Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre lógica proposicional, concebida para aprender a reconhecer proposições, formalizar enunciados, construir tabelas de verdade e utilizar corretamente os principais conectivos lógicos.
Cada exercício é resolvido passo a passo, com atenção ao significado das fórmulas e não apenas ao resultado final. O objetivo é aprender a raciocinar de forma rigorosa sobre o valor de verdade dos enunciados e sobre as relações lógicas entre proposições.
Recordamos que uma proposição é um enunciado declarativo ao qual é possível atribuir, de forma não ambígua, um e um só valor de verdade:
\[ V \quad \text{ou} \quad F \]
Os principais conectivos da lógica proposicional são:
\[ \neg,\quad \land,\quad \lor,\quad \rightarrow,\quad \leftrightarrow \]
Eles permitem construir proposições compostas a partir de proposições mais simples.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determine quais dos seguintes enunciados são proposições:
\[ \text{a) } 7>3 \]
\[ \text{b) } \text{Feche a porta.} \]
\[ \text{c) } 5+2=10 \]
\[ \text{d) } x+1=4 \]
Solução
Os enunciados a) e c) são proposições. Os enunciados b) e d) não são proposições.
Resolução
Para determinar se um enunciado é uma proposição, devemos perguntar-nos se ele possui um valor de verdade bem determinado, ou seja, se é verdadeiro ou falso.
Consideremos o primeiro enunciado:
\[ 7>3 \]
Este enunciado é declarativo e podemos estabelecer claramente que é verdadeiro. Portanto, é uma proposição.
Consideremos agora:
\[ \text{Feche a porta.} \]
Este não é um enunciado declarativo, mas uma ordem. Não faz sentido dizer que é verdadeiro ou falso. Logo, não é uma proposição.
O terceiro enunciado é:
\[ 5+2=10 \]
Trata-se de um enunciado declarativo. Podemos estabelecer que é falso, porque:
\[ 5+2=7 \]
Mesmo um enunciado falso pode ser uma proposição: o que importa é que tenha um valor de verdade determinado.
Finalmente, consideremos:
\[ x+1=4 \]
Este enunciado contém uma variável livre, \(x\). Sem especificar o valor de \(x\), não podemos estabelecer se é verdadeiro ou falso.
Por exemplo, se \(x=3\), o enunciado é verdadeiro; se \(x=0\), o enunciado é falso.
Portanto, tal como está escrito, não é uma proposição.
Resumindo:
\[ \text{a) proposição verdadeira} \]
\[ \text{b) não proposição} \]
\[ \text{c) proposição falsa} \]
\[ \text{d) não proposição} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determine se as seguintes proposições são atômicas ou compostas:
\[ \text{a) } 4 \text{ é par} \]
\[ \text{b) } 4 \text{ é par e } 5 \text{ é ímpar} \]
\[ \text{c) } \text{Não está a chover} \]
\[ \text{d) } \text{Se estudar, então passo no exame} \]
Solução
a) atômica; b) composta; c) composta; d) composta.
Resolução
Uma proposição é atômica quando não contém conectivos lógicos e não é obtida combinando proposições mais simples.
Uma proposição é composta quando contém pelo menos um conectivo lógico, explícito ou implícito.
Consideremos:
\[ 4 \text{ é par} \]
Esta proposição não é construída combinando outras proposições. É, portanto, atômica.
Consideremos agora:
\[ 4 \text{ é par e } 5 \text{ é ímpar} \]
Aqui aparecem duas proposições:
\[ 4 \text{ é par} \]
e:
\[ 5 \text{ é ímpar} \]
unidas pela palavra “e”, que corresponde ao conectivo lógico de conjunção:
\[ \land \]
Portanto, a proposição é composta.
A proposição:
\[ \text{Não está a chover} \]
contém uma negação. Se indicarmos com \(p\) a proposição “está a chover”, então “não está a chover” escreve-se:
\[ \neg p \]
Logo, é composta.
Finalmente:
\[ \text{Se estudar, então passo no exame} \]
contém uma implicação lógica. Se colocarmos:
\[ p = \text{estudar} \]
e:
\[ q = \text{passo no exame} \]
então a proposição representa-se como:
\[ p \rightarrow q \]
Portanto, é composta.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Traduza para símbolos lógicos a seguinte proposição:
“O Marco estuda e a Laura lê.”
