Monómios e Polinómios: Definições, Propriedades e Operações

Definição de Monómio

Um monómio nas variáveis \(x_1,x_2,\dots,x_n\) é uma expressão algébrica constituída pelo produto de um coeficiente numérico e, caso existam, de potências das variáveis com expoentes inteiros não negativos.

Uma vez reduzido à forma normal, um monómio pode escrever-se como

\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]

onde \(a\) é um número real, chamado coeficiente, \(x_1,x_2,\dots,x_n\) são as variáveis e os expoentes \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) são números inteiros não negativos, isto é, elementos do conjunto

\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]

São monómios, por exemplo,

\[ 5x^2y^3,\qquad -\frac{3}{4}ab^2,\qquad x^4,\qquad -7. \]

No monómio \(x^4\) o coeficiente \(1\) não se escreve; de modo análogo, no monómio \(-x^4\) o coeficiente é \(-1\).

Um monómio pode não estar inicialmente escrito na forma normal. Consideremos, por exemplo,

\[ 2x\cdot 3xy^2. \]

Multiplicando os fatores numéricos e agrupando as potências da mesma variável, obtém-se

\[ 2x\cdot 3xy^2=6x^2y^2. \]

A expressão dada representa, portanto, um monómio, uma vez que é constituída exclusivamente por produtos de fatores numéricos e potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos.

Todo o número real é igualmente um monómio. Um número real diferente de zero designa-se por monómio constante, visto que não contém variáveis, ao passo que o número \(0\) recebe o nome de monómio nulo.

A condição imposta aos expoentes é essencial. Não são monómios, por exemplo,

\[ \frac{1}{x},\qquad x^{-2},\qquad \sqrt{x},\qquad x^{\frac{3}{2}},\qquad 2^x. \]

Com efeito, nas duas primeiras expressões a variável surge com expoente negativo; nas duas seguintes surge com expoente não inteiro; na última figura como expoente e não como base de uma potência.

Em particular, na forma de um monómio uma variável não pode figurar no denominador, sob um radical nem no expoente. Já um denominador puramente numérico é admissível, pois pode ser incorporado no coeficiente. Por exemplo,

\[ \frac{x^2y}{3}=\frac{1}{3}x^2y \]

é um monómio.

Nem todas as expressões algébricas são monómios. A expressão

\[ 3x^2y+1 \]

é uma soma de dois monómios não semelhantes, não podendo, por isso, reduzir-se a um único monómio. Trata-se, pelo contrário, de um polinómio, como veremos nas secções seguintes.

Forma Normal, Coeficiente e Parte Literal

Um monómio está escrito na forma normal quando todos os seus fatores numéricos foram multiplicados entre si e cada variável figura uma única vez, elevada ao seu próprio expoente.

Para obter a forma normal recorre-se à propriedade comutativa e à propriedade associativa da multiplicação, juntamente com a regra do produto de potências com a mesma base:

\[ x^m x^n=x^{m+n}. \]

Consideremos o monómio

\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]

Multiplicando os fatores numéricos e somando os expoentes das potências com a mesma base, obtemos

\[ 2\cdot(-3)\cdot x^{2+4}y^{1+2}=-6x^6y^3. \]

A forma normal do monómio dado é, por conseguinte,

\[ -6x^6y^3. \]

A ordem dos fatores literais não altera o monómio, visto que a multiplicação é comutativa. As expressões

\[ 3x^2y,\qquad 3yx^2,\qquad 3xyx \]

representam, pois, o mesmo monómio. As duas primeiras já se encontram escritas na forma normal, ao passo que a terceira não, porque a variável \(x\) figura em dois fatores distintos. Para uniformizar a escrita, as variáveis dispõem-se geralmente por ordem alfabética.

Num monómio não nulo escrito na forma normal, o fator numérico, incluindo o sinal, recebe o nome de coeficiente; o produto das potências das variáveis constitui, por sua vez, a parte literal.

No monómio

\[ -6x^6y^3 \]

o coeficiente é \(-6\), enquanto a parte literal é

\[ x^6y^3. \]

Quando o coeficiente é \(1\), é omitido; quando é \(-1\), escreve-se apenas o sinal menos:

\[ x^2y=1\cdot x^2y, \qquad -x^2y=-1\cdot x^2y. \]

Um monómio constante não nulo tem por coeficiente o próprio número e por parte literal o fator \(1\). No monómio

\[ -7, \]

por exemplo, o coeficiente é \(-7\) e a parte literal é \(1\).

