Uma sucessão numérica real é uma lista ordenada de números reais, habitualmente denotada por
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
onde \(a_n\) representa o termo geral da sucessão, ou seja, o termo que ocupa a posição \(n\). Estudar uma sucessão significa compreender como se comportam os seus termos à medida que cresce o índice \(n\).
O conceito central é o de limite de uma sucessão. Quando \(n\to+\infty\), os termos \(a_n\) podem aproximar-se de um número real, crescer sem limite, decrescer sem limite ou não apresentar qualquer comportamento-limite. Por este motivo, distinguem-se as sucessões convergentes, divergentes e oscilantes.
Introduzimos as definições fundamentais sobre os limites de sucessões, explicando de modo rigoroso o significado de convergência, divergência e oscilação.
Índice
- O que é uma sucessão numérica
- Limite de uma sucessão
- Sucessões convergentes
- Sucessões divergentes
- Sucessões oscilantes
- Exemplos de sucessões convergentes, divergentes e oscilantes
O que é uma sucessão numérica
Uma sucessão numérica é uma função definida no conjunto dos números naturais positivos e com valores num conjunto numérico. No caso das sucessões reais, trata-se de uma função
\[ a:\mathbb{N}_{\ge 1}\to\mathbb{R}. \]
A cada número natural positivo \(n\) é associado um único número real \(a(n)\). Em vez de escrever \(a(n)\), para as sucessões usa-se quase sempre a notação
\[ a_n. \]
O número \(a_n\) chama-se n-ésimo termo ou termo geral da sucessão. A sucessão indica-se então por uma das seguintes notações:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}_{\ge 1}},\qquad (a_n),\qquad a_n. \]
Por exemplo, a fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
define a sucessão
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
Neste caso, o primeiro termo é \(a_1=1\), o segundo termo é \(a_2=\displaystyle \frac{1}{2}\), o terceiro termo é \(a_3=\displaystyle \frac{1}{3}\), e assim por diante.
O ponto fundamental é que uma sucessão não é apenas um conjunto de números, mas um conjunto de valores dispostos numa ordem precisa. Por exemplo, as sucessões
\[ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots \]
e
\[ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \ldots \]
tomam os mesmos valores, mas numa ordem diferente. Por isso devem ser consideradas sucessões diferentes.
Limite de uma sucessão
O limite de uma sucessão descreve o comportamento dos termos \(a_n\) quando o índice \(n\) se torna arbitrariamente grande, ou seja, quando
\[ n\to+\infty. \]
Este ponto é importante: numa sucessão, o índice \(n\) percorre os números naturais, pelo que não se estuda o comportamento para \(n\to-\infty\), mas apenas para \(n\to+\infty\).
Uma sucessão pode ter comportamentos diversos. Pode aproximar-se de um número real, crescer sem limite, decrescer sem limite ou não apresentar comportamento-limite algum. Por este motivo, distinguem-se três casos fundamentais:
- as sucessões convergentes, quando os termos se aproximam de um número real;
- as sucessões divergentes, quando os termos tendem para \(+\infty\) ou para \(-\infty\);
- as sucessões oscilantes, quando não existe limite finito nem limite infinito.
Escrever
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
significa que, à medida que \(n\) cresce, os termos \(a_n\) se aproximam indefinidamente do número real \(L\). O número \(L\), se existir, chama-se limite da sucessão.
Por exemplo, ao considerar a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n}, \]
os termos são
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
e ficam cada vez mais próximos de \(0\). Neste caso, escreve-se
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
O limite, porém, não deve ser entendido como um valor que a sucessão assuma necessariamente. No exemplo anterior, nenhum termo da sucessão é igual a \(0\), pois
\[ \frac{1}{n}\neq 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Ainda assim, os termos aproximam-se de \(0\) tanto quanto se queira, desde que \(n\) seja suficientemente grande.
Sucessões convergentes
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se convergente se existe um número real \(L\) tal que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Neste caso, diz-se que a sucessão converge para \(L\), ou que \(L\) é o limite finito da sucessão.
A definição rigorosa é a seguinte:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_\varepsilon \,\, , \,\ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Esta definição deve ser lida com atenção. O número \(\varepsilon>0\) representa uma distância arbitrariamente pequena em relação ao limite \(L\). Dizer que
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
significa, com efeito, que o termo \(a_n\) dista de \(L\) menos de \(\varepsilon\).
