No estudo dos limites de uma função nem sempre basta observar o que acontece quando \(x\) se aproxima de um ponto \(x_0\) sem distinguir a direção da aproximação. Com efeito, em muitos casos o comportamento da função pode ser diferente consoante \(x\) tenda para \(x_0\) por valores maiores ou por valores menores.
Por esta razão introduzem-se o limite à direita e o limite à esquerda. O limite à direita descreve o comportamento de uma função quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) permanecendo maior do que \(x_0\); o limite à esquerda descreve, por sua vez, o comportamento da função quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) permanecendo menor do que \(x_0\).
Estes dois conceitos são fundamentais no estudo das funções definidas por partes, dos pontos de descontinuidade e dos limites nos extremos de um intervalo. Além disso, permitem estabelecer com precisão quando existe o limite quando \(x\to x_0\), considerado sem restrições laterais: isso ocorre exatamente quando o limite à direita e o limite à esquerda existem e coincidem.
Índice
- Ideia intuitiva de limite à direita e limite à esquerda
- Aproximar-se de um ponto pela direita e pela esquerda
- Definição de limite à direita
- Definição de limite à esquerda
- Relação com o limite sem restrições laterais
- Limite à direita e limite à esquerda distintos
- Limites laterais infinitos
- Exemplos com funções definidas por partes
- Continuidade à direita e continuidade à esquerda
- Erros comuns a evitar
Ideia intuitiva de limite à direita e limite à esquerda
Quando estudamos o limite de uma função quando \(x\to x_0\), observamos o comportamento dos valores \(f(x)\) à medida que \(x\) se aproxima do ponto \(x_0\). Contudo, a aproximação a \(x_0\) pode ocorrer de duas maneiras distintas: por valores maiores do que \(x_0\), ou por valores menores do que \(x_0\).
Se \(x\) se aproxima de \(x_0\) permanecendo maior do que \(x_0\), dizemos que \(x\) tende para \(x_0\) pela direita e escrevemos
\[ x\to x_0^+. \]
Se, pelo contrário, \(x\) se aproxima de \(x_0\) permanecendo menor do que \(x_0\), dizemos que \(x\) tende para \(x_0\) pela esquerda e escrevemos
\[ x\to x_0^-. \]
O limite à direita descreve, portanto, o comportamento da função quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) por valores \(x>x_0\). O limite à esquerda descreve, por sua vez, o comportamento da função quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) por valores \(x<x_0\).
Esta distinção é importante porque uma função pode comportar-se de maneira diferente à direita e à esquerda de um mesmo ponto. Em particular, pode acontecer que os valores de \(f(x)\) se aproximem de um determinado número de um dos lados e de um número diferente do outro lado.
O valor que a função assume no ponto \(x_0\), quando existe, não é o que determina o limite. Mesmo no caso dos limites à direita e à esquerda, o que importa é o comportamento de \(f(x)\) para valores de \(x\) próximos de \(x_0\), mas distintos de \(x_0\).
Aproximar-se de um ponto pela direita e pela esquerda
Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real, com domínio \(D\subseteq\mathbb{R}\). Para falar do comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de um ponto \(x_0\), não é necessário que \(x_0\) pertença ao domínio da função.
O que importa é que existam valores do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\). No caso do limite à direita, esses valores devem situar-se à direita de \(x_0\); no caso do limite à esquerda, devem situar-se à esquerda de \(x_0\).
Dizer que \(x\) se aproxima de \(x_0\) pela direita significa considerar valores de \(x\) pertencentes ao domínio da função e tais que
\[ x_0<x<x_0+\delta \]
para valores positivos de \(\delta\) cada vez menores. Em símbolos, escreve-se
\[ x\to x_0^+. \]
Dizer que \(x\) se aproxima de \(x_0\) pela esquerda significa, por sua vez, considerar valores de \(x\) pertencentes ao domínio da função e tais que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Neste caso escreve-se
\[ x\to x_0^-. \]
Assim, quando se estuda um limite à direita ou à esquerda, não se observam necessariamente todos os valores de \(x\) próximos de \(x_0\), mas apenas aqueles que pertencem ao domínio da função e que se encontram do lado considerado.
Por exemplo, se uma função está definida num intervalo do tipo \([a,b]\), no ponto \(a\) pode estudar-se o limite à direita, porque existem pontos do domínio à direita de \(a\), mas não se pode estudar um limite à esquerda dentro desse domínio. De modo análogo, no ponto \(b\) pode estudar-se o limite à esquerda, mas não o limite à direita.
