Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre monómios e polinómios, concebida para compreender de forma rigorosa as estruturas fundamentais da álgebra elementar. Os exercícios abordam gradualmente o reconhecimento dos monómios, o cálculo do grau, as operações com monómios e polinómios, os produtos notáveis e as primeiras técnicas de fatorização.
Cada resolução é construída passo a passo, com explicações que esclarecem não só os cálculos a efetuar, mas também o motivo pelo qual determinadas regras podem ser aplicadas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a seguinte expressão é um monómio:
\[ 5x^2y^3 \]
Resultado
Sim, é um monómio.
Resolução
Um monómio é uma expressão obtida como produto de um coeficiente numérico por potências de variáveis cujos expoentes são números inteiros não negativos.
Na expressão:
\[ 5x^2y^3 \]
o coeficiente numérico é \(5\), e as variáveis são \(x\) e \(y\).
Os expoentes das variáveis são:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad 3. \]
Ambos são números inteiros não negativos. Não aparecem radicais nem expoentes negativos ou fracionários.
Portanto, a expressão satisfaz todas as condições exigidas para ser um monómio.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se:
\[ \frac{3}{x} \]
é um monómio.
Resultado
Não, não é um monómio.
Resolução
Para verificar se uma expressão é um monómio, convém reescrevê-la recorrendo às propriedades das potências.
Com efeito, observa-se que:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Surge então a potência:
\[ x^{-1}, \]
cujo expoente é negativo.
Um monómio só pode conter expoentes inteiros não negativos. A presença de um expoente negativo viola, portanto, a própria definição de monómio.
Por este motivo:
\[ \frac{3}{x} \]
não é um monómio.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o grau do monómio:
\[ -7x^3y^2z \]
Resultado
O grau do monómio é \(6\).
Resolução
O grau total de um monómio não nulo obtém-se somando os expoentes de todas as variáveis presentes na parte literal.
No monómio:
\[ -7x^3y^2z \]
as variáveis aparecem com os seguintes expoentes:
\[ x^3, \qquad y^2, \qquad z^1. \]
O expoente da variável \(z\) é implicitamente \(1\), uma vez que:
\[ z=z^1. \]
Somam-se então os expoentes:
\[ 3+2+1=6. \]
O monómio tem, portanto, grau total:
\[ 6. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se os seguintes monómios são semelhantes:
\[ 4x^2y^3 \qquad \text{e} \qquad -9x^2y^3 \]
Resultado
Sim, os dois monómios são semelhantes.
Resolução
Dois monómios dizem-se semelhantes quando têm exatamente a mesma parte literal. Isso significa que devem aparecer as mesmas variáveis com os mesmos expoentes.
A parte literal do primeiro monómio é:
\[ x^2y^3. \]
No segundo monómio aparece exatamente a mesma parte literal:
\[ x^2y^3. \]
Diferem apenas os coeficientes numéricos, que são respetivamente:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad -9. \]
Como a parte literal coincide na íntegra, os dois monómios são semelhantes.
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) \]
Resultado
\[ -10x^5y^5 \]
Resolução
No produto de monómios, multiplicam-se primeiro os coeficientes numéricos e depois aplicam-se as propriedades das potências às variáveis iguais.
Calculam-se então os coeficientes:
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Para as variáveis utiliza-se a propriedade:
\[ x^a\cdot x^b=x^{a+b}. \]
Para a variável \(x\) obtém-se:
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Para a variável \(y\):
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reunindo todos os fatores:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4)=-10x^5y^5. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y} \]
Resultado
\[ 4x^3y^2 \]
Resolução
Na divisão de monómios, dividem-se primeiro os coeficientes numéricos e depois aplica-se a propriedade das potências:
\[ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. \]
Começa-se pelos coeficientes:
\[ \frac{12}{3}=4. \]
Para a variável \(x\):
\[ \frac{x^5}{x^2}=x^{5-2}=x^3. \]
Para a variável \(y\):
\[ \frac{y^3}{y}=y^{3-1}=y^2. \]
Todos os expoentes obtidos continuam a ser não negativos, pelo que o resultado é novamente um monómio.
Obtém-se assim:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y}=4x^3y^2. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Reduzir o seguinte polinómio:
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 \]
Resultado
\[ 5x^2-x+6 \]
Resolução
Reduzir um polinómio consiste em somar entre si os termos semelhantes, ou seja, os que têm a mesma parte literal.
Observa-se que:
\[ 3x^2 \qquad \text{e} \qquad 2x^2 \]
são termos semelhantes, pois ambos contêm \(x^2\). A sua soma é:
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
Também:
\[ -5x \qquad \text{e} \qquad 4x \]
são termos semelhantes. Somando os coeficientes obtém-se:
\[ -5x+4x=-x. \]
Por último, somam-se os termos constantes:
\[ 7-1=6. \]
O polinómio reduzido é, portanto:
\[ 5x^2-x+6. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar o grau do polinómio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
Resultado
O grau do polinómio é \(5\).