A definição afirma, então, que, escolhida uma distância positiva qualquer \(\varepsilon\), por menor que seja, existe um índice \(n_\varepsilon\) tal que todos os termos da sucessão com índice \(n\geq n_\varepsilon\) se encontram a uma distância de \(L\) menor do que \(\varepsilon\).
Em termos geométricos, fixado um intervalo aberto centrado em \(L\),
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
existe um índice \(n_\varepsilon\) tal que todos os termos seguintes da sucessão pertencem a esse intervalo.
Em símbolos:
\[ n\geq n_\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
É importante observar que a definição não exige que todos os termos da sucessão estejam próximos de \(L\). Os primeiros termos podem até estar muito afastados do limite. O que importa é que, a partir de certo índice, todos os termos permaneçam arbitrariamente próximos de \(L\).
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
converge para \(1\), pois os seus termos
\[ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots \]
aproximam-se cada vez mais de \(1\).
Com efeito:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
A parcela subtraída, \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), torna-se cada vez menor à medida que \(n\) cresce. Por isso
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
As sucessões convergentes têm sempre um limite real finito. Por esse motivo, diz-se também que uma sucessão convergente é uma sucessão que admite limite finito.
Sucessões divergentes
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se divergente se os seus termos não se aproximam de um número real finito, mas tornam-se arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos.
Mais precisamente, uma sucessão pode divergir de dois modos:
- pode divergir para \(+\infty\), se os seus termos se tornam maiores do que qualquer limiar positivo previamente fixado;
- pode divergir para \(-\infty\), se os seus termos se tornam menores do que qualquer limiar negativo previamente fixado.
Em ambos os casos, o símbolo \(+\infty\) ou \(-\infty\) não representa um número real. Dizer que uma sucessão tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) é descrever um comportamento dos seus termos, e não indicar um valor por ela assumido.
Sucessões divergentes para \(+\infty\)
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se divergente para \(+\infty\) se, fixado um número positivo qualquer \(M\), existe um índice \(n_M\) tal que todos os termos subsequentes da sucessão são maiores do que \(M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n>M. \]
A definição afirma que, seja qual for o limiar positivo \(M\), por maior que seja, a partir de certo índice todos os termos da sucessão ultrapassam esse limiar.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=n^2 \]
diverge para \(+\infty\), pois os seus termos
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
tornam-se arbitrariamente grandes.
Com efeito, fixado \(M>0\), queremos que
\[ n^2>M. \]
Como \(n\) é positivo, esta desigualdade verifica-se quando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Escolhendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\sqrt{M}, \]
para todo \(n\geq n_M\) tem-se
\[ n^2>M. \]
Portanto
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Sucessões divergentes para \(-\infty\)
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se divergente para \(-\infty\) se, fixado um número positivo qualquer \(M\), existe um índice \(n_M\) tal que todos os termos subsequentes da sucessão são menores do que \(-M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n<-M. \]
A definição afirma que os termos da sucessão descem abaixo de qualquer limiar negativo. Também aqui \(-\infty\) não é um valor assumido pela sucessão, mas descreve o comportamento dos termos, que se tornam arbitrariamente pequenos.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=-n \]
diverge para \(-\infty\), pois os seus termos
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
tornam-se cada vez menores.
Com efeito, fixado \(M>0\), queremos que
\[ -n<-M. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ n>M. \]
Escolhendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>M, \]
para todo \(n\geq n_M\) tem-se
\[ n>M \]
e, portanto,
\[ -n<-M. \]
Por conseguinte
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
As sucessões divergentes não são convergentes, pois não admitem um limite real finito. Têm, contudo, um comportamento-limite bem definido: tendem para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).
Sucessões oscilantes
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se oscilante se não admite limite, nem finito nem infinito.
Dito de outro modo, uma sucessão é oscilante se não for convergente e não divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\). Assim, uma sucessão oscilante não se aproxima de um número real, não cresce sem limite e não decresce sem limite.
O caso mais simples é o de uma sucessão que oscila indefinidamente entre valores diferentes. Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
toma alternadamente os valores
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
e, portanto, não se aproxima de um único valor-limite.
