Limites Infinitos e Limites no Infinito: Definições, Propriedades e Exemplos

Limites infinitos e limites no infinito: uma distinção fundamental

As expressões limite infinito e limite no infinito descrevem duas características distintas de um limite. A primeira diz respeito ao comportamento dos valores da função \(f(x)\); a segunda, por sua vez, diz respeito ao comportamento da variável independente \(x\).

Fala-se em limite infinito quando

\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad f(x)\to-\infty. \]

Neste caso, não se afirma que a função atinja um valor chamado \(+\infty\) ou \(-\infty\). Os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) não são números reais: indicam que os valores da função ultrapassam qualquer limiar positivo, ou descem abaixo de qualquer limiar negativo.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]

é um limite infinito, pois os valores da função crescem sem limite quando \(x\) se aproxima de \(2\).

Fala-se, por outro lado, em limite no infinito quando é a variável \(x\) que tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\). Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \]

é um limite no infinito, pois \(x\) assume valores positivos arbitrariamente grandes, enquanto a função tende para o valor finito \(0\).

As duas noções são independentes

Um limite pode ser infinito sem ser um limite no infinito. É o que acontece, por exemplo, em

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Aqui \(x\) tende para o número real \(0\), enquanto é a função que tende para \(+\infty\).

Reciprocamente, um limite pode ser no infinito sem ser infinito. Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x+1}=2. \]

Neste caso, \(x\to+\infty\), mas a função tende para o número real \(2\).

Por fim, as duas características podem ocorrer simultaneamente. A escrita

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

representa, ao mesmo tempo, um limite no infinito, pois \(x\to+\infty\), e um limite infinito, pois \(x^2\to+\infty\).

Os quatro casos fundamentais

Combinando o comportamento da variável com o da função, obtêm-se quatro casos fundamentais.

1. Limite finito num ponto: \(x\) tende para um número real \(x_0\) e \(f(x)\) tende para um número real \(L\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
2. Limite infinito num ponto: \(x\) tende para um número real \(x_0\) e \(f(x)\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty. \]
3. Limite finito no infinito: \(x\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) e \(f(x)\) tende para um número real \(L\): \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L. \]
4. Limite infinito no infinito: \(x\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) e \(f(x)\) também tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\): \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm\infty. \]

É, pois, importante observar separadamente o que acontece com a variável e o que acontece com os valores da função. Esta distinção permite reconhecer de imediato o tipo de limite em estudo e escolher a definição formal apropriada.

O significado dos símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\)

Na teoria dos limites, os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) descrevem um comportamento, e não um valor assumido pela função. Escrever

\[ f(x)\to+\infty \]

significa que \(f(x)\) ultrapassa, a partir de um certo ponto, qualquer limiar real positivo prefixado. Analogamente,

\[ f(x)\to-\infty \]

significa que \(f(x)\) desce, a partir de um certo ponto, abaixo de qualquer limiar real negativo prefixado.

As definições formais que se seguem tornarão precisas estas afirmações por meio de quantificadores e desigualdades adequados.

Limites infinitos num ponto

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) e seja \(x_0\) um ponto de acumulação do domínio \(D\). Um limite infinito em \(x_0\) descreve uma situação em que os valores da função ultrapassam qualquer limiar positivo, ou descem abaixo de qualquer limiar negativo, quando \(x\) se aproxima de \(x_0\).

Podem ocorrer os dois casos

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

e

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Limite igual a \(+\infty\)

Escrever

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

significa que \(f(x)\) ultrapassa qualquer limiar positivo prefixado quando \(x\) está suficientemente próximo de \(x_0\).

Formalmente,

\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]

O limiar \(M\) pode ser escolhido arbitrariamente grande. Uma vez fixado \(M\), deve ser possível encontrar um número \(\delta>0\) tal que todos os pontos do domínio que satisfazem

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

tenham imagem maior do que \(M\).

O número \(\delta\) pode depender de \(M\): limiares cada vez mais altos podem exigir que se escolha \(x\) cada vez mais próximo de \(x_0\).

Limite igual a \(-\infty\)

Analogamente,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]

significa que \(f(x)\) desce abaixo de qualquer limiar negativo prefixado quando \(x\) está suficientemente próximo de \(x_0\).

Uma formulação particularmente prática utiliza novamente um limiar positivo \(M\):

\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]

À medida que \(M\) cresce, o número \(-M\) torna-se cada vez menor. A definição exige, portanto, que a função desça, a partir de um certo ponto, abaixo de qualquer nível negativo prefixado.

O valor da função em \(x_0\)

O valor que a função eventualmente assuma no ponto \(x_0\) não intervém na definição do limite. A condição

\[ 0<|x-x_0| \]

exclui, precisamente, \(x=x_0\).

A função pode, portanto, não estar definida em \(x_0\), ou pode estar definida e assumir nesse ponto um valor qualquer. O limite depende exclusivamente do comportamento de \(f(x)\) nos pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\).