Resolução
O grau de um polinómio não nulo coincide com o maior dos graus dos monómios que o constituem.
No polinómio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
o termo de maior grau é:
\[ 4x^5, \]
uma vez que contém a potência \(x^5\).
Os restantes termos têm grau inferior:
\[ -2x^3 \]
tem grau \(3\),
\[ x \]
tem grau \(1\), ao passo que:
\[ -9 \]
é um termo constante e tem, portanto, grau \(0\).
O grau máximo presente é, assim:
\[ 5. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Desenvolver:
\[ (x+3)(x+5) \]
Resultado
\[ x^2+8x+15 \]
Resolução
Para desenvolver o produto de dois binómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Multiplica-se então cada termo do primeiro binómio por cada termo do segundo:
\[ (x+3)(x+5)=x(x+5)+3(x+5). \]
Efetuam-se agora os produtos:
\[ x(x+5)=x^2+5x, \]
e:
\[ 3(x+5)=3x+15. \]
Somando os resultados:
\[ x^2+5x+3x+15. \]
Os termos:
\[ 5x \qquad \text{e} \qquad 3x \]
são semelhantes e podem ser somados:
\[ 5x+3x=8x. \]
Obtém-se assim:
\[ (x+3)(x+5)=x^2+8x+15. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Desenvolver:
\[ (2x-1)(x+4) \]
Resultado
\[ 2x^2+7x-4 \]
Resolução
Também neste caso se utiliza a propriedade distributiva.
Multiplica-se cada termo do primeiro binómio por cada termo do segundo:
\[ (2x-1)(x+4)=2x(x+4)-1(x+4). \]
Desenvolvem-se agora os produtos:
\[ 2x(x+4)=2x^2+8x, \]
ao passo que:
\[ -1(x+4)=-x-4. \]
Somando tudo:
\[ 2x^2+8x-x-4. \]
Os termos:
\[ 8x \qquad \text{e} \qquad -x \]
são semelhantes. A sua soma é:
\[ 8x-x=7x. \]
O resultado final é, portanto:
\[ 2x^2+7x-4. \]
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Desenvolver:
\[ (x+2)^2 \]
Resultado
\[ x^2+4x+4 \]
Resolução
A expressão:
\[ (x+2)^2 \]
representa o quadrado de um binómio.
É importante recordar que o quadrado de uma soma não se obtém elevando ao quadrado cada termo separadamente. A fórmula correta é:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
No nosso caso:
\[ a=x, \qquad b=2. \]
Substituindo na fórmula:
\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2. \]
Calculam-se agora os termos individuais:
\[ 2\cdot x\cdot2=4x, \]
e:
\[ 2^2=4. \]
Obtém-se, portanto:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Exercício 12 — nível ★★☆☆☆
Desenvolver:
\[ (x-5)^2 \]
Resultado
\[ x^2-10x+25 \]
Resolução
A expressão:
\[ (x-5)^2 \]
é o quadrado de uma diferença.
Aplica-se então a fórmula:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Neste caso:
\[ a=x, \qquad b=5. \]
Substituindo:
\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2. \]
Efetuam-se agora os cálculos:
\[ 2\cdot x\cdot5=10x, \]
e:
\[ 5^2=25. \]
Portanto:
\[ (x-5)^2=x^2-10x+25. \]
Exercício 13 — nível ★★☆☆☆
Desenvolver:
\[ (x+3)(x-3) \]
Resultado
\[ x^2-9 \]
Resolução
O produto:
\[ (x+3)(x-3) \]
é formado pela soma e pela diferença dos mesmos dois termos.
Nestes casos aplica-se o produto notável denominado diferença de quadrados:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
No nosso caso:
\[ a=x, \qquad b=3. \]
Aplicando diretamente a fórmula:
\[ (x+3)(x-3)=x^2-3^2. \]
Como:
\[ 3^2=9, \]
obtém-se:
\[ x^2-9. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Desenvolver:
\[ (2x-3)^2 \]
Resultado
\[ 4x^2-12x+9 \]
Resolução
Esta expressão representa também o quadrado de uma diferença.
Aplica-se então:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Neste caso:
\[ a=2x, \qquad b=3. \]
Substituindo:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2. \]
Calculam-se agora os vários termos.