Use:
\[ p = \text{Marco estuda} \]
\[ q = \text{Laura lê} \]
Solução
\[ p \land q \]
Resolução
A proposição contém dois enunciados simples.
O primeiro é:
\[ \text{Marco estuda} \]
que é indicado por:
\[ p \]
O segundo é:
\[ \text{Laura lê} \]
que é indicado por:
\[ q \]
A palavra “e” indica que as duas proposições devem ser verdadeiras simultaneamente.
Em lógica proposicional isto corresponde à conjunção:
\[ \land \]
Portanto, a proposição:
“O Marco estuda e a Laura lê”
traduz-se por:
\[ p \land q \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Traduza para símbolos lógicos a seguinte proposição:
“Se chover, então fico em casa.”
Use:
\[ p = \text{chover} \]
\[ q = \text{fico em casa} \]
Solução
\[ p \rightarrow q \]
Resolução
A frase contém uma estrutura condicional:
“Se ..., então ...”
Em lógica proposicional esta estrutura é representada pela implicação:
\[ \rightarrow \]
O antecedente é a proposição que segue a palavra “se”:
\[ p = \text{chover} \]
O consequente é a proposição que segue “então”:
\[ q = \text{fico em casa} \]
Portanto, a proposição:
“Se chover, então fico em casa”
traduz-se por:
\[ p \rightarrow q \]
É importante notar que \(p\rightarrow q\) não significa que \(p\) e \(q\) sejam ambos verdadeiros, mas que a verdade de \(p\) obriga à verdade de \(q\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Traduza para linguagem natural a fórmula:
\[ \neg p \lor q \]
sabendo que:
\[ p = \text{estudar} \]
\[ q = \text{passo no exame} \]
Solução
“Não estudo ou passo no exame.”
Resolução
A fórmula é:
\[ \neg p \lor q \]
Analisemos os símbolos um a um.
A proposição \(p\) significa:
\[ \text{estudar} \]
Portanto:
\[ \neg p \]
significa:
\[ \text{não estudar} \]
A proposição \(q\) significa:
\[ \text{passo no exame} \]
O conectivo:
\[ \lor \]
representa a disjunção inclusiva, ou seja, “ou”.
Por isso:
\[ \neg p \lor q \]
lê-se:
“Não estudo ou passo no exame.”
Em lógica, esta disjunção é verdadeira também no caso em que ambas as proposições sejam verdadeiras, isto é, no caso em que seja verdadeiro que não estudo e seja verdadeiro que passo no exame.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Construa a tabela de verdade da fórmula:
\[ p \land q \]
Solução
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Resolução
A fórmula contém duas variáveis proposicionais:
\[ p \qquad \text{e} \qquad q \]
Uma tabela de verdade com duas variáveis deve conter:
\[ 2^2=4 \]
possíveis interpretações.
O conectivo:
\[ \land \]
representa a conjunção lógica.
A conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras simultaneamente.
Analisemos as quatro linhas.
Na primeira linha:
\[ p=V \qquad q=V \]
ambas as proposições são verdadeiras, portanto:
\[ p\land q = V \]
Na segunda linha:
\[ p=V \qquad q=F \]
uma das duas proposições é falsa. Consequentemente, a conjunção é falsa:
\[ p\land q = F \]
O mesmo acontece na terceira linha:
\[ p=F \qquad q=V \]
porque nem ambas as proposições são verdadeiras.
Finalmente, na última linha:
\[ p=F \qquad q=F \]
ambas são falsas, portanto também a conjunção é falsa.
Concluímos, portanto, que:
\[ p\land q \]
é verdadeira exclusivamente no caso:
\[ p=V \qquad q=V \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Construa a tabela de verdade da fórmula:
\[ p \lor q \]
Solução
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Resolução
O símbolo:
\[ \lor \]
representa a disjunção lógica inclusiva.
A disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das duas proposições é verdadeira.
Também neste caso, como as variáveis são duas, devemos considerar:
\[ 2^2=4 \]
possíveis interpretações.
Na primeira linha:
\[ p=V \qquad q=V \]
ambas as proposições são verdadeiras. Portanto:
\[ p\lor q = V \]
Na segunda linha:
\[ p=V \qquad q=F \]
pelo menos uma das duas proposições é verdadeira, logo:
\[ p\lor q = V \]
Na terceira linha:
\[ p=F \qquad q=V \]
também aqui pelo menos uma das duas proposições é verdadeira. Por conseguinte:
\[ p\lor q = V \]
Apenas na última linha:
\[ p=F \qquad q=F \]
ambas as proposições são falsas.