Exemplo: \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) quando \(x\to0\)

Consideremos

\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]

Quando \(x\) se aproxima de \(0\), o número \(x^2\) permanece positivo e tende para \(0\). O seu recíproco torna-se, assim, arbitrariamente grande:

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Verifiquemos isto diretamente a partir da definição. Fixado \(M>0\), pretendemos obter

\[ \frac{1}{x^2}>M. \]

Como \(x^2>0\) e \(M>0\), esta desigualdade equivale a

\[ x^2<\frac{1}{M}, \]

isto é,

\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]

Basta, pois, escolher

\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]

Se

\[ 0<|x|<\delta, \]

então

\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]

e, portanto,

\[ \frac{1}{x^2}>M. \]

Como esta construção é possível para todo \(M>0\), a definição fica verificada.

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Exemplo: \(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\) quando \(x\to0\)

Consideremos agora

\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]

Como

\[ \frac{1}{x^2}\to+\infty, \]

invertendo o sinal, obtemos

\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]

Também este resultado pode ser verificado diretamente. Fixado \(M>0\), pretendemos que

\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]

Multiplicando por \(-1\) e invertendo o sentido da desigualdade, obtemos

\[ \frac{1}{x^2}>M. \]

Tal como no exemplo anterior, basta, portanto, escolher

\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]

Segue-se que, para todo \(M>0\),

\[ 0<|x|<\delta \Longrightarrow -\frac{1}{x^2}<-M, \]

e, portanto,

\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]

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Um erro a evitar

Para que um limite seja igual a \(+\infty\), não basta que a função assuma valores muito grandes apenas em alguns pontos que se aproximam de \(x_0\). Uma vez fixado um limiar \(M>0\), a desigualdade

\[ f(x)>M \]

deve verificar-se em todos os pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\), excluído o próprio \(x_0\).

Analogamente, para que o limite seja igual a \(-\infty\), a função deve tornar-se, a partir de um certo ponto, menor do que \(-M\) para cada limiar \(M>0\).

Os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) descrevem, portanto, um comportamento preciso da função, e não valores efetivamente atingidos.

O limite infinito não implica monotonia

A existência de um limite infinito não exige que a função seja monótona perto do ponto considerado. Uma função pode oscilar mesmo infinitas vezes e, ao mesmo tempo, ultrapassar, a partir de um certo ponto, qualquer limiar positivo prefixado.

Consideremos, por exemplo,

\[ f(x)=\frac{2+\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}{|x|}, \qquad x\neq0. \]

Como

\[ 1\leq2+\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\leq3, \]

tem-se

\[ f(x)\geq\frac{1}{|x|}. \]

Além disso,

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{|x|}=+\infty. \]

Do teorema do confronto segue-se, portanto, que

\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]

O termo oscilante impede que a função seja monótona nas proximidades de \(0\), mas não a impede de tender para \(+\infty\).

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Limites infinitos à direita e à esquerda

Quando o comportamento de uma função nas proximidades de um ponto \(x_0\) depende do lado pelo qual \(x\) se aproxima, é necessário distinguir o limite à direita do limite à esquerda.

No limite à direita, \(x\) aproxima-se de \(x_0\) assumindo valores maiores do que \(x_0\); no limite à esquerda, por sua vez, assume valores menores do que \(x_0\).

Também os limites laterais podem ser infinitos. As quatro possibilidades fundamentais são

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty, \]

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty. \]

Limite infinito à direita

Suponhamos que \(x_0\) seja um ponto de acumulação à direita do domínio \(D\). Diz-se que

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]

A condição

\[ 0<x-x_0<\delta \]

equivale a

\[ x_0<x<x_0+\delta, \]

de modo que são considerados apenas os pontos do domínio situados à direita de \(x_0\).

Analogamente,

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(\delta>0\) tal que

\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]

para todo \(x\in D\).

Limite infinito à esquerda

Suponhamos agora que \(x_0\) seja um ponto de acumulação à esquerda do domínio \(D\). Diz-se que

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]

Neste caso

\[ 0<x_0-x<\delta \]

equivale a

\[ x_0-\delta<x<x_0, \]

e são, portanto, considerados apenas os pontos do domínio situados à esquerda de \(x_0\).

Analogamente,

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(\delta>0\) tal que

\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]

Relação com o limite quando \(x\to x_0\)

Suponhamos que \(x_0\) seja um ponto de acumulação do domínio tanto à esquerda como à direita. Neste caso,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

se e somente se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]

Analogamente,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]

se e somente se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]

Se os dois limites laterais forem infinitos, mas de sinal oposto, o limite quando \(x\to x_0\) não existe.

Se, pelo contrário, o domínio apresentar pontos arbitrariamente próximos de \(x_0\) apenas de um dos dois lados, o limite deve ser interpretado em relação ao domínio e coincide com o limite calculado no lado em que tais pontos estão presentes.

