Esta coletânea propõe 20 exercícios resolvidos sobre os limites à direita e à esquerda, dispostos por ordem crescente de dificuldade. Os primeiros exercícios incidem sobre o cálculo dos limites à direita e à esquerda mais imediatos; a seguir são abordadas as definições formais, as funções definidas por ramos, os limites infinitos à direita e à esquerda, o papel do domínio e a continuidade à direita e à esquerda.
Em cada resolução indica-se explicitamente de que lado \(x\) se aproxima do ponto, que expressão da função deve ser utilizada e por que razão o limite obtido conduz, ou não conduz, à existência do limite bilateral.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Calcule o seguinte limite à direita:
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Resolução
A notação \(x\to 2^+\) indica que \(x\) se aproxima de \(2\) tomando apenas valores maiores do que \(2\).
A função
\[ f(x)=3x-1 \]
é afim e não apresenta qualquer irregularidade no ponto \(x=2\). Podemos, portanto, calcular o limite substituindo diretamente \(x=2\):
\[ 3\cdot 2-1=6-1=5. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
A aproximação pela direita não altera o resultado, uma vez que a mesma expressão \(3x-1\) está definida e tem comportamento regular tanto à direita como à esquerda de \(2\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Calcule o seguinte limite à esquerda:
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Resolução
A notação \(x\to -1^-\) significa que \(x\) se aproxima de \(-1\) através de valores menores do que \(-1\).
A função
\[ f(x)=x^2+2x \]
é polinomial e pode ser avaliada diretamente no ponto \(x=-1\). Obtemos:
\[ (-1)^2+2(-1)=1-2=-1. \]
Consequentemente,
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Também neste caso o lado pelo qual se efetua a aproximação não altera o valor do limite, uma vez que a mesma expressão define a função em toda uma vizinhança de \(-1\).
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
Demonstre, a partir da definição \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Resultado
A definição fica satisfeita com a escolha
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Resolução
Devemos provar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe um \(\delta>0\) tal que
\[ 2<x<2+\delta \implies |(3x-1)-5|<\varepsilon. \]
Partimos da expressão que se pretende tornar menor do que \(\varepsilon\):
\[ |(3x-1)-5|. \]
Simplificando no interior do valor absoluto, obtemos
\[ |3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|. \]
Pretendemos, portanto, que
\[ 3|x-2|<\varepsilon. \]
Basta impor
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Escolhemos, então,
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Se \(2<x<2+\delta\), então
\[ 0<x-2<\delta, \]
e, por conseguinte,
\[ |x-2|<\delta. \]
Daqui resulta que
\[ |(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta =3\cdot\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
Fica assim satisfeita a definição de limite à direita, pelo que podemos concluir que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Demonstre, a partir da definição \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Resultado
A definição fica satisfeita com a escolha
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Resolução
Devemos provar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe um \(\delta>0\) tal que
\[ 1-\delta<x<1 \implies |x^2-1|<\varepsilon. \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|. \]
O fator \(|x-1|\) pode ser controlado diretamente através de \(\delta\). Falta encontrar um majorante simples para \(|x+1|\).
Imponhamos, em primeiro lugar, \(\delta\le 1\). Da condição
\[ 1-\delta<x<1 \]
resulta então
\[ 0<x<1. \]
Logo
\[ 1<x+1<2, \]
e, em particular,
\[ |x+1|<2. \]
Consequentemente,
\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<2|x-1|. \]
Para tornar esta última quantidade menor do que \(\varepsilon\), basta exigir
\[ |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Podemos, então, escolher
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Se \(1-\delta<x<1\), então \(|x-1|<\delta\), pelo que
\[ |x^2-1| <2|x-1| <2\delta \le\varepsilon. \]
Fica assim verificada a definição de limite à esquerda:
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Determine o limite à direita da função
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
no ponto \(x_0=0\). Averigue ainda se o limite à esquerda faz sentido.
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
O limite à esquerda em \(0\) não faz sentido no domínio real da função.
Resolução
A função
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
está definida, no conjunto dos números reais, apenas quando
\[ x\ge 0. \]
O seu domínio é, portanto,
\[ D=[0,+\infty). \]
Existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(0\) e maiores do que \(0\). O limite à direita faz, portanto, sentido.