Mais precisamente, o limite à direita em \(x_0\) faz sentido quando existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\) e maiores do que \(x_0\). O limite à esquerda em \(x_0\) faz sentido quando existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\) e menores do que \(x_0\).
Definição de limite à direita
Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real, com \(D\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\) um ponto tal que existam pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\) e maiores do que \(x_0\).
Dizer que \(x_0\) tem pontos do domínio arbitrariamente próximos pela direita significa que, para todo \(\delta>0\), existe pelo menos um ponto \(x\in D\) tal que
\[ x_0<x<x_0+\delta. \]
Nestas condições, dizemos que a função \(f\) tem limite à direita igual a \(L\) quando \(x\to x_0\), e escrevemos
\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L, \]
se para todo \(\varepsilon>0\) existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Por outras palavras, os valores \(f(x)\) podem tornar-se arbitrariamente próximos de \(L\), desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\), pertença ao domínio da função e se encontre à direita de \(x_0\).
A condição \(x_0<x\) é essencial: no limite à direita não se observa o comportamento da função para valores de \(x\) menores do que \(x_0\). Além disso, tal como acontece com o limite quando \(x\to x_0\), não é relevante o valor da função em \(x_0\), mesmo no caso em que \(x_0\in D\).
O limite à direita depende apenas do comportamento da função em pontos do domínio que se encontram à direita de \(x_0\) e que se aproximam indefinidamente de \(x_0\).
Definição de limite à esquerda
Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real, com \(D\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\) um ponto tal que existam pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\) e menores do que \(x_0\).
Dizer que \(x_0\) tem pontos do domínio arbitrariamente próximos pela esquerda significa que, para todo \(\delta>0\), existe pelo menos um ponto \(x\in D\) tal que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Nestas condições, dizemos que a função \(f\) tem limite à esquerda igual a \(L\) quando \(x\to x_0\), e escrevemos
\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L, \]
se para todo \(\varepsilon>0\) existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Por outras palavras, os valores \(f(x)\) podem tornar-se arbitrariamente próximos de \(L\), desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\), pertença ao domínio da função e se encontre à esquerda de \(x_0\).
A condição \(x<x_0\) é essencial: no limite à esquerda não se considera o comportamento da função para valores de \(x\) maiores do que \(x_0\). Também neste caso, o valor eventualmente assumido pela função no ponto \(x_0\) não influencia o limite.
O limite à esquerda depende apenas do comportamento da função em pontos do domínio que se encontram à esquerda de \(x_0\) e que se aproximam indefinidamente de \(x_0\).
Relação com o limite sem restrições laterais
O limite quando \(x\to x_0\), considerado sem restrições laterais, exige que a função se aproxime do mesmo valor, qualquer que seja o modo como \(x\) tende para \(x_0\) dentro do domínio.
Em particular, se o domínio da função tem pontos arbitrariamente próximos de \(x_0\) tanto pela esquerda como pela direita, então o limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
existe e é igual a \(L\) se e somente se existirem ambos os limites
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]
e forem ambos iguais a \(L\). Em símbolos:
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \ \text{e}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]
Esta equivalência mostra que o limite quando \(x\to x_0\), sem restrições laterais, é mais exigente do que os dois limites laterais tomados separadamente. Com efeito, não basta que a função tenha um comportamento regular apenas de um lado: é necessário que o comportamento seja o mesmo de ambos os lados.
Se, pelo contrário, os dois limites existirem mas forem diferentes, então o limite quando \(x\to x_0\), sem restrições laterais, não existe. Com efeito, a função aproxima-se de dois valores diferentes consoante a direção a partir da qual \(x\) tende para \(x_0\).
Nos extremos de um intervalo, a situação é diferente. Por exemplo, se uma função está definida em \([a,b]\), no ponto \(a\) estuda-se naturalmente o limite à direita, ao passo que no ponto \(b\) se estuda naturalmente o limite à esquerda. Nestes casos não se exige verificação de ambos os lados, porque o próprio domínio só está presente de um dos lados.
Limite à direita e limite à esquerda distintos
Pode acontecer que uma função tenha um comportamento bem determinado tanto à esquerda como à direita de um ponto \(x_0\), mas que os dois comportamentos conduzam a valores diferentes.
Suponhamos, por exemplo, que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
com \(L_1\neq L_2\). Neste caso o limite quando \(x\to x_0\), considerado sem restrições laterais, não existe.