Um exemplo fundamental: a função \(\displaystyle\frac{1}{x}\)

Consideremos

\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0. \]

Quando \(x\) se aproxima de \(0\) pela direita, \(x\) é positivo e tende para \(0\). O seu recíproco torna-se, assim, positivo e arbitrariamente grande:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Quando, pelo contrário, \(x\) se aproxima de \(0\) pela esquerda, \(x\) é negativo e tende para \(0\). O recíproco torna-se negativo e arbitrariamente grande em valor absoluto:

\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Os dois limites laterais têm, portanto, sinal oposto. Em consequência,

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]

não existe.

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Verificação formal dos dois limites laterais

Para o limite à direita, fixemos \(M>0\). Pretendemos que

\[ \frac{1}{x}>M. \]

Como \(x>0\), esta desigualdade equivale a

\[ x<\frac{1}{M}. \]

Basta, pois, escolher

\[ \delta=\frac{1}{M}. \]

Com efeito,

\[ 0<x<\delta \quad\Longrightarrow\quad x<\frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M. \]

Para o limite à esquerda, com a mesma escolha

\[ \delta=\frac{1}{M}, \]

da condição

\[ 0<-x<\delta \]

segue-se

\[ -\frac{1}{M}<x<0. \]

Sendo \(x\) negativo, passando aos recíprocos obtemos

\[ \frac{1}{x}<-M. \]

Ficam, assim, verificadas ambas as definições:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Interpretação geométrica e assíntotas verticais

Os limites infinitos num ponto admitem uma interpretação geométrica imediata. Quando \(x\) se aproxima de um número real \(x_0\) e \(f(x)\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), os pontos do gráfico aproximam-se da reta vertical

\[ x=x_0 \]

enquanto as suas ordenadas crescem ou diminuem sem limite.

Em particular, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

então, fixada qualquer altura \(M>0\), para \(x\) suficientemente próximo de \(x_0\), tem-se

\[ f(x)>M. \]

O gráfico situa-se, portanto, acima de qualquer reta horizontal \(y=M\), desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\).

Analogamente, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]

então, para todo \(M>0\), ao aproximar-se suficientemente de \(x_0\), tem-se

\[ f(x)<-M. \]

Neste caso, o gráfico desce abaixo de qualquer reta horizontal \(y=-M\).

Assíntotas verticais

Esta situação conduz naturalmente ao conceito de assíntota vertical.

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) e seja \(x_0\in\mathbb{R}\) um ponto de acumulação do domínio, pelo menos por um dos dois lados. A reta

\[ x=x_0 \]

diz-se assíntota vertical do gráfico de \(f\) se pelo menos um dos limites laterais

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]

for igual a \(+\infty\) ou a \(-\infty\).

Não é, portanto, necessário que a função apresente o mesmo comportamento em ambos os lados. Basta que, pelo menos de um dos dois lados, os valores da função cresçam ou diminuam sem limite.

O limite pode não existir

A existência de uma assíntota vertical não implica necessariamente a existência do limite quando \(x\to x_0\).

Por exemplo, para

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

tem-se

\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Os dois limites laterais têm sinal oposto, pelo que

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]

não existe. No entanto, a reta

\[ x=0 \]

é uma assíntota vertical do gráfico.

O comportamento pode ocorrer apenas de um lado

Uma assíntota vertical pode também ficar determinada por um único limite lateral. Um exemplo fundamental é a função logarítmica

\[ f(x)=\ln(x), \qquad x>0. \]

Quando \(x\to0^+\),

\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty. \]

A função não está definida para \(x\leq0\), pelo que não existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(0\) pela esquerda. O limite infinito à direita basta, ainda assim, para concluir que

\[ x=0 \]

é uma assíntota vertical.

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O ponto \(x_0\) pode pertencer ao domínio

A presença de uma assíntota vertical não exige que a função seja necessariamente indefinida em \(x_0\). O valor que a função eventualmente assuma nesse ponto não altera, com efeito, o comportamento do limite.

Consideremos, por exemplo,

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]

A função está definida em \(x=0\), mas

\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]

Em consequência, a reta \(x=0\) continua a ser uma assíntota vertical, independentemente do valor atribuído a \(f(0)\).

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A anulação do denominador não basta

Nas funções racionais, a anulação do denominador num ponto não implica automaticamente a presença de uma assíntota vertical.

Consideremos

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]

O denominador anula-se em \(x=1\), mas, para \(x\neq1\), podemos simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Portanto,

\[ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

O limite é finito, pelo que \(x=1\) não é uma assíntota vertical. A anulação do denominador deve ser sempre acompanhada de um estudo efetivo do limite.

Um exemplo com comportamento infinito em ambos os lados

Para a função

\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \]

o denominador tende para \(0\) assumindo valores positivos tanto quando \(x\to2^-\) como quando \(x\to2^+\). Tem-se, pois,

\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]

Em consequência,

\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \]

e a reta

\[ x=2 \]

é uma assíntota vertical do gráfico.

Imagem

Do ponto de vista geométrico, portanto, uma assíntota vertical identifica uma reta à qual o gráfico se aproxima horizontalmente, enquanto as ordenadas se tornam arbitrariamente grandes em valor absoluto pelo menos de um dos dois lados.