Quando \(x\) se aproxima de \(0\) pela direita, também \(\sqrt{x}\) se aproxima de \(0\). Assim,
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Não existem, porém, pontos do domínio menores do que \(0\) e arbitrariamente próximos de \(0\). Por esta razão, o limite à esquerda
\[ \lim_{x\to 0^-}\sqrt{x} \]
não faz sentido como limite real da função dada.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determine o limite à esquerda da função
\[ f(x)=\sqrt{4-x} \]
no ponto \(x_0=4\). Averigue ainda se o limite à direita faz sentido.
Resultado
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
O limite à direita em \(4\) não faz sentido no domínio real da função.
Resolução
Para que a raiz quadrada esteja definida, o radicando deve ser não negativo:
\[ 4-x\ge 0. \]
Resolvendo esta inequação, obtemos
\[ x\le 4. \]
O domínio da função é, portanto,
\[ D=(-\infty,4]. \]
Existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(4\) e menores do que \(4\). Podemos, pois, calcular o limite à esquerda.
Quando \(x\to 4^-\), a quantidade \(4-x\) é positiva e tende para \(0\). Consequentemente,
\[ \sqrt{4-x}\to 0. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
Não existem, porém, pontos do domínio maiores do que \(4\). O limite à direita em \(4\) não faz, por isso, sentido relativamente ao domínio da função.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Calcule os dois limites laterais e averigue se existe o limite bilateral:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} =2. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Resolução
Substituindo diretamente \(x=1\), obtemos
\[ \frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}, \]
que é uma indeterminação. É, pois, necessário transformar a expressão.
O numerador é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Para todo \(x\neq 1\), podemos simplificar o fator \(x-1\):
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
No cálculo de um limite quando \(x\to 1\), consideram-se valores de \(x\) próximos de \(1\), mas distintos de \(1\). A simplificação é, por isso, válida tanto à esquerda como à direita do ponto.
Para o limite à esquerda:
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) =2. \]
Para o limite à direita:
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}(x+1) =2. \]
Ambos os limites laterais existem e coincidem. Consequentemente,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Considere a função
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3x, & x>1. \end{cases} \]
Calcule os limites laterais em \(x_0=1\), averigue se existe o limite quando \(x\to 1\) e verifique se a função é contínua em \(1\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=3. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
A função não é contínua em \(1\), porque \(f(1)=5\neq 3\).
Resolução
A função é definida por expressões diferentes à esquerda de \(1\), no próprio ponto \(1\) e à direita de \(1\).
Para calcular o limite à esquerda devemos usar o ramo válido para \(x<1\):
\[ f(x)=x+2. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}(x+2) = 1+2 = 3. \]
Para calcular o limite à direita devemos usar, pelo contrário, o ramo válido para \(x>1\):
\[ f(x)=3x. \]
Obtemos, então,
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}3x = 3. \]
Ambos os limites laterais existem e são iguais. Existe, portanto, o limite bilateral:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Para verificar a continuidade devemos comparar o limite com o valor da função no ponto. Da definição por ramos resulta
\[ f(1)=5. \]
Uma vez que
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3\neq 5=f(1), \]
a função não é contínua em \(1\).
Este exemplo mostra que o limite pode existir mesmo quando o valor atribuído à função no ponto é diferente dele.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Considere a função
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\ge 0. \end{cases} \]
Calcule os limites laterais em \(0\), averigue se existe o limite quando \(x\to 0\) e determine se a função é contínua à direita ou à esquerda.
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
O limite quando \(x\to 0\) não existe. A função é contínua à direita, mas não à esquerda.
Resolução
Para o limite à esquerda devemos usar o ramo válido quando \(x<0\):
\[ f(x)=2x+1. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(2x+1) = 1. \]
Para o limite à direita devemos usar o ramo válido quando \(x\ge 0\). No cálculo do limite à direita consideram-se valores \(x>0\), pelo que a expressão a utilizar é
\[ f(x)=x^2+2. \]
Daqui resulta que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Os dois limites laterais são diferentes:
\[ 1\neq 2. \]
Consequentemente, o limite quando \(x\to 0\) não existe.
Calculemos agora o valor da função no ponto. Uma vez que o segundo ramo inclui \(x=0\),
\[ f(0)=0^2+2=2. \]
O limite à direita coincide com o valor da função:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
A função é, portanto, contínua à direita em \(0\).
