada em \(\mathbb{Q}\), mas não converge em \(\mathbb{Q}\), pois o seu limite em \(\mathbb{R}\) é \(\sqrt{2}\), que é irracional.