Consequentemente:
\[ p\lor q = F \]
Concluímos, portanto, que a disjunção inclusiva é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Construa a tabela de verdade da fórmula:
\[ p \rightarrow q \]
Solução
| \(p\) | \(q\) | \(p \rightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Resolução
A implicação:
\[ p\rightarrow q \]
lê-se:
“se \(p\), então \(q\)”.
Este conectivo é muitas vezes o mais delicado de interpretar corretamente.
A implicação é falsa exclusivamente no caso em que:
\[ p=V \]
e simultaneamente:
\[ q=F \]
De facto, neste caso o antecedente é verdadeiro mas o consequente é falso, pelo que a promessa lógica contida na implicação é violada.
Analisemos as quatro possibilidades.
Primeira linha:
\[ p=V \qquad q=V \]
A implicação é verdadeira.
Segunda linha:
\[ p=V \qquad q=F \]
Este é o único caso em que a implicação é falsa:
\[ p\rightarrow q = F \]
Terceira linha:
\[ p=F \qquad q=V \]
A implicação é considerada verdadeira.
De facto, quando o antecedente é falso, a implicação não é violada.
Quarta linha:
\[ p=F \qquad q=F \]
Também aqui a implicação é verdadeira, sempre porque o antecedente é falso.
Concluímos, portanto, que:
\[ p\rightarrow q \]
é falsa somente quando:
\[ p=V \qquad \text{e} \qquad q=F \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Determine o valor de verdade da fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow r \]
na interpretação:
\[ p=V,\qquad q=F,\qquad r=F \]
Solução
A fórmula é verdadeira.
Resolução
Consideremos a fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow r \]
Para avaliar corretamente a fórmula devemos proceder de dentro para fora.
A subfórmula mais interna é:
\[ p\land q \]
Substituímos os valores atribuídos:
\[ p=V,\qquad q=F \]
Obtemos:
\[ V\land F \]
Uma conjunção é verdadeira somente se ambas as proposições forem verdadeiras.
Como uma delas é falsa, segue-se:
\[ p\land q = F \]
A fórmula inicial torna-se, portanto:
\[ F\rightarrow F \]
Recordamos que uma implicação é falsa somente quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
Aqui, porém, o antecedente é falso.
Por conseguinte:
\[ F\rightarrow F = V \]
Concluímos, portanto, que a fórmula é verdadeira.
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Verifique mediante tabela de verdade que:
\[ \neg(p\land q)\equiv \neg p \lor \neg q \]
Solução
As duas fórmulas têm os mesmos valores de verdade em todas as interpretações, logo são logicamente equivalentes.
Resolução
Para demonstrar que duas fórmulas são logicamente equivalentes devemos verificar que assumem sempre o mesmo valor de verdade.
Construímos, portanto, uma tabela de verdade completa.
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \(\neg(p\land q)\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(\neg p\lor \neg q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
Observemos agora as duas últimas colunas:
\[ \neg(p\land q) \]
e:
\[ \neg p\lor\neg q \]
Elas coincidem em todas as linhas da tabela.
Consequentemente:
\[ \neg(p\land q)\equiv \neg p\lor\neg q \]
Esta equivalência recebe o nome de primeira lei de De Morgan.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Verifique mediante tabela de verdade que:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \]
Solução
As duas fórmulas têm os mesmos valores de verdade em todas as interpretações, logo são logicamente equivalentes.
Resolução
Queremos comparar as duas fórmulas:
\[ p\rightarrow q \]
e:
\[ \neg p \lor q \]
Duas fórmulas são logicamente equivalentes se assumirem o mesmo valor de verdade em todas as possíveis interpretações.
Como aparecem duas variáveis proposicionais, \(p\) e \(q\), devemos considerar:
\[ 2^2=4 \]
interpretações.
| \(p\) | \(q\) | \(p\rightarrow q\) | \(\neg p\) | \(\neg p\lor q\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
Comparemos agora a coluna de \(p\rightarrow q\) com a coluna de \(\neg p\lor q\).