Com efeito, ao aproximar-se de \(x_0\) pela esquerda, os valores da função aproximam-se de \(L_1\); ao aproximar-se, pelo contrário, pela direita, aproximam-se de \(L_2\). Se \(L_1\) e \(L_2\) forem diferentes, não existe um único valor para o qual a função tenda quando \(x\) se aproxima de \(x_0\).
Este facto ocorre com frequência nas funções definidas por partes. Consideremos, por exemplo, a função
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x>0. \end{cases} \]
Quando \(x\to 0^-\), os valores da função são iguais a \(1\), logo
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Quando, pelo contrário, \(x\to 0^+\), os valores da função são iguais a \(2\), logo
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Uma vez que os dois limites são diferentes, o limite quando \(x\to 0\), sem restrições laterais, não existe:
\[ \lim_{x\to 0}f(x) \quad\text{não existe.} \]
O ponto essencial é que a existência separada do limite à esquerda e do limite à direita não é suficiente. Para que exista o limite quando \(x\to x_0\), é necessário que os dois valores coincidam.
Limites laterais infinitos
O limite à direita e o limite à esquerda não têm necessariamente de ser números reais finitos. Pode acontecer que, ao aproximar-se de um ponto \(x_0\) apenas de um lado, os valores da função cresçam sem limite ou diminuam sem limite.
Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real, com \(D\subseteq\mathbb{R}\), e suponhamos que o limite à direita em \(x_0\) faz sentido. Escrever
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
significa que para todo \(M>0\) existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)>M. \]
Por outras palavras, os valores de \(f(x)\) tornam-se maiores do que qualquer número real positivo previamente fixado, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\) pela direita.
Analogamente, escrever
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
significa que para todo \(M>0\) existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)<-M. \]
Neste caso, ao aproximar-se de \(x_0\) pela direita, os valores da função tornam-se menores do que qualquer número real negativo previamente fixado, por maior que seja em valor absoluto.
As definições pela esquerda são inteiramente análogas. Se o limite à esquerda em \(x_0\) faz sentido, escrever
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
significa que para todo \(M>0\) existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)>M. \]
Já escrever
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
significa que para todo \(M>0\) existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)<-M. \]
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Quando \(x\to 0^+\), o denominador é positivo e cada vez mais próximo de zero; consequentemente, os valores da função são positivos e crescem sem limite:
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Quando, pelo contrário, \(x\to 0^-\), o denominador é negativo e cada vez mais próximo de zero; os valores da função são negativos e diminuem sem limite:
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Também neste caso os dois comportamentos não coincidem. Por isso, o limite quando \(x\to 0\), considerado sem restrições laterais, não é nem \(+\infty\) nem \(-\infty\).
Mais geralmente, se de um lado a função tende para \(+\infty\) e do outro tende para \(-\infty\), o limite quando \(x\to x_0\) não existe como limite único. Os dois limites laterais existem, mas descrevem comportamentos incompatíveis entre si.
Exemplos com funções definidas por partes
As funções definidas por partes são um dos contextos em que o limite à direita e o limite à esquerda se revelam mais úteis. Nestes casos, com efeito, a expressão da função pode mudar consoante o intervalo em que \(x\) se encontra.
Ao calcular o limite num ponto em que muda a definição da função, deve usar-se a expressão válida à esquerda do ponto para o limite à esquerda e a expressão válida à direita do ponto para o limite à direita.
Consideremos a função
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
Para calcular o limite à esquerda em \(x_0=1\), devemos usar o ramo válido para \(x<1\), isto é, \(f(x)=x+1\). Assim,
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2. \]
Para o limite à direita, por sua vez, devemos usar o ramo válido para \(x>1\), isto é, \(f(x)=3-x\). Portanto,
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2. \]
Os dois limites coincidem. Consequentemente, existe o limite quando \(x\to 1\), considerado sem restrições laterais, e é igual a
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=2. \]
No entanto, \(f(1)=5\). Isto mostra, mais uma vez, que o valor da função no ponto não determina o limite: o limite depende dos valores que a função assume na vizinhança do ponto, não necessariamente do valor que assume no próprio ponto.
Consideremos agora um segundo exemplo:
\[ g(x)= \begin{cases} x^2, & x<2,\\ x+1, & x\ge 2. \end{cases} \]
À esquerda de \(2\), a função é dada por \(g(x)=x^2\). Assim,
\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=\lim_{x\to 2^-}x^2=4. \]
À direita de \(2\), incluindo o próprio ponto \(2\), a função é dada por \(g(x)=x+1\). Para o limite à direita, no entanto, consideramos valores \(x>2\), logo
\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=\lim_{x\to 2^+}(x+1)=3. \]
Uma vez que os dois limites são diferentes, o limite quando \(x\to 2\), sem restrições laterais, não existe.