Com efeito, considerando apenas os índices pares, obtemos
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Logo
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considerando, por outro lado, os índices ímpares, obtemos
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Logo
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
A mesma sucessão possui, assim, duas subsucessões convergentes para limites diferentes. Por este motivo, a sucessão \(((-1)^n)\) não pode ser convergente.
Além disso, é limitada, pois, para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Sendo limitada, não pode divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\). Em consequência, é uma sucessão oscilante.
Este exemplo mostra que uma sucessão limitada não é necessariamente convergente. A limitação impede a divergência para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), mas não garante a existência de um limite finito.
De modo mais geral, uma sucessão pode ser oscilante porque oscila entre valores diferentes, porque apresenta comportamentos distintos ao longo de subsucessões diferentes, ou porque não tende de forma estável para nenhum valor, finito ou infinito.
Exemplos de sucessões convergentes, divergentes e oscilantes
Vejamos agora alguns exemplos fundamentais, úteis para reconhecer os principais comportamentos-limite de uma sucessão.
Exemplo 1. (Sucessão convergente para \(0\)). Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Os seus termos são
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
À medida que \(n\) cresce, o denominador torna-se cada vez maior, ao passo que o numerador permanece igual a \(1\). Em consequência, os termos da sucessão tornam-se cada vez menores e aproximam-se de \(0\).
Portanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
A sucessão é, pois, convergente.
Exemplo 2. (Sucessão convergente para \(1\)). Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Podemos reescrever o termo geral do seguinte modo:
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}. \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
quando \(n\to+\infty\), obtemos
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Por conseguinte
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Também esta sucessão é convergente.
Exemplo 3. (Sucessão divergente para \(+\infty\)).
Consideremos a sucessão
\[ a_n=2n. \]
Os seus termos são
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots \]
e crescem sem limite. Com efeito, fixado um número qualquer \(M>0\), procuramos um índice \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\), se tenha
\[ 2n>M. \]
Esta desigualdade equivale a
\[ n>\frac{M}{2}. \]
Escolhendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\frac{M}{2}, \]
para todo \(n\geq n_M\) tem-se \(2n>M\). Logo
\[ \lim_{n\to+\infty}2n=+\infty. \]
A sucessão é, pois, divergente para \(+\infty\).
Exemplo 4. (Sucessão divergente para \(-\infty\)). Consideremos a sucessão
\[ a_n=-3n. \]
Os seus termos são
\[ -3,\ -6,\ -9,\ -12,\ \ldots \]
e tornam-se cada vez menores. Fixado \(M>0\), queremos que
\[ -3n<-M. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ 3n>M. \]
Logo
\[ n>\frac{M}{3}. \]
Escolhendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\frac{M}{3}, \]
para todo \(n\geq n_M\) tem-se
\[ -3n<-M. \]
Por conseguinte
\[ \lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty. \]
A sucessão é, portanto, divergente para \(-\infty\).
Exemplo 5. (Sucessão oscilante). Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Os seus termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
A sucessão não se aproxima de um único valor. Com efeito, ao longo dos índices pares tem-se
\[ a_{2k}=1, \]
enquanto ao longo dos índices ímpares tem-se
\[ a_{2k-1}=-1. \]
Assim, duas subsucessões da mesma sucessão têm limites diferentes:
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Em consequência, a sucessão não é convergente.
Além disso, é limitada, pois, para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Logo não diverge nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\). A sucessão é, pois, oscilante.
Exemplo 6. (Sucessão limitada mas não convergente)
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Os primeiros termos são
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
Também neste caso a sucessão é limitada, pois os seus termos pertencem ao intervalo \([-1,1]\). No entanto, não converge, porque toma periodicamente valores diferentes e não se estabiliza em torno de um único limite.
Por exemplo, para os índices da forma \(4k+1\) tem-se
\[ a_{4k+1}=1, \]
enquanto para os índices da forma \(4k+2\) tem-se
\[ a_{4k+2}=0. \]
Portanto
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
A sucessão possui duas subsucessões com limites diferentes, pelo que não é convergente. Sendo limitada, não pode divergir para \(+\infty\) nem para \(-\infty\). Por conseguinte, é oscilante.
Em resumo, uma sucessão pode apresentar três comportamentos principais: pode convergir para um número real, pode divergir para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), ou pode ser oscilante. Esta classificação está na base do estudo dos limites de sucessões.