Os valores são os mesmos em cada linha:
\[ V,\ F,\ V,\ V \]
Portanto, as duas fórmulas são logicamente equivalentes:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \]
Esta equivalência é muito importante porque permite eliminar a implicação e reescrevê-la usando apenas negação e disjunção.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determine se a fórmula:
\[ p\lor\neg p \]
é uma tautologia, uma contradição ou uma fórmula contingente.
Solução
A fórmula é uma tautologia.
Resolução
Uma fórmula é uma tautologia se for verdadeira em todas as interpretações.
Uma fórmula é uma contradição se for falsa em todas as interpretações.
Uma fórmula é contingente se for verdadeira em algumas interpretações e falsa noutras.
Consideremos:
\[ p\lor\neg p \]
A fórmula contém apenas uma variável proposicional, portanto devemos considerar:
\[ 2^1=2 \]
interpretações.
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\lor\neg p\) |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
Na primeira linha \(p\) é verdadeira e, portanto, a disjunção é verdadeira.
Na segunda linha \(p\) é falsa, mas \(\neg p\) é verdadeira; portanto, também neste caso a disjunção é verdadeira.
A fórmula resulta verdadeira em todas as interpretações.
Por conseguinte:
\[ p\lor\neg p \]
é uma tautologia.
Esta tautologia recebe o nome de princípio do terceiro excluído.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determine se a fórmula:
\[ p\land\neg p \]
é uma tautologia, uma contradição ou uma fórmula contingente.
Solução
A fórmula é uma contradição.
Resolução
Consideremos a fórmula:
\[ p\land\neg p \]
Ela afirma simultaneamente \(p\) e a sua negação.
Construímos a tabela de verdade.
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\land\neg p\) |
|---|---|---|
| V | F | F |
| F | V | F |
Na primeira linha \(p\) é verdadeira, mas \(\neg p\) é falsa. A conjunção é, portanto, falsa.
Na segunda linha \(p\) é falsa, enquanto \(\neg p\) é verdadeira. Também neste caso a conjunção é falsa.
A fórmula resulta falsa em todas as interpretações.
Por conseguinte:
\[ p\land\neg p \]
é uma contradição.
Esta lei recebe o nome de princípio de não contradição.
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Determine se a fórmula:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
é uma tautologia, uma contradição ou uma fórmula contingente.
Solução
A fórmula é uma tautologia.
Resolução
Para classificar a fórmula devemos construir a sua tabela de verdade completa.
A fórmula é:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
A subfórmula interna a calcular é:
\[ p\lor q \]
Construímos a tabela:
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) | \(p\rightarrow(p\lor q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | V |
| F | F | F | V |
Analisemos a coluna final.
Ela contém apenas valores verdadeiros:
\[ V,\ V,\ V,\ V \]
Portanto, a fórmula é verdadeira em todas as interpretações.
Por conseguinte:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
é uma tautologia.
Do ponto de vista intuitivo, se \(p\) é verdadeira, então é certamente verdadeira também a disjunção \(p\lor q\), porque uma disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos um dos seus componentes é verdadeiro.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Determine se a fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
é uma tautologia, uma contradição ou uma fórmula contingente.
Solução
A fórmula é uma tautologia.
Resolução
A fórmula a analisar é:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
Ela contém uma conjunção no primeiro membro da implicação. Antes de avaliar a implicação, devemos portanto calcular:
\[ p\land q \]
Construímos a tabela de verdade completa:
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \((p\land q)\rightarrow p\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Observemos a coluna final:
\[ V,\ V,\ V,\ V \]
A fórmula é verdadeira em todas as interpretações.
Portanto:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
é uma tautologia.
O significado lógico é simples: se forem verdadeiras simultaneamente \(p\) e \(q\), então em particular é verdadeira \(p\).
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Verifique se:
\[ p\land q \models p \]
Solução
Sim, \(p\) é consequência lógica de \(p\land q\).
Resolução
Escrever:
\[ p\land q \models p \]
significa afirmar que toda a interpretação que torna verdadeira a premissa \(p\land q\) torna verdadeira também a conclusão \(p\).
Devemos, portanto, considerar as interpretações em que:
\[ p\land q \]
é verdadeira.