Limites finitos quando \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)

Um limite finito no infinito descreve o comportamento de uma função quando a variável \(x\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), enquanto \(f(x)\) se aproxima de um número real \(L\).

Convém distinguir os dois casos

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]

porque o comportamento da função para valores positivos muito grandes pode ser diferente do observado para valores negativos muito grandes em valor absoluto.

Limite finito quando \(x\to+\infty\)

Para se poder considerar o limite quando \(x\to+\infty\), o domínio \(D\) da função deve ser ilimitado superiormente, isto é, deve conter elementos arbitrariamente grandes.

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\), com \(D\) ilimitado superiormente, e seja \(L\in\mathbb{R}\). Diz-se que

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]

se, para todo \(\varepsilon>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Em forma simbólica,

\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]

O número \(\varepsilon\) estabelece a precisão com que \(f(x)\) deve aproximar-se de \(L\), enquanto \(A\) determina quão grande deve ser \(x\) para que essa precisão fique garantida.

A condição

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]

equivale a

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Portanto, para \(x\) suficientemente grande, os valores da função permanecem arbitrariamente próximos de \(L\).

Limite finito quando \(x\to-\infty\)

Para considerar o limite quando \(x\to-\infty\), o domínio \(D\) deve, pelo contrário, ser ilimitado inferiormente, isto é, deve conter elementos arbitrariamente pequenos.

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\), com \(D\) ilimitado inferiormente, e seja \(L\in\mathbb{R}\). Diz-se que

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]

se, para todo \(\varepsilon>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Em forma simbólica,

\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Também neste caso, \(\varepsilon\) pode ser escolhido arbitrariamente pequeno. O limiar \(A\) deve ser tal que todos os pontos do domínio situados suficientemente à esquerda produzam valores de \(f(x)\) a uma distância de \(L\) menor do que \(\varepsilon\).

Exemplo: o limite de \(3+\displaystyle\frac{2}{x}\)

Consideremos

\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]

Como

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0, \]

tem-se

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3 \]

e

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]

Podemos verificar diretamente o primeiro limite. Fixado \(\varepsilon>0\), impomos

\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]

Para \(x>0\), esta condição equivale a

\[ \frac{2}{x}<\varepsilon, \]

e, portanto, a

\[ x>\frac{2}{\varepsilon}. \]

Basta, pois, escolher

\[ A=\frac{2}{\varepsilon}. \]

Quando \(x\to-\infty\), por sua vez, da condição

\[ \left|\frac{2}{x}\right|<\varepsilon \]

basta exigir

\[ x<-\frac{2}{\varepsilon}. \]

As duas definições formais conduzem, pois, ao mesmo valor \(L=3\).

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Os dois limites podem ser diferentes

A existência de um limite quando \(x\to+\infty\) não determina o comportamento da função quando \(x\to-\infty\). Os dois limites devem ser estudados separadamente.

Consideremos, por exemplo,

\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]

Como

\[ \sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}, \]

quando \(x\to+\infty\), tem-se, a partir de um certo ponto, \(|x|=x\), e, portanto,

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to1. \]

Quando \(x\to-\infty\), por sua vez, tem-se, a partir de um certo ponto, \(|x|=-x\), pelo que

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to-1. \]

Portanto,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]

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O limite não descreve todo o gráfico

Um limite finito no infinito diz respeito exclusivamente ao comportamento final da função. Modificar \(f\) num conjunto limitado não altera o seu limite quando \(x\to+\infty\) nem quando \(x\to-\infty\).

Além disso, a existência de um limite finito não implica que a função seja monótona. Por exemplo,

\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]

continua a oscilar, mas

\[ \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|}, \]

e como

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{|x|}=0, \]

do teorema do confronto segue-se que

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0. \]

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Dizer que \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\) não significa, portanto, que \(x\) atinja um valor chamado infinito. Significa que a variável ultrapassa qualquer limiar positivo prefixado, ou desce abaixo de qualquer limiar negativo prefixado, enquanto os valores da função se aproximam arbitrariamente do número real \(L\).

Interpretação geométrica e assíntotas horizontais

Se uma função tende para um número real \(L\) quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\), os pontos do seu gráfico aproximam-se da reta horizontal

\[ y=L. \]

Com efeito, a condição

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]

significa que a distância vertical entre o ponto do gráfico \((x,f(x))\) e a reta \(y=L\) é menor do que \(\varepsilon\).

Como \(\varepsilon\) pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, essa distância tende para zero no sentido considerado.

Definição de assíntota horizontal

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\). Se

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]

com \(L\in\mathbb{R}\), a reta

\[ y=L \]

diz-se assíntota horizontal direita do gráfico de \(f\).

Se, pelo contrário,

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]

então a mesma reta

\[ y=L \]

diz-se assíntota horizontal esquerda.

Quando não é necessário especificar o sentido, fala-se simplesmente em assíntota horizontal.