As variáveis com expoente \(0\) não se indicam na forma normal, uma vez que correspondem ao fator multiplicativo \(1\). Na parte literal figuram, por conseguinte, apenas as variáveis cujo expoente é positivo.

Consideremos, por último,

\[ -\frac{2}{3}x\cdot 9xy^2. \]

A redução à forma normal conduz a

\[ -\frac{2}{3}\cdot 9\cdot x^2y^2=-6x^2y^2. \]

Fixada uma ordem para as variáveis, todo o monómio não nulo possui uma única forma normal. Esta unicidade permite comparar de imediato dois monómios e será fundamental para definir os monómios iguais, semelhantes e simétricos.

O monómio nulo constitui um caso particular. Com efeito, qualquer produto cujo coeficiente seja \(0\) representa a mesma expressão nula:

\[ 0x^2y=0a^5b^3=0. \]

Por este motivo, escreve-se simplesmente como \(0\) e não se lhe atribui uma parte literal determinada.

Grau de um Monómio

Os expoentes que figuram na parte literal de um monómio descrevem o seu grau. Esta noção permite medir quantas vezes, no total ou relativamente a uma variável particular, os fatores literais intervêm no produto.

Consideremos o monómio não nulo

\[ -5x^2y^3z. \]

O grau relativamente a uma variável é o expoente com que essa variável figura na forma normal do monómio. Assim, o monómio anterior tem grau \(2\) relativamente a \(x\), grau \(3\) relativamente a \(y\) e grau \(1\) relativamente a \(z\).

Se uma variável não figura na parte literal, o seu expoente considera-se igual a \(0\). O mesmo monómio tem, portanto, grau \(0\) relativamente à variável \(t\), por exemplo.

O grau total, ou simplesmente grau, de um monómio não nulo é a soma dos expoentes de todas as variáveis presentes na sua forma normal.

No nosso exemplo, tem-se

\[ 2+3+1=6. \]

O monómio

\[ -5x^2y^3z \]

é, pois, um monómio de grau total \(6\).

O coeficiente não influi no grau. Os monómios

\[ 4x^2y^3,\qquad -7x^2y^3,\qquad \frac{1}{2}x^2y^3 \]

têm todos grau total \(5\), porque possuem a mesma parte literal.

Também a ordem por que se escrevem as variáveis é irrelevante. Por exemplo,

\[ 3a^2bc^4 \]

tem grau \(2\) relativamente a \(a\), grau \(1\) relativamente a \(b\), grau \(4\) relativamente a \(c\) e grau total

\[ 2+1+4=7. \]

Um monómio constante não nulo tem parte literal igual a \(1\) e não contém variáveis com expoente positivo. O seu grau é, por conseguinte, \(0\). Por exemplo,

\[ \deg(-8)=0. \]

O monómio nulo representa, pelo contrário, um caso particular. Uma vez que pode escrever-se formalmente atribuindo-lhe qualquer parte literal,

\[ 0=0x=0x^2y^5=0a^{10}b, \]

não é possível associar-lhe um grau determinado. Por este motivo, na álgebra elementar o grau do monómio nulo fica indefinido.

A distinção entre grau relativamente a uma variável e grau total torna-se particularmente importante quando estão presentes várias variáveis. No monómio

\[ 2x^4y^2, \]

o grau relativamente a \(x\) é \(4\), o grau relativamente a \(y\) é \(2\), ao passo que o grau total é \(6\). As três informações não devem, pois, ser confundidas.

Monómios Iguais, Semelhantes e Simétricos

Para comparar corretamente dois monómios é necessário escrevê-los previamente na forma normal. Só assim é possível reconhecer de imediato o coeficiente e a parte literal de cada um.

Dois monómios não nulos dizem-se iguais quando, uma vez reduzidos à forma normal, possuem o mesmo coeficiente e a mesma parte literal.

Consideremos, por exemplo,

\[ 2x^2\cdot 3y \qquad\text{e}\qquad 6yx^2. \]

Reduzindo ambos os monómios à forma normal, obtém-se

\[ 2x^2\cdot 3y=6x^2y, \qquad 6yx^2=6x^2y. \]

Os dois monómios são, portanto, iguais, ainda que inicialmente estivessem escritos de maneira diferente.