O quadrado do primeiro termo é:
\[ (2x)^2=4x^2. \]
O duplo produto vale:
\[ 2(2x)(3)=12x. \]
Por último:
\[ 3^2=9. \]
Portanto:
\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Calcular o valor numérico do polinómio:
\[ P(x)=2x^2-3x+1 \]
para:
\[ x=4. \]
Resultado
\[ 21 \]
Resolução
Calcular o valor numérico de um polinómio consiste em substituir a variável pelo número dado.
Substitui-se então:
\[ x=4 \]
na expressão:
\[ P(x)=2x^2-3x+1. \]
Obtém-se:
\[ P(4)=2\cdot4^2-3\cdot4+1. \]
Calcula-se primeiro a potência:
\[ 4^2=16. \]
Portanto:
\[ P(4)=2\cdot16-12+1. \]
Efetuam-se agora as operações:
\[ 2\cdot16=32, \]
e portanto:
\[ 32-12+1=21. \]
O valor numérico pedido é, assim:
\[ 21. \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Determinar os zeros do polinómio:
\[ x^2-7x+12 \]
Resultado
\[ x=3, \qquad x=4 \]
Resolução
Determinar os zeros de um polinómio consiste em encontrar os valores da variável que anulam o polinómio.
É necessário, portanto, resolver a equação:
\[ x^2-7x+12=0. \]
Procura-se uma fatorização do trinómio da forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Desenvolvendo o produto obtém-se:
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparando com:
\[ x^2-7x+12, \]
é preciso encontrar dois números tais que:
\[ a+b=7 \]
e simultaneamente:
\[ ab=12. \]
Os números que satisfazem ambas as condições são:
\[ 3 \qquad \text{e} \qquad 4. \]
Portanto:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Um produto é nulo se pelo menos um dos seus fatores for nulo. Obtém-se então:
\[ x-3=0 \qquad \text{ou} \qquad x-4=0. \]
As soluções são:
\[ x=3, \qquad x=4. \]
Exercício 17 — nível ★★★☆☆
Verificar se:
\[ x=2 \]
é um zero do polinómio:
\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6. \]
Resultado
Sim, \(2\) é um zero do polinómio.
Resolução
Um número real é um zero de um polinómio se, ao substituí-lo na variável, o valor do polinómio for igual a zero.
É necessário, portanto, calcular:
\[ P(2). \]
Substitui-se \(x=2\):
\[ P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6. \]
Calculam-se agora as potências:
\[ 2^3=8, \qquad 2^2=4. \]
Portanto:
\[ P(2)=8-4\cdot4+2+6. \]
Calcula-se o produto:
\[ 4\cdot4=16. \]
Obtém-se então:
\[ P(2)=8-16+2+6. \]
Somando:
\[ 8-16=-8, \]
e de seguida:
\[ -8+2+6=0. \]
Como:
\[ P(2)=0, \]
o número \(2\) é efetivamente um zero do polinómio.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Efetuar a divisão pela regra de Ruffini:
\[ x^3-6x^2+11x-6 \]
dividido por:
\[ x-1. \]
Resultado
Quociente:
\[ x^2-5x+6 \]
Resto:
\[ 0 \]
Resolução
Na regra de Ruffini utiliza-se o valor:
\[ r=1, \]
uma vez que o divisor é:
\[ x-1. \]
Escrevem-se os coeficientes do polinómio:
\[ 1, \qquad -6, \qquad 11, \qquad -6. \]
Constrói-se então o esquema de Ruffini:
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
O número final obtido é:
\[ 0, \]
que representa o resto da divisão.
Os coeficientes:
\[ 1, \qquad -5, \qquad 6 \]
formam o polinómio quociente:
\[ x^2-5x+6. \]
Portanto:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Fatorizar:
\[ x^2-9x+20 \]
Resultado
\[ (x-4)(x-5) \]
Resolução
Pretende-se escrever o trinómio na forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Desenvolvendo o produto:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparando com:
\[ x^2-9x+20, \]
é preciso encontrar dois números tais que:
\[ a+b=9 \]
e:
\[ ab=20. \]
Os números procurados são:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad 5. \]
Obtém-se então:
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5). \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Fatorizar completamente:
\[ x^3-6x^2+11x-6. \]
Resultado
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]
Resolução
Procuram-se, em primeiro lugar, eventuais zeros inteiros do polinómio.
Como o termo independente é:
\[ -6, \]
os possíveis zeros inteiros devem pertencer ao conjunto dos divisores de \(6\):
\[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6. \]
Verifica-se que:
\[ P(1)=0. \]
Isto significa que:
\[ x-1 \]
é um fator do polinómio.
Aplicando a regra de Ruffini obtém-se:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Resta agora fatorizar o trinómio:
\[ x^2-5x+6. \]
Procuram-se dois números com soma \(5\) e produto \(6\). Esses números são:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad 3. \]
Portanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
A fatorização completa do polinómio é, assim:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]