Interpretação por meio de faixas horizontais

Suponhamos que

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]

Para todo \(\varepsilon>0\), existe um limiar \(A\) tal que

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon \]

para todo \(x\in D\) com \(x>A\).

Geometricamente, o gráfico permanece, portanto, a partir de um certo ponto, dentro da faixa compreendida entre as retas

\[ y=L-\varepsilon \qquad\text{e}\qquad y=L+\varepsilon. \]

Quando \(x\to-\infty\), vale a mesma interpretação, com a diferença de que a condição é exigida para todos os \(x\in D\) suficientemente negativos.

Aproximação por cima, por baixo ou com oscilações

O gráfico não tem necessariamente de se aproximar da assíntota sempre pelo mesmo lado.

Por exemplo,

\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]

satisfaz, para \(x>0\),

\[ f(x)>2 \]

e

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2. \]

O gráfico aproxima-se, portanto, da reta \(y=2\) por cima.

Analogamente,

\[ f(x)=2-\frac{1}{x} \]

satisfaz \(f(x)<2\) para \(x>0\) e tende igualmente para \(2\). Neste caso, o gráfico aproxima-se da assíntota por baixo.

Imagem

É também possível uma aproximação oscilante. Por exemplo,

\[ f(x)=L+\frac{\sin(x)}{x} \]

assume alternadamente valores maiores e menores do que \(L\), mas

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(L+\frac{\sin(x)}{x}\right)=L. \]

A existência de uma assíntota horizontal não implica, portanto, que o gráfico permaneça, a partir de um certo ponto, sempre do mesmo lado da reta.

A mesma reta pode ser assíntota nos dois sentidos

Se

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]

a reta \(y=L\) é assíntota horizontal tanto à direita como à esquerda.

Por exemplo,

\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]

satisfaz

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]

A reta \(y=0\) é, portanto, assíntota horizontal em ambos os sentidos.

Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas

Os limites quando \(x\to+\infty\) e quando \(x\to-\infty\) podem ser diferentes. Se

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \]

com \(L_1\neq L_2\), então \(y=L_1\) é a assíntota horizontal direita e \(y=L_2\) é a assíntota horizontal esquerda.

Um exemplo é

\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]

para a qual

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]

As retas \(y=1\) e \(y=-1\) são, portanto, respetivamente a assíntota horizontal direita e a esquerda.

O gráfico pode cruzar a assíntota

Uma assíntota horizontal não é uma reta que o gráfico não possa atravessar. A definição exige apenas que a distância vertical à reta tenda para zero no infinito.

Por exemplo,

\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]

tem \(y=0\) como assíntota horizontal, mas o gráfico cruza essa reta em

\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \]

Neste caso, os pontos de interseção são mesmo infinitos.

Unicidade da assíntota em cada sentido

Uma função pode ter, no máximo, uma assíntota horizontal quando \(x\to+\infty\) e, no máximo, uma quando \(x\to-\infty\).

Isto decorre da unicidade do limite: se

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_2, \]

então, necessariamente, \(L_1=L_2\). O mesmo vale quando \(x\to-\infty\).

Como determinar as assíntotas horizontais

Para determinar as eventuais assíntotas horizontais de uma função, calculam-se separadamente

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x), \]

quando o domínio permite considerar ambos os limites.

Se um dos dois limites for igual a um número real \(L\), a reta \(y=L\) é uma assíntota horizontal no sentido correspondente. Se, pelo contrário, o limite for igual a \(+\infty\), a \(-\infty\), ou não existir, não há qualquer assíntota horizontal nesse sentido.

Limites infinitos quando \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)

Um limite infinito no infinito ocorre quando a variável \(x\) tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) e, ao mesmo tempo, os valores da função crescem ou diminuem sem limite.

Podem ocorrer quatro situações:

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]

Em cada caso é necessário distinguir o comportamento da variável do comportamento da função: o sinal do infinito para o qual \(x\) tende não determina o sinal do infinito para o qual \(f(x)\) tende.

Limites infinitos quando \(x\to+\infty\)

Seja \(f:D\to\mathbb{R}\), com \(D\) ilimitado superiormente. Diz-se que

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]

Em forma simbólica,

\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)>M. \]

A definição exige, portanto, que a função ultrapasse, a partir de um certo ponto, qualquer limiar positivo prefixado.

Analogamente,

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que

\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]

para todo \(x\in D\).

Neste caso, para valores suficientemente grandes de \(x\), a função desce abaixo de qualquer limiar negativo prefixado.

Limites infinitos quando \(x\to-\infty\)

Suponhamos agora que o domínio \(D\) seja ilimitado inferiormente. Diz-se que

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]

Em forma simbólica,

\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M. \]

Analogamente,

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]

se, para todo \(M>0\), existir \(A\in\mathbb{R}\) tal que

\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]

Neste caso, a função assume valores arbitrariamente pequenos para todos os \(x\) do domínio suficientemente negativos.

Exemplos fundamentais com potências

A função

\[ f(x)=x^2 \]

tende para \(+\infty\) em ambos os sentidos:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

Com efeito, \(x^2\) torna-se arbitrariamente grande quando o valor absoluto de \(x\) cresce, independentemente do sinal de \(x\).