Dois monómios não nulos dizem-se, por sua vez, semelhantes quando possuem a mesma parte literal, independentemente dos respetivos coeficientes.

Os monómios

\[ 3x^2y,\qquad -7x^2y,\qquad \frac{1}{2}x^2y \]

são semelhantes, porque todos têm parte literal

\[ x^2y. \]

Não são semelhantes, pelo contrário, os monómios

\[ 3x^2y \qquad\text{e}\qquad 3xy^2, \]

visto que as variáveis \(x\) e \(y\) figuram com expoentes diferentes.

Dois monómios iguais são necessariamente semelhantes, mas dois monómios semelhantes não são necessariamente iguais. Para serem iguais, com efeito, devem coincidir tanto a parte literal como o coeficiente.

Dois monómios não nulos dizem-se simétricos quando têm a mesma parte literal e coeficientes simétricos.

Por exemplo,

\[ 5a^2b^3 \qquad\text{e}\qquad -5a^2b^3 \]

são monómios simétricos. A sua soma é igual ao monómio nulo:

\[ 5a^2b^3-5a^2b^3=0. \]

Mais geralmente, se

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]

o monómio simétrico de \(M\) é

\[ -M=-ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]

O monómio nulo constitui mais uma vez um caso particular. É igual unicamente a si próprio e é também o seu próprio simétrico, visto que

\[ -0=0. \]

No entanto, não se lhe atribui uma parte literal determinada; por este motivo, quando se fala de monómios semelhantes consideram-se habitualmente monómios não nulos.

A semelhança entre monómios é fundamental nas operações algébricas: no interior de uma soma algébrica, apenas os monómios semelhantes podem ser agrupados diretamente num único termo. Por exemplo,

\[ 3x^2y-7x^2y=-4x^2y, \]

ao passo que na expressão

\[ 3x^2y-7xy^2 \]

os dois termos permanecem distintos, porque não são semelhantes.

Operações com Monómios

As operações com monómios assentam nas propriedades dos números reais, da multiplicação e das potências. Antes de efetuar qualquer cálculo, convém reduzir os monómios à forma normal, de modo a reconhecer de imediato o coeficiente e a parte literal.

Adição e Subtração

Na adição e na subtração, os monómios semelhantes podem ser agrupados num único monómio, porque possuem a mesma parte literal.

Nesse caso, somam-se algebricamente os coeficientes e conserva-se inalterada a parte literal:

\[ ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} + bx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} = (a+b)x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]

Por exemplo,

\[ 7x^2y-3x^2y=(7-3)x^2y=4x^2y. \]

De modo análogo,

\[ -5a^3b+2a^3b=(-5+2)a^3b=-3a^3b. \]

Se a soma dos coeficientes é nula, o resultado é o monómio nulo:

\[ 4x^2y-4x^2y=0. \]

Quando dois monómios não nulos não são semelhantes, a sua soma continua a ser uma expressão algébrica perfeitamente definida, mas os dois termos não podem ser agrupados num único monómio. Por exemplo,

\[ 3x^2y+5xy^2 \]

não é um monómio, porque as partes literais \(x^2y\) e \(xy^2\) são diferentes.

Multiplicação

O produto de dois monómios é sempre um monómio. Para o calcular, multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes das potências com a mesma base.

Se

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \qquad\text{e}\qquad N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \]

então

\[ MN = abx_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n+\beta_n}. \]

Consideremos, por exemplo,

\[ (2x^2y)(-3xy^4). \]

Multiplicando os coeficientes e aplicando a regra do produto de potências com a mesma base, obtemos

\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^{2+1}y^{1+4} = -6x^3y^5. \]

Se os dois monómios são não nulos, o grau do produto é igual à soma dos seus graus:

\[ \deg(MN)=\deg(M)+\deg(N). \]

No exemplo anterior, os dois fatores têm respetivamente grau \(3\) e grau \(5\), ao passo que o produto tem grau

\[ 3+5=8. \]

Potência

Para elevar um monómio a um expoente inteiro positivo, eleva-se o coeficiente a esse expoente e multiplica-se cada expoente da parte literal pelo expoente da potência.