O limite à esquerda vale, porém, \(1\), pelo que
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)\neq f(0). \]
A função não é contínua à esquerda.
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Calcule os limites laterais da função
\[ f(x)=\frac{x}{|x|} \]
no ponto \(x_0=0\) e averigue se existe o limite quando \(x\to 0\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
O limite quando \(x\to 0\) não existe.
Resolução
O comportamento do valor absoluto depende do sinal de \(x\).
Quando \(x<0\), tem-se
\[ |x|=-x. \]
Assim, para \(x<0\),
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1. \]
Consequentemente,
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Quando, pelo contrário, \(x>0\), tem-se
\[ |x|=x. \]
Assim,
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1. \]
Daqui resulta que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Uma vez que
\[ -1\neq 1, \]
os dois limites laterais não coincidem. O limite quando \(x\to 0\) não existe.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Calcule os limites laterais da função
\[ f(x)=\frac{1}{x-3} \]
no ponto \(x_0=3\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
O limite quando \(x\to 3\) não existe.
Resolução
Quando \(x\to 3\), o denominador \(x-3\) tende para \(0\). Para determinar o comportamento do quociente é indispensável estudar o sinal do denominador de cada lado.
Se \(x\to 3^-\), então \(x<3\). Consequentemente,
\[ x-3<0. \]
O denominador é negativo e o seu valor absoluto torna-se cada vez menor. O inverso assume, por isso, valores negativos cujo valor absoluto cresce indefinidamente:
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty. \]
Se, pelo contrário, \(x\to 3^+\), então \(x>3\), pelo que
\[ x-3>0. \]
O denominador é positivo e tende para \(0\). O inverso assume, por isso, valores positivos arbitrariamente grandes:
\[ \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Os dois limites laterais descrevem comportamentos opostos. Por conseguinte, o limite quando \(x\to 3\) não existe.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Calcule os limites laterais da função
\[ f(x)=-\frac{2}{x+1} \]
no ponto \(x_0=-1\).
Resultado
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Resolução
O numerador é constante e igual a \(-2\). O sinal da função depende, portanto, do sinal do denominador \(x+1\).
Quando \(x\to -1^-\), tem-se \(x<-1\), logo
\[ x+1<0. \]
O numerador e o denominador são ambos negativos, pelo que o quociente é positivo. Além disso, o denominador tende para \(0\) através de valores negativos, pelo que o valor do quociente cresce sem limite:
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty. \]
Quando, pelo contrário, \(x\to -1^+\), tem-se \(x>-1\), pelo que
\[ x+1>0. \]
O numerador é negativo e o denominador positivo; o quociente é, pois, negativo. Como o denominador tende para \(0\), o valor absoluto do quociente cresce sem limite:
\[ \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Também neste caso os dois comportamentos laterais são incompatíveis, pelo que o limite não existe.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Calcule os limites laterais e o limite bilateral:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2} = \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2} =+\infty. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Resolução
Quando \(x\to 2\), a diferença \(x-2\) tende para \(0\).
O denominador é, no entanto, o quadrado dessa diferença:
\[ (x-2)^2. \]
Para todo \(x\neq 2\), o quadrado é estritamente positivo:
\[ (x-2)^2>0. \]
Se \(x\to 2^-\), a quantidade \(x-2\) é negativa, mas o seu quadrado é positivo e tende para \(0\). Consequentemente,
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Se \(x\to 2^+\), a quantidade \(x-2\) é positiva e o seu quadrado tende novamente para \(0\) através de valores positivos. Assim,
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Os dois limites laterais coincidem e são ambos iguais a \(+\infty\). Podemos, pois, escrever
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Demonstre, a partir da definição \(M\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Resultado
A definição fica satisfeita com a escolha
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Resolução
Para demonstrar que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]
devemos verificar que, para todo \(M>0\), existe um \(\delta>0\) tal que
\[ 0<x<\delta \implies \frac{1}{x}>M. \]
Partimos da desigualdade que pretendemos obter:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Uma vez que \(x>0\) e \(M>0\), podemos multiplicar ambos os membros por \(x\) sem alterar o sentido da desigualdade:
\[ 1>Mx. \]
Dividindo por \(M>0\), obtemos
\[ x<\frac{1}{M}. \]
É, pois, natural escolher
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Se
\[ 0<x<\delta=\frac{1}{M}, \]
então, passando aos inversos de quantidades positivas, o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Fica assim verificada a definição de limite infinito à direita. Portanto,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Dada a função
\[ f(x)=\sqrt{2-x}, \]
averigue quais limites laterais fazem sentido no ponto \(x_0=2\) e calcule os que existem.