A função cúbica

\[ f(x)=x^3 \]

apresenta, pelo contrário, comportamentos diferentes:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

O sinal do termo coincide, com efeito, com o de \(x\).

O papel da paridade do expoente

De um modo mais geral, o comportamento da potência \(x^n\), com \(n\) inteiro positivo, depende da paridade do expoente.

Quando \(x\to+\infty\), tem-se sempre

\[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]

Quando \(x\to-\infty\), por sua vez, se \(n\) for par,

\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty, \]

ao passo que, se \(n\) for ímpar,

\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \]

O coeficiente que multiplica a potência pode, naturalmente, alterar o sinal do limite. Por exemplo,

\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty. \]

Verificação formal de \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\)

Fixado \(M>0\), devemos encontrar um limiar \(A\) tal que

\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]

Para \(x>0\), a condição

\[ x^2>M \]

verifica-se quando

\[ x>\sqrt{M}. \]

Podemos, pois, escolher

\[ A=\sqrt{M}. \]

Como esta escolha é possível para todo \(M>0\), segue-se da definição que

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]

Verificação formal de \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\)

Fixado \(M>0\), pretendemos encontrar \(A\in\mathbb{R}\) tal que

\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^3<-M. \]

Como a função cúbica é estritamente crescente,

\[ x^3<-M \]

equivale a

\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]

Basta, pois, escolher

\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]

Segue-se que

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

Interpretação geométrica

Se

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \]

então, fixada qualquer reta horizontal \(y=M\), com \(M>0\), o gráfico situa-se, a partir de um certo ponto, acima dessa reta ao avançar para a direita.

Se, pelo contrário,

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]

o gráfico situa-se, a partir de um certo ponto, abaixo de qualquer reta \(y=-M\).

As mesmas interpretações valem quando \(x\to-\infty\), avançando, neste caso, para a esquerda ao longo do eixo horizontal.

Ao contrário dos limites finitos no infinito, nestes casos não existe assíntota horizontal: as ordenadas não se aproximam de um número real, mas crescem ou diminuem sem limite.

Propriedades fundamentais dos limites infinitos e dos limites no infinito

As propriedades dos limites permitem, muitas vezes, determinar o comportamento de somas, produtos e quocientes sem recorrer diretamente às definições formais.

Nas expressões que se seguem, os limites de \(f\) e de \(g\) entendem-se sempre em relação ao mesmo processo de limite, que pode ser um limite num ponto, um limite lateral ou um limite no infinito.

Quando surgem \(+\infty\) e \(-\infty\), é, no entanto, essencial lembrar que estes símbolos não representam números reais. Expressões como

\[ +\infty+L=+\infty \]

devem ser interpretadas como abreviaturas de propriedades relativas aos limites, e não como operações aritméticas comuns.

Permanência do sinal

Se uma função tende para \(+\infty\), então é, a partir de um certo ponto, positiva. Com efeito, a partir da definição podemos escolher, por exemplo, \(M=1\); segue-se que

\[ f(x)>1>0 \]

para todos os valores de \(x\) suficientemente próximos do ponto considerado ou, nos limites no infinito, suficientemente grandes se \(x\to+\infty\), ou suficientemente negativos se \(x\to-\infty\).

Analogamente, se

\[ f(x)\to-\infty, \]

então \(f(x)\) é, a partir de um certo ponto, negativa.

Esta propriedade é particularmente importante nos produtos e nos quocientes, porque permite estabelecer corretamente o sinal do resultado.

Soma com um limite finito

Suponhamos que, no mesmo processo de limite,

\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L, \]

com \(L\in\mathbb{R}\). Então

\[ f(x)+g(x)\to+\infty. \]

Analogamente,

\[ f(x)\to-\infty, \qquad g(x)\to L \]

implica

\[ f(x)+g(x)\to-\infty. \]

Em forma simbólica,

\[ +\infty+L=+\infty, \qquad -\infty+L=-\infty. \]

Um termo que tende para um valor finito não altera, portanto, o comportamento infinito da soma.

Soma de limites infinitos

Se duas funções tendem ambas para \(+\infty\), a sua soma tende para \(+\infty\):

\[ (+\infty)+(+\infty)=+\infty. \]

Analogamente,

\[ (-\infty)+(-\infty)=-\infty. \]

O caso em que os dois termos têm sinal oposto é, pelo contrário, diferente. A forma

\[ \infty-\infty \]

é indeterminada: o mero conhecimento dos limites dos dois termos não permite determinar o limite da diferença.

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),

\[ x^2-x\to+\infty, \qquad x-x^2\to-\infty, \]

enquanto

\[ (x+1)-x\to1. \]

Em todos estes casos, as duas quantidades envolvidas na subtração tendem para \(+\infty\), mas os resultados são diferentes.

Produtos

Se uma função tende para infinito e a outra tende para um número real não nulo, o valor absoluto do produto tende para infinito e o sinal determina-se com a habitual regra dos sinais.