Uma conjunção é verdadeira somente quando ambos os seus membros são verdadeiros. Logo:
\[ p\land q = V \quad \Longleftrightarrow \quad p=V \ \text{e}\ q=V \]
Em todas as interpretações em que \(p\land q\) é verdadeira, resulta necessariamente:
\[ p=V \]
Portanto, não existe qualquer interpretação em que a premissa seja verdadeira e a conclusão seja falsa.
Por conseguinte:
\[ p\land q \models p \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Verifique se:
\[ p \models p\lor q \]
Solução
Sim, \(p\lor q\) é consequência lógica de \(p\).
Resolução
A notação:
\[ p \models p\lor q \]
significa que toda a interpretação que torna verdadeira a premissa \(p\) deve tornar verdadeira também a conclusão \(p\lor q\).
Suponhamos, portanto, que a premissa é verdadeira:
\[ p=V \]
A conclusão é:
\[ p\lor q \]
Uma disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das duas proposições é verdadeira.
Como \(p\) já é verdadeira, a disjunção:
\[ p\lor q \]
é necessariamente verdadeira, independentemente do valor de \(q\).
De facto:
\[ V\lor V=V \]
e:
\[ V\lor F=V \]
Portanto, todo o modelo de \(p\) é também um modelo de \(p\lor q\).
Por conseguinte:
\[ p \models p\lor q \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Verifique se:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
Solução
Sim, \(q\) é consequência lógica das premissas \(p\rightarrow q\) e \(p\).
Resolução
A notação:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
significa que toda a interpretação que torna verdadeiras ambas as premissas deve tornar verdadeira também a conclusão.
As premissas são:
\[ p\rightarrow q \]
e:
\[ p \]
Suponhamos, portanto, que ambas são verdadeiras.
Da segunda premissa sabemos que:
\[ p=V \]
Além disso, a primeira premissa afirma que:
\[ p\rightarrow q=V \]
Recordamos que uma implicação com antecedente verdadeiro é verdadeira somente se também o consequente for verdadeiro.
Como o antecedente \(p\) é verdadeiro, para manter verdadeira a implicação deve necessariamente ser:
\[ q=V \]
Portanto, toda a interpretação que torna verdadeiras as premissas torna verdadeira também a conclusão.
Por conseguinte:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
Esta é a forma semântica do modus ponens.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Reduza a fórmula seguinte usando as equivalências lógicas:
\[ \neg(p\rightarrow q) \]
Solução
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv p\land\neg q \]
Resolução
Partimos da fórmula:
\[ \neg(p\rightarrow q) \]
Para a simplificar, eliminamos primeiro a implicação.
Recordamos a equivalência fundamental:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
Substituindo obtemos:
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv \neg(\neg p\lor q) \]
Agora aplicamos a lei de De Morgan:
\[ \neg(A\lor B)\equiv \neg A\land\neg B \]
No nosso caso:
\[ A=\neg p \qquad \text{e} \qquad B=q \]
Portanto:
\[ \neg(\neg p\lor q)\equiv \neg\neg p\land\neg q \]
Finalmente usamos a dupla negação:
\[ \neg\neg p\equiv p \]
Obtemos:
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv p\land\neg q \]
O resultado é coerente também com o significado da implicação: \(p\rightarrow q\) é falsa somente quando \(p\) é verdadeira e \(q\) é falsa.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Transforme a fórmula:
\[ p\rightarrow(q\lor r) \]
numa fórmula equivalente sem o conectivo \(\rightarrow\).
Solução
\[ p\rightarrow(q\lor r)\equiv \neg p\lor q\lor r \]
Resolução
A fórmula de partida é:
\[ p\rightarrow(q\lor r) \]
Queremos eliminar o conectivo de implicação.
Usamos a equivalência:
\[ A\rightarrow B\equiv \neg A\lor B \]
No nosso caso:
\[ A=p \]
e:
\[ B=q\lor r \]
Aplicando a equivalência obtemos:
\[ p\rightarrow(q\lor r)\equiv \neg p\lor(q\lor r) \]
Pela associatividade da disjunção, podemos omitir os parênteses:
\[ \neg p\lor(q\lor r)\equiv \neg p\lor q\lor r \]
Portanto, a fórmula equivalente sem implicação é:
\[ \neg p\lor q\lor r \]
Esta fórmula é uma cláusula disjuntiva, isto é, uma disjunção de literais, e pode ser vista também como uma forma normal conjuntiva composta por uma única cláusula.