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
O limite à direita em \(2\) não faz sentido no domínio real da função.
Resolução
Para determinar o domínio impomos que o radicando seja não negativo:
\[ 2-x\ge 0. \]
Resolvendo, obtemos
\[ x\le 2. \]
O domínio é, pois,
\[ D=(-\infty,2]. \]
Existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(2\) e menores do que \(2\). O limite à esquerda faz, portanto, sentido.
Quando \(x\to 2^-\), a diferença \(2-x\) é positiva e tende para \(0\). Assim,
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
Não existem, porém, pontos do domínio maiores do que \(2\). Em particular, não é possível encontrar valores \(x\in D\) tais que
\[ 2<x<2+\delta. \]
O limite à direita em \(2\) não faz, por isso, sentido relativamente ao domínio da função.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ f:[0,4]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. \]
Verifique que \(f\) é contínua à direita em \(0\) e contínua à esquerda em \(4\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0, \qquad \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4)=16. \]
Resolução
O domínio da função é o intervalo fechado \([0,4]\).
No ponto \(0\) existem pontos do domínio arbitrariamente próximos apenas pela direita. A condição natural de continuidade relativamente ao domínio é, portanto, a continuidade à direita.
Calculemos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}x^2 = 0. \]
O valor da função no ponto é
\[ f(0)=0^2=0. \]
Uma vez que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0), \]
a função é contínua à direita em \(0\).
No ponto \(4\), pelo contrário, existem pontos do domínio arbitrariamente próximos apenas pela esquerda. Calculemos:
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x) = \lim_{x\to 4^-}x^2 = 16. \]
Além disso,
\[ f(4)=4^2=16. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4), \]
e a função é contínua à esquerda em \(4\).
Exercício 17 — nível ★★★☆☆
Considere a função
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
Averigue se a função é contínua à direita ou à esquerda no ponto \(x_0=0\).
Resultado
A função é contínua à direita em \(0\), mas não é contínua à esquerda.
Resolução
O valor da função no ponto é atribuído diretamente:
\[ f(0)=2. \]
Para calcular o limite à esquerda devemos usar o ramo válido para \(x<0\):
\[ f(x)=1. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Uma vez que
\[ 1\neq 2=f(0), \]
a função não é contínua à esquerda em \(0\).
Para o limite à direita devemos usar, pelo contrário, o ramo válido para \(x>0\):
\[ f(x)=x+2. \]
Calculemos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+2) = 2. \]
O limite à direita coincide com o valor da função:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
A função é, portanto, contínua à direita em \(0\).
Uma vez que o limite à esquerda e o limite à direita são diferentes, a função não é contínua em \(0\).
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Determine o valor do parâmetro real \(a\) para o qual existe o limite quando \(x\to 2\) da função
\[ f_a(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ x^2-a, & x>2. \end{cases} \]
Calcule também o valor do limite.
Resultado
O limite existe se e só se
\[ a=1. \]
Para \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Resolução
Para que exista o limite quando \(x\to 2\), o limite à esquerda e o limite à direita devem existir e coincidir.
Para \(x<2\), a função é definida por
\[ f_a(x)=ax+1. \]
O limite à esquerda é, portanto,
\[ \lim_{x\to 2^-}f_a(x) = \lim_{x\to 2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Para \(x>2\), a função é definida por
\[ f_a(x)=x^2-a. \]
O limite à direita vale
\[ \lim_{x\to 2^+}f_a(x) = \lim_{x\to 2^+}(x^2-a) = 4-a. \]
Para que os dois limites coincidam, deve ter-se
\[ 2a+1=4-a. \]
Resolvamos a equação:
\[ 2a+a=4-1, \]
logo
\[ 3a=3 \]
e, finalmente,
\[ a=1. \]
Substituindo \(a=1\) em qualquer um dos dois limites laterais, obtemos
\[ 2a+1=2\cdot 1+1=3. \]
Também o limite à direita vale
\[ 4-a=4-1=3. \]
Assim, para \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
A função não está definida no ponto \(x=2\), mas isso não impede a existência do limite, uma vez que este depende do comportamento da função nos pontos próximos de \(2\) e não do valor assumido no próprio ponto.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Determine todos os valores dos parâmetros reais \(a\) e \(b\) para os quais a função
\[ f_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+3, & x>1 \end{cases} \]
é contínua no ponto \(x_0=1\).