Em síntese, nas funções definidas por partes o procedimento correto consiste em ler com atenção o domínio de cada ramo e em calcular separadamente o comportamento da função pela esquerda e pela direita.
Continuidade à direita e continuidade à esquerda
Os limites laterais permitem também definir a continuidade de uma função apenas de um dos lados. Isto é particularmente útil nos extremos de um intervalo e nos pontos em que uma função é definida por partes.
Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real e seja \(x_0\in D\). Suponhamos que o limite à direita de \(f\) em \(x_0\) faz sentido. Dizemos que \(f\) é contínua à direita em \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
De modo equivalente, \(f\) é contínua à direita em \(x_0\) se para todo \(\varepsilon>0\) existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0\le x<x_0+\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
Analogamente, suponhamos que o limite à esquerda de \(f\) em \(x_0\) faz sentido. Dizemos que \(f\) é contínua à esquerda em \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Em forma \(\varepsilon\)-\(\delta\), isto significa que para todo \(\varepsilon>0\) existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x\le x_0 \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
A diferença em relação ao simples limite à direita ou à esquerda é importante. No limite observa-se apenas o comportamento da função perto de \(x_0\), sem que o valor \(f(x_0)\) seja determinante. Na continuidade, pelo contrário, o valor da função no ponto tem de coincidir com o valor para o qual a função tende.
Por exemplo, se uma função está definida num intervalo \([a,b]\), a continuidade em \(a\), relativamente ao domínio, verifica-se através da continuidade à direita, porque o domínio não contém pontos à esquerda de \(a\). Neste caso a condição natural é
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]
Do mesmo modo, no ponto \(b\) considera-se a continuidade à esquerda:
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Se, pelo contrário, \(x_0\) for um ponto interior do domínio, e a função estiver definida em ambos os lados de \(x_0\), então a continuidade em \(x_0\) exige a continuidade tanto à esquerda como à direita. Em símbolos:
\[ f \text{ é contínua em } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \ \text{e}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Erros comuns a evitar
O primeiro erro a evitar é confundir o limite à direita ou à esquerda com o valor da função no ponto. O limite descreve o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) por um determinado lado; o valor \(f(x_0)\), quando existe, diz respeito, pelo contrário, à função exatamente no ponto \(x_0\).
Por exemplo, se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]
não se segue necessariamente que \(f(x_0)=L\). O limite à direita depende dos valores da função para \(x>x_0\) próximos de \(x_0\), não do valor assumido no ponto.
Um segundo erro consiste em esquecer o domínio da função. Ao calcular um limite à direita, devem considerar-se apenas os valores \(x\in D\) tais que
\[ x_0<x<x_0+\delta. \]
Ao calcular um limite à esquerda, devem considerar-se, pelo contrário, apenas os valores \(x\in D\) tais que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Não basta, portanto, atender à posição de \(x\) relativamente a \(x_0\): é também necessário verificar que esses valores pertencem efetivamente ao domínio da função.
Um terceiro erro frequente diz respeito às funções definidas por partes. Num ponto em que muda a definição da função, o limite à esquerda deve ser calculado usando o ramo válido à esquerda do ponto, ao passo que o limite à direita deve ser calculado usando o ramo válido à direita. O valor eventualmente atribuído à função nesse ponto não deve ser usado para calcular os limites à direita e à esquerda.
Um quarto erro consiste em concluir que o limite quando \(x\to x_0\), sem restrições laterais, existe apenas porque existe um dos dois limites de um dos lados. Isto não é suficiente. Quando o domínio tem pontos arbitrariamente próximos de \(x_0\) tanto pela esquerda como pela direita, o limite quando \(x\to x_0\) existe apenas se o limite à esquerda e o limite à direita existirem e coincidirem.
Em símbolos, quando ambos os lados estão presentes no domínio, a condição correta é
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]
Só neste caso se pode escrever
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Por fim, é necessário distinguir com precisão entre limite e continuidade. A existência do limite à direita ou à esquerda não implica, por si só, a continuidade desse lado. Para haver continuidade à direita em \(x_0\), por exemplo, não basta que exista o limite à direita: é também necessário que este seja igual ao valor da função no ponto, isto é,
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Analogamente, a continuidade à esquerda exige que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Manter separados estes aspetos — lado de aproximação, domínio, valor da função no ponto e coincidência dos dois limites — permite tratar os limites laterais de forma correta e sem ambiguidade.