Se

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]

e \(m\) é um inteiro positivo, então

\[ M^m = a^m x_1^{m\alpha_1}\cdots x_n^{m\alpha_n}. \]

Por exemplo,

\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3x^{3\cdot3}y^{2\cdot3} = -8x^9y^6. \]

O sinal do resultado depende do sinal do coeficiente e da paridade do expoente. Se o coeficiente é diferente de zero, uma potência de expoente par tem coeficiente positivo, ao passo que uma potência de expoente ímpar conserva o sinal do coeficiente original. Se o monómio é nulo, qualquer potência sua de expoente inteiro positivo continua a ser igual a \(0\).

Se o monómio é não nulo, o grau da sua potência é igual ao produto do grau do monómio pelo expoente:

\[ \deg(M^m)=m\deg(M). \]

Para todo o monómio não nulo, estabelece-se ainda

\[ M^0=1. \]

O caso \(0^0\), pelo contrário, não se define.

Divisão

A divisão de monómios nem sempre produz um monómio. Dados dois monómios não nulos

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]

e

\[ N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \qquad b\neq0, \]

diz-se que \(M\) é divisível por \(N\) quando existe um monómio \(Q\) tal que

\[ M=NQ. \]

Para que tal monómio exista, o expoente de cada variável no dividendo deve ser maior ou igual ao expoente correspondente no divisor. Deve, portanto, verificar-se

\[ \alpha_1\geq\beta_1,\qquad \alpha_2\geq\beta_2,\qquad \dots,\qquad \alpha_n\geq\beta_n. \]

Quando estas condições se verificam, o monómio quociente é

\[ Q=\frac{a}{b}x_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n-\beta_n}. \]

Por exemplo, o monómio \(12x^5y^3\) é divisível por \(3x^2y\), pois o monómio quociente é

\[ 4x^{5-2}y^{3-1}=4x^3y^2, \]

e, com efeito,

\[ (3x^2y)(4x^3y^2)=12x^5y^3. \]

O monómio \(6x^2y\), pelo contrário, não é divisível por \(3x^4\), porque o cálculo dos expoentes exigiria

\[ x^{2-4}=x^{-2}, \]

que não pode figurar na parte literal de um monómio.

O monómio nulo é divisível por todo o monómio não nulo e tem por quociente o monómio nulo. A divisão pelo monómio nulo nunca está definida.

Se \(M\) e \(N\) são monómios não nulos e \(M\) é divisível por \(N\), o grau do quociente é dado pela diferença dos seus graus:

\[ \deg(Q)=\deg(M)-\deg(N). \]

A adição, a subtração, a multiplicação, a potência e a divisão não se comportam, pois, do mesmo modo. Na adição e na subtração só podem ser agrupados diretamente os monómios semelhantes; o produto e toda a potência de expoente inteiro positivo continuam a ser monómios; a potência de expoente \(0\) está definida apenas para os monómios não nulos; por último, um monómio não nulo é divisível por outro monómio não nulo apenas quando todos os expoentes do dividendo são maiores ou iguais aos expoentes correspondentes do divisor.

Definição de Polinómio

Um polinómio nas variáveis \(x_1,x_2,\dots,x_n\) é uma soma algébrica finita de monómios nessas mesmas variáveis.

Na forma geral, um polinómio pode, portanto, escrever-se como

\[ P(x_1,x_2,\dots,x_n)=M_1+M_2+\cdots+M_k, \]

onde \(M_1,M_2,\dots,M_k\) são monómios e \(k\) é um número inteiro positivo.

São polinómios, por exemplo,

\[ 3x^2y-5xy^3+7, \qquad a^4-2a^2b+b^2, \qquad 4x^3-x+1. \]

Cada uma das expressões anteriores é formada por um número finito de monómios ligados pelos sinais \(+\) e \(-\). A subtração não exige uma definição à parte, visto que subtrair um monómio equivale a adicionar o seu simétrico:

\[ 3x^2-5x=3x^2+(-5x). \]

Todo o monómio não nulo é, pois, também um polinómio formado por um só termo. Em particular,

\[ 6x^3y^2\qquad\text{e}\qquad -4 \]

são polinómios. Também o monómio nulo representa um polinómio, chamado polinómio nulo; na sua forma reduzida, não possui qualquer termo não nulo.

No caso de uma só variável \(x\), um polinómio pode escrever-se na forma

\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]

onde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) são números reais e os expoentes de \(x\) são inteiros não negativos.