Por exemplo, se

\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L>0, \]

então

\[ f(x)g(x)\to+\infty. \]

Se, pelo contrário, \(L<0\),

\[ f(x)g(x)\to-\infty. \]

Quando ambos os fatores tendem para infinito, vale analogamente

\[ (+\infty)(+\infty)=+\infty, \qquad (+\infty)(-\infty)=-\infty, \]

\[ (-\infty)(+\infty)=-\infty, \qquad (-\infty)(-\infty)=+\infty. \]

A situação muda se um dos fatores tende para \(0\). A forma

\[ 0\cdot\infty \]

é indeterminada e exige um estudo mais aprofundado da expressão.

Quociente com denominador infinito

Se

\[ f(x)\to L\in\mathbb{R} \]

e

\[ g(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad g(x)\to-\infty, \]

então

\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to0, \]

desde que o quociente esteja definido a partir de um certo ponto.

Em particular, para uma constante real \(L\),

\[ \frac{L}{\pm\infty}=0 \]

é uma escrita simbólica que resume esta propriedade.

Se, pelo contrário, o numerador e o denominador tendem ambos para infinito, surge a forma indeterminada

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

O resultado depende do comportamento relativo do numerador e do denominador, e não pode ser estabelecido apenas a partir da forma simbólica.

Recíproco

Se

\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad f(x)\to-\infty, \]

então

\[ \frac{1}{f(x)}\to0. \]

Reciprocamente, se uma função tende para zero mantendo, a partir de um certo ponto, um sinal definido, o recíproco tende para infinito com o sinal correspondente:

\[ f(x)\to0^+ \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to+\infty, \]

enquanto

\[ f(x)\to0^- \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to-\infty. \]

A verificação do sinal do denominador é, portanto, indispensável quando uma quantidade tende para zero.

As principais formas indeterminadas

As formas indeterminadas que ocorrem com maior frequência no estudo dos limites são

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty. \]

Uma forma indeterminada não representa o valor do limite. Indica apenas que as regras elementares não permitem concluir de imediato e que a expressão deve ser transformada ou estudada com maior atenção.

Por exemplo,

\[ \frac{x}{x}\to1, \qquad \frac{x}{x^2}\to0, \qquad \frac{x^2}{x}\to+\infty \]

quando \(x\to+\infty\), apesar de as três expressões apresentarem inicialmente a forma

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

Para resolver estes casos, é necessário analisar o comportamento relativo dos termos envolvidos. A seguir, veremos como a comparação entre funções e a identificação do termo dominante permitem abordar muitos destes limites.

Comparação entre funções e comportamento dominante

Nos limites no infinito, é muitas vezes útil identificar qual o termo que determina o comportamento global de uma expressão. Este princípio é particularmente importante quando surgem formas indeterminadas como

\[ \frac{\infty}{\infty} \qquad\text{ou}\qquad \infty-\infty. \]

A ideia fundamental consiste em comparar os termos presentes e identificar o dominante, isto é, aquele que tem um peso decisivo no limite considerado.

Termo dominante de um polinómio

Consideremos um polinómio de grau \(n\):

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0. \]

Quando \(x\to\pm\infty\), o comportamento do polinómio é determinado pelo termo de maior grau \(a_nx^n\). Com efeito, pondo \(x^n\) em evidência,

\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\frac{a_{n-2}}{x^2} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \right). \]

Todos os termos que contêm potências de \(x\) no denominador tendem para \(0\). Em consequência, o sinal e o comportamento infinito de \(P(x)\) dependem do coeficiente principal \(a_n\), da paridade de \(n\) e do sentido do limite.

Por exemplo,

\[ P(x)=-2x^5+3x^2-1 \]

tem como termo dominante \(-2x^5\). Portanto,

\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]

Funções racionais

Consideremos uma função racional

\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]

onde \(P\) e \(Q\) são polinómios, com \(Q\) não identicamente nulo. Para estudar o seu comportamento no infinito, basta comparar os termos de maior grau do numerador e do denominador.

Se o grau de \(P\) for menor do que o grau de \(Q\), então

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]

Se os dois polinómios tiverem o mesmo grau, o limite é igual ao quociente entre os respetivos coeficientes principais.

Por exemplo,

\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]

Se, pelo contrário, o grau do numerador for maior do que o do denominador, o valor absoluto do quociente cresce sem limite; o sinal deve ser determinado estudando os termos dominantes.

Por exemplo,

\[ \frac{2x^3+1}{x^2-4} \]

comporta-se, para valores grandes de \(|x|\), como \(2x\). Portanto,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=-\infty. \]

O teorema do confronto

O comportamento de uma função pode também deduzir-se comparando-a com uma função mais simples.

Se, a partir de um certo ponto,

\[ f(x)\geq g(x) \]

e

\[ g(x)\to+\infty, \]

então

\[ f(x)\to+\infty. \]

Analogamente, se, a partir de um certo ponto,

\[ f(x)\leq g(x) \]

e

\[ g(x)\to-\infty, \]

então

\[ f(x)\to-\infty. \]

A comparação e a identificação do termo dominante permitem, assim, resolver muitos limites no infinito sem aplicar mecanicamente regras simbólicas às formas indeterminadas.