Resultado
A função é contínua em \(1\) se e só se
\[ a+b=5. \]
De modo equivalente,
\[ b=5-a. \]
Resolução
Para que a função seja contínua em \(1\), devem verificar-se ambas as condições
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1). \]
O valor da função no ponto é
\[ f_{a,b}(1)=5. \]
À esquerda de \(1\), a função é definida por
\[ f_{a,b}(x)=ax+b. \]
Assim,
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x) = a\cdot 1+b = a+b. \]
Para a continuidade à esquerda deve, portanto, ter-se
\[ a+b=5. \]
À direita de \(1\), a função é definida por
\[ f_{a,b}(x)=2x+3. \]
O limite à direita vale
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x) = 2\cdot 1+3 = 5. \]
O limite à direita coincide automaticamente com o valor da função no ponto:
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=5=f_{a,b}(1). \]
A única condição a impor aos parâmetros é, portanto,
\[ a+b=5. \]
Não existe um único par de parâmetros, mas uma infinidade deles. Escolhido arbitrariamente \(a\in\mathbb{R}\), deve ter-se
\[ b=5-a. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Considere a função
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+2, & 0<x<2,\\ 7, & x=2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases} \]
Estude completamente os limites laterais e a continuidade à direita e à esquerda nos pontos \(x_0=0\) e \(x_0=2\).
Resultado
No ponto \(x_0=0\):
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
O limite quando \(x\to 0\) não existe. A função é contínua à direita, mas não à esquerda.
No ponto \(x_0=2\):
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=3. \]
O limite quando \(x\to 2\) não existe. A função não é contínua nem à esquerda nem à direita.
Resolução
Comecemos pelo estudo do ponto \(x_0=0\).
Para \(x<0\), a função é definida por
\[ f(x)=x+1. \]
O limite à esquerda vale, portanto,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 1. \]
Para \(0<x<2\), a função é, pelo contrário, definida por
\[ f(x)=x^2+2. \]
Esta é a expressão a utilizar para o limite à direita em \(0\):
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Os dois limites laterais são diferentes:
\[ 1\neq 2. \]
Consequentemente, o limite quando \(x\to 0\) não existe.
O valor da função no ponto é
\[ f(0)=2. \]
Comparando o valor da função com os limites laterais, observamos que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
A função é, portanto, contínua à direita em \(0\).
Pelo contrário,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1\neq 2=f(0), \]
pelo que a função não é contínua à esquerda em \(0\).
Passemos agora ao estudo do ponto \(x_0=2\).
Para os valores \(x<2\) suficientemente próximos de \(2\), tem-se \(0<x<2\), pelo que a função é definida por
\[ f(x)=x^2+2. \]
O limite à esquerda é, por conseguinte,
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^-}(x^2+2) = 4+2 = 6. \]
Para \(x>2\), a função é definida por
\[ f(x)=5-x. \]
O limite à direita vale, portanto,
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+}(5-x) = 5-2 = 3. \]
Também neste ponto os dois limites laterais são diferentes:
\[ 6\neq 3. \]
O limite quando \(x\to 2\) não existe.
O valor da função no ponto é
\[ f(2)=7. \]
Para a continuidade à esquerda seria necessário que
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2). \]
No entanto,
\[ 6\neq 7. \]
A função não é, portanto, contínua à esquerda em \(2\).
Para a continuidade à direita seria, por sua vez, necessário que
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2). \]
Mas
\[ 3\neq 7. \]
A função também não é contínua à direita em \(2\).
O estudo completo mostra, assim, que a função é contínua apenas à direita no ponto \(0\), ao passo que no ponto \(2\) não é contínua por nenhum dos dois lados.