Não é necessário que todos os coeficientes sejam diferentes de zero. Por exemplo,

\[ P(x)=2x^5-3x^2+1 \]

também pode escrever-se como

\[ P(x)=1+0x-3x^2+0x^3+0x^4+2x^5. \]

Os termos cujo coeficiente é nulo são normalmente omitidos, porque não contribuem para o valor da expressão.

A palavra finita é essencial. Uma expressão que contenha uma soma infinita de potências, como

\[ 1+x+x^2+x^3+\cdots, \]

não é um polinómio, visto que possui um número infinito de termos.

Também as condições já encontradas para os monómios continuam a ser válidas. Não são polinómios, por exemplo,

\[ \frac{1}{x}+2, \qquad \sqrt{x}+x, \qquad x^{\frac{3}{2}}-1, \qquad 2^x+x. \]

Nestas expressões, a variável figura, respetivamente, com expoente negativo, sob um radical, com expoente não inteiro ou como expoente de uma potência.

É importante observar que um polinómio pode apresentar-se sob formas aparentemente diferentes. Por exemplo,

\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]

é um polinómio, mas contém termos que podem ser agrupados. Depois de somados os monómios semelhantes, torna-se

\[ x^2-2x+4. \]

As duas expressões representam o mesmo polinómio. A segunda está escrita na forma reduzida, noção que aprofundaremos na secção seguinte.

Termos, Coeficientes e Forma Reduzida

Os monómios que compõem um polinómio recebem o nome de termos do polinómio. Consideremos, por exemplo,

\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]

Os seus termos são

\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]

O sinal de cada termo está incluído no respetivo coeficiente. No polinómio anterior, portanto, os coeficientes são respetivamente

\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]

O termo desprovido de variáveis recebe o nome de termo independente. No exemplo considerado, o termo independente é \(-7\). Se um polinómio não contém qualquer termo constante, o seu termo independente é igual a \(0\).

Um polinómio pode conter termos semelhantes, isto é, monómios com a mesma parte literal. Nesse caso, tais termos podem ser agrupados somando algebricamente os respetivos coeficientes.

Consideremos o polinómio

\[ 3x^2y-5xy^2+4x^2y+2xy^2-7. \]

Os termos \(3x^2y\) e \(4x^2y\) são semelhantes, tal como os termos \(-5xy^2\) e \(2xy^2\). Agrupando-os, obtém-se

\[ (3+4)x^2y+(-5+2)xy^2-7, \]

e, por conseguinte,

\[ 7x^2y-3xy^2-7. \]

Um polinómio diz-se escrito na forma reduzida quando todos os seus termos são monómios na forma normal e não figuram dois termos semelhantes.

Reduzir um polinómio significa, pois, reduzir antes de mais cada um dos seus termos à forma normal e, em seguida, agrupar os termos semelhantes. Os termos cujo coeficiente resulta igual a \(0\) são eliminados.

Por exemplo,

\[ 2x\cdot 3xy-4x^2y+x^2y+5 \]

torna-se primeiro

\[ 6x^2y-4x^2y+x^2y+5, \]

e depois

\[ (6-4+1)x^2y+5=3x^2y+5. \]

A forma reduzida permite reconhecer de imediato a estrutura efetiva de um polinómio. Com efeito, duas expressões aparentemente diferentes representam o mesmo polinómio quando, uma vez reduzidas, apresentam os mesmos termos com os mesmos coeficientes.

Por exemplo,

\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]

e

\[ x^2-2x+4 \]

representam o mesmo polinómio, visto que a primeira expressão se reduz à segunda.

No caso de um polinómio numa só variável,

\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]

o número \(a_k\) é o coeficiente de \(x^k\). Se \(a_k\neq0\), o monómio \(a_kx^k\) é um termo do polinómio e tem grau \(k\); se, pelo contrário, \(a_k=0\), o termo correspondente é omitido na escrita.

Por exemplo, no polinómio

\[ P(x)=3x^4-2x+1, \]

os coeficientes de \(x^3\) e de \(x^2\) são ambos nulos. O polinómio pode, com efeito, escrever-se também na forma

\[ P(x)=3x^4+0x^3+0x^2-2x+1. \]

Os termos com coeficiente nulo são normalmente omitidos, mas considerá-los implicitamente presentes permite comparar com maior facilidade polinómios diferentes e efetuar ordenadamente as operações entre eles.