Exemplos de limites infinitos e de limites no infinito

Terminamos com alguns exemplos representativos que reúnem as principais situações estudadas. O objetivo é reconhecer o tipo de limite, identificar o comportamento determinante da expressão e interpretar geometricamente o resultado sempre que isso seja possível.

Exemplo 1: limite infinito num ponto

Consideremos

\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]

Quando \(x\to2\), tem-se

\[ (x-2)^2\to0^+. \]

O denominador tende, portanto, para zero mantendo-se positivo. O seu recíproco assume valores positivos arbitrariamente grandes e, portanto,

\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]

O mesmo comportamento ocorre em ambos os lados:

\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]

A reta

\[ x=2 \]

é, portanto, uma assíntota vertical.

Exemplo 2: limites laterais infinitos de sinal oposto

Consideremos

\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}. \]

Quando \(x\to1^+\), o denominador tende para zero através de valores positivos:

\[ x-1\to0^+. \]

Em consequência,

\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]

Quando \(x\to1^-\), por sua vez,

\[ x-1\to0^-, \]

e, portanto,

\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]

Como os dois limites laterais não coincidem,

\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} \]

não existe. A reta \(x=1\) é, ainda assim, uma assíntota vertical, porque ambos os limites laterais são infinitos.

Exemplo 3: limite finito no infinito e assíntota horizontal

Calculemos

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}. \]

O numerador e o denominador tendem ambos para \(+\infty\), pelo que a expressão apresenta inicialmente a forma indeterminada

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

Dividamos o numerador e o denominador por \(x\):

\[ \frac{3x+1}{x+2} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{2}{x}}. \]

Como

\[ \frac{1}{x}\to0 \qquad\text{quando}\qquad x\to+\infty, \]

obtemos

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3. \]

O limite é finito, pelo que a reta

\[ y=3 \]

é uma assíntota horizontal direita.

Exemplo 4: limite infinito de um polinómio

Consideremos

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right). \]

O termo dominante do polinómio é

\[ 2x^4. \]

Como o expoente \(4\) é par,

\[ x^4\to+\infty \qquad\text{quando}\qquad x\to-\infty. \]

Além disso, o coeficiente principal é positivo. Os termos de grau inferior não alteram o comportamento dominante e, portanto,

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right)=+\infty. \]

Este exemplo mostra como, nos polinómios, geralmente basta identificar o termo de maior grau para determinar o comportamento no infinito.

Exemplo 5: forma indeterminada \(\infty-\infty\)

Calculemos

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Tem-se

\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad x\to+\infty, \]

pelo que surge a forma indeterminada

\[ \infty-\infty. \]

Para a eliminar, racionalizamos:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]

No numerador obtemos

\[ x^2+x-x^2=x, \]

e, portanto,

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Como, quando \(x\to+\infty\), se tem, a partir de um certo ponto, \(x>0\), podemos dividir o numerador e o denominador por \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Passando ao limite,

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

A forma \(\infty-\infty\) não representava, portanto, o resultado do limite: após uma transformação algébrica adequada, obtém-se um valor finito.

Exemplo 6: limite infinito com um termo oscilante

Consideremos

\[ f(x)=x+2\sin(x). \]

O termo \(2\sin(x)\) oscila continuamente, mas permanece limitado. Com efeito,

\[ -1\leq\sin(x)\leq1, \]

e, portanto,

\[ -2\leq2\sin(x)\leq2. \]

Somando \(x\),

\[ x-2\leq x+2\sin(x)\leq x+2. \]

Em particular,

\[ x+2\sin(x)\geq x-2. \]

Como

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty, \]

do teorema do confronto segue-se que

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x+2\sin(x)\right)=+\infty. \]

Este exemplo é importante porque mostra que uma função não precisa de ser monótona para tender para \(+\infty\). As oscilações são compatíveis com um limite infinito, desde que a função ultrapasse, a partir de um certo ponto, qualquer limiar positivo prefixado.

Esquema final

No estudo de um limite infinito ou de um limite no infinito, é útil proceder de modo ordenado:

1. identificar para que ponto, ou para que infinito, tende a variável;
2. se \(x\) tende para um ponto real, verificar se é necessário distinguir o comportamento à direita e à esquerda;
3. verificar com atenção o sinal das quantidades que tendem para zero;
4. reconhecer eventuais formas indeterminadas;
5. identificar, quando possível, o termo dominante ou aplicar uma comparação adequada;
6. interpretar geometricamente o resultado, verificando a eventual presença de assíntotas verticais ou horizontais.

As definições formais continuam a ser o fundamento da teoria. As propriedades dos limites, as transformações algébricas e as comparações permitem reconhecer de modo mais rápido qual dos comportamentos descritos pelas definições ocorre no caso considerado.