Grau e Classificação dos Polinómios

Grau de um Polinómio

O grau de um polinómio não nulo é o maior grau total dos monómios que figuram na sua forma reduzida.

É, portanto, necessário reduzir o polinómio antes de determinar o seu grau, porque a soma de termos semelhantes pode alterar ou eliminar os termos de grau mais elevado.

Consideremos, por exemplo,

\[ P(x)=x^3-x^3+2x+1. \]

Os dois termos de terceiro grau anulam-se e o polinómio reduz-se a

\[ P(x)=2x+1. \]

O seu grau é, pois, \(1\), e não \(3\).

No caso de um polinómio numa só variável escrito na forma reduzida

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0, \]

o grau é o maior expoente com que figura a variável \(x\):

\[ \deg(P)=n. \]

O coeficiente \(a_n\) recebe o nome de coeficiente principal, ao passo que o termo \(a_nx^n\) se designa por termo principal.

Por exemplo, no polinómio

\[ P(x)=-3x^5+2x^2-x+4, \]

o grau é \(5\), o coeficiente principal é \(-3\) e o termo principal é \(-3x^5\).

Um polinómio constante não nulo tem grau \(0\). Por exemplo,

\[ \deg(7)=0. \]

O polinómio nulo constitui, pelo contrário, um caso particular. Uma vez que pode escrever-se atribuindo-lhe termos de qualquer grau,

\[ 0=0x=0x^2=0x^{10}, \]

na álgebra elementar o seu grau fica indefinido.

Para um polinómio em várias variáveis pode considerar-se também o grau relativamente a uma dada variável, definido como o maior expoente com que essa variável figura nos termos não nulos da forma reduzida.

Consideremos o polinómio

\[ P(x,y)=3x^2y-5xy^3+7. \]

Os três termos têm respetivamente grau total \(3\), \(4\) e \(0\). O grau total do polinómio é, portanto,

\[ \deg(P)=4. \]

O grau relativamente a \(x\) é, por sua vez, \(2\), ao passo que o grau relativamente a \(y\) é \(3\).

Classificação segundo o Número de Termos

Uma vez reduzido um polinómio não nulo, pode classificar-se segundo o número dos seus termos.

Um polinómio formado por um só termo não nulo é um monómio; um polinómio formado por dois termos é um binómio; um polinómio formado por três termos é um trinómio.

Por exemplo,

\[ 4x^3,\qquad x^2-1,\qquad x^2+3x+2 \]

são respetivamente um monómio, um binómio e um trinómio.

O polinómio nulo constitui um caso particular: coincide com o monómio nulo, mas na sua forma reduzida não possui termos não nulos e não se classifica segundo o número de termos.

Também esta classificação deve ser efetuada após a redução. A expressão

\[ x^2+3x-2x+1 \]

contém inicialmente quatro termos, mas reduz-se a

\[ x^2+x+1, \]

sendo, por conseguinte, um trinómio.

Polinómios Ordenados e Completos

Um polinómio numa variável diz-se ordenado quando os seus termos estão dispostos segundo as potências crescentes ou decrescentes da variável.

O polinómio

\[ 3x^4-2x^3+x-5 \]

está ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\), ao passo que

\[ -5+x-2x^3+3x^4 \]

está ordenado segundo as potências crescentes.

Um polinómio de grau \(n\) diz-se completo relativamente à variável \(x\) quando contém, com coeficientes não nulos, todas as potências de \(x\) desde \(n\) até \(0\).

Por exemplo,

\[ 2x^4-x^3+3x^2+x-5 \]

é um polinómio completo do quarto grau, porque contém as potências

\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]

O polinómio

\[ 2x^4+3x-5 \]

é, pelo contrário, incompleto, visto que não contém termos em \(x^3\) nem em \(x^2\). Os coeficientes correspondentes a essas potências são implicitamente iguais a \(0\).

Polinómios Homogéneos

Um polinómio não nulo em várias variáveis diz-se homogéneo quando todos os seus termos têm o mesmo grau total.

Por exemplo,

\[ P(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3 \]

é homogéneo de grau \(3\), porque cada termo tem grau total \(3\).

O polinómio

\[ Q(x,y)=x^2+xy+y \]

não é, pelo contrário, homogéneo: os dois primeiros termos têm grau \(2\), ao passo que o termo \(y\) tem grau \(1\).

Polinómios Mónicos

Um polinómio não nulo numa variável diz-se mónico quando o seu coeficiente principal é igual a \(1\).

O polinómio

\[ x^4-3x^2+2x-1 \]

é mónico, ao passo que

\[ 2x^4-3x^2+2x-1 \]

não o é, porque o seu coeficiente principal é \(2\).

O grau, o número de termos, a ordenação, a homogeneidade e as propriedades de ser completo ou mónico descrevem aspetos diferentes da estrutura de um polinómio. Um mesmo polinómio pode, portanto, pertencer simultaneamente a várias categorias: por exemplo, pode ser um trinómio, ordenado, incompleto e mónico.

Operações com Polinómios

A soma, a diferença e o produto de dois polinómios são ainda polinómios. Consequentemente, também toda a potência de um polinómio com expoente inteiro positivo é um polinómio. Diz-se, por isso, que o conjunto dos polinómios é fechado relativamente à adição, à subtração e à multiplicação.

Antes de efetuar os cálculos, convém reduzir cada polinómio e, no caso de polinómios numa só variável, ordenar os seus termos segundo as potências crescentes ou decrescentes da variável.

Adição

Para somar dois polinómios, agrupam-se os termos semelhantes, somando algebricamente os respetivos coeficientes.

Consideremos

\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]

e

\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]

Dispondo os termos semelhantes na mesma ordem, obtemos

\[ \begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6)\\ &=(3-1)x^3+(-2+4)x^2+(5-3)x+(-1+6)\\ &=2x^3+2x^2+2x+5. \end{aligned} \]

A soma também pode ser efetuada dispondo verticalmente os polinómios, com o cuidado de colocar na mesma coluna os termos com a mesma parte literal.

Para dois polinómios não nulos \(P\) e \(Q\), o grau da soma satisfaz

\[ \deg(P+Q)\leq\max\{\deg(P),\deg(Q)\}, \]

desde que \(P+Q\) não seja o polinómio nulo.

O grau da soma pode ser menor do que o maior dos graus das duas parcelas quando os termos de grau mais elevado se anulam. Por exemplo,

\[ (2x^3+x)+(-2x^3+4)=x+4. \]

Os dois polinómios têm grau \(3\), ao passo que a sua soma tem grau \(1\).

Subtração

Subtrair um polinómio significa adicionar o seu simétrico. O simétrico de um polinómio obtém-se mudando o sinal de todos os seus termos.

Se

\[ Q(x)=x^2-3x+5, \]

então

\[ -Q(x)=-x^2+3x-5. \]

Consideremos agora

\[ P(x)=4x^2+x-2. \]

A diferença \(P(x)-Q(x)\) é

\[ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(4x^2+x-2)-(x^2-3x+5)\\ &=4x^2+x-2-x^2+3x-5\\ &=3x^2+4x-7. \end{aligned} \]

Os parênteses são essenciais: o sinal menos colocado antes de um polinómio altera o sinal de cada um dos termos nele contidos.

Multiplicação

O produto de dois polinómios calcula-se aplicando repetidamente a propriedade distributiva: cada termo do primeiro polinómio deve ser multiplicado por cada termo do segundo.

Consideremos

\[ P(x)=2x-3 \qquad\text{e}\qquad Q(x)=x^2+4x+1. \]

Tem-se

\[ \begin{aligned} P(x)Q(x) &=(2x-3)(x^2+4x+1)\\ &=2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1)\\ &=2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3\\ &=2x^3+5x^2-10x-3. \end{aligned} \]

Depois de aplicada a propriedade distributiva, o resultado deve ser reduzido, agrupando os eventuais termos semelhantes.

O produto de dois polinómios não nulos nunca é o polinómio nulo. Além disso, o seu grau é igual à soma dos graus dos fatores:

\[ \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q). \]

No exemplo anterior,

\[ \deg(P)=1, \qquad \deg(Q)=2, \]

e, com efeito,

\[ \deg(PQ)=1+2=3. \]

Esta propriedade decorre do facto de o termo principal do produto se obter multiplicando os termos principais dos dois fatores. Se

\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{e}\qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots, \]

com \(a_n\neq0\) e \(b_m\neq0\), o termo principal do produto é

\[ a_nb_mx^{n+m}. \]

Visto que o produto \(a_nb_m\) de dois números reais não nulos continua a ser diferente de zero, o grau do produto é \(n+m\).

Potência

Elevar um polinómio a um expoente inteiro positivo significa formar o produto de tantos fatores iguais ao polinómio quantos os indicados pelo expoente.

Por exemplo,

\[ P(x)^3=P(x)\cdot P(x)\cdot P(x). \]

Consideremos o polinómio

\[ P(x)=x+2. \]

A sua segunda potência é

\[ \begin{aligned} P(x)^2 &=(x+2)(x+2)\\ &=x^2+2x+2x+4\\ &=x^2+4x+4. \end{aligned} \]

O cálculo foi efetuado aplicando a propriedade distributiva. As fórmulas conhecidas como produtos notáveis permitem abreviar alguns desenvolvimentos recorrentes, mas decorrem sempre desta mesma propriedade.

Se \(P\) é um polinómio não nulo e \(m\) é um inteiro positivo, então

\[ \deg(P^m)=m\deg(P). \]

Com efeito, \(P^m\) é o produto de \(m\) fatores todos iguais a \(P\), e o grau do produto é a soma dos graus de cada um dos fatores.

Para todo o polinómio não nulo, estabelece-se ainda

\[ P(x)^0=1. \]

O caso em que o polinómio é nulo e o expoente é \(0\) não se define.

As operações que acabámos de estudar mostram que a adição, a subtração e a multiplicação produzem sempre polinómios; o mesmo vale para as potências com expoente inteiro positivo. Para todo o polinómio não nulo está igualmente definida a potência de expoente \(0\), ao passo que a divisão exige condições adicionais e será tratada separadamente.

Valor Numérico de um Polinómio

O valor numérico de um polinómio obtém-se substituindo as suas variáveis por determinados valores numéricos e efetuando as operações indicadas.

Consideremos, por exemplo, o polinómio

\[ P(x)=2x^3-5x+1. \]

Atribuindo à variável \(x\) o valor \(2\), obtém-se

\[ P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2+1. \]

Efetuando os cálculos,

\[ P(2)=2\cdot 8-10+1=16-10+1=7. \]

Diz-se, por conseguinte, que o valor numérico de \(P(x)\) para \(x=2\) é \(7\).

A notação \(P(2)\) indica o número obtido substituindo \(2\) em cada ocorrência da variável \(x\). Mais geralmente, se

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]

então, dado um número real \(c\), tem-se

\[ P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0. \]

Quando o valor atribuído à variável é negativo, é importante colocá-lo entre parênteses antes de o elevar a uma potência. Consideremos, por exemplo,

\[ Q(x)=x^3-2x^2+4. \]

Para \(x=-2\) obtém-se

\[ Q(-2)=(-2)^3-2(-2)^2+4. \]

Portanto,

\[ Q(-2)=-8-2\cdot 4+4=-8-8+4=-12. \]

Os parênteses permitem distinguir corretamente a potência do número negativo do simétrico de uma potência. Com efeito,

\[ (-2)^2=4, \qquad -2^2=-4. \]

O valor numérico também pode ser calculado para polinómios em várias variáveis. Consideremos

\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]

Para \(x=2\) e \(y=-1\), tem-se

\[ P(2,-1)=3\cdot 2^2\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot(-1)^2+5. \]

Desenvolvendo os cálculos,

\[ P(2,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)-4+5=-12-4+5=-11. \]

Em geral, se \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) é um polinómio em \(n\) variáveis, o seu valor numérico para \(x_1=c_1,x_2=c_2,\dots,x_n=c_n\) indica-se por

\[ P(c_1,c_2,\dots,c_n) \]

e obtém-se substituindo, para cada \(i=1,2,\dots,n\), a variável \(x_i\) pelo número \(c_i\).

Visto que um polinómio contém apenas somas, diferenças, produtos e potências com expoente inteiro não negativo, o seu valor numérico está definido para qualquer escolha real das variáveis.

A todo o polinómio numa variável pode, portanto, associar-se uma função que a cada número real \(x\) faz corresponder o valor \(P(x)\):

\[ x\longmapsto P(x). \]

O polinómio e a função polinomial a ele associada são objetos estreitamente relacionados, mas não devem ser confundidos: o primeiro é um objeto algébrico representado por uma expressão formal, ao passo que a segunda é a função que associa a cada valor da variável o correspondente valor numérico do polinómio.