Conjuntos Numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais

Intuitivamente, um conjunto pode ser pensado como uma coleção de objetos bem determinados, chamados elementos. Num tratamento elementar, isto significa que deve ficar claro, sem ambiguidade, se um objeto pertence ou não pertence ao conjunto.

Quando os elementos considerados são números, fala-se de conjunto numérico. Entre os conjuntos numéricos fundamentais encontram-se os números naturais, os números inteiros, os números racionais e os números reais. Os números irracionais constituem, por sua vez, a parte dos números reais que não pertence aos racionais.

A sua introdução obedece a um critério preciso: cada ampliação permite resolver problemas que, no conjunto anterior, nem sempre têm solução. Os números naturais permitem contar; os números inteiros tornam possível a subtração sem sair do conjunto; os números racionais permitem representar razões entre inteiros; os números reais reúnem num único conjunto os números racionais e os números irracionais.

Os conjuntos numéricos fundamentais estão ligados pela seguinte cadeia de inclusões:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Esta relação significa que todo número natural é também um número inteiro, todo número inteiro é também um número racional e todo número racional é também um número real. Estudar os conjuntos numéricos significa, portanto, compreender como os números estão organizados, que propriedades possuem e que operações são possíveis em cada conjunto.

Índice

• Por que se introduzem novos conjuntos numéricos
• Os números naturais \(\mathbb{N}\)
• Os números inteiros \(\mathbb{Z}\)
• Os números racionais \(\mathbb{Q}\)
• Os números irracionais
• Os números reais \(\mathbb{R}\)
• Relações entre os conjuntos numéricos
• Representação decimal dos números reais
• Esquema-resumo

Para compreender o papel dos conjuntos numéricos não basta enumerá-los: é necessário perceber que necessidade matemática conduz à sua introdução. O ponto central é que um conjunto pode ser adequado a certas operações, mas não a outras.

Uma propriedade importante é o fecho em relação a uma operação. Um conjunto numérico é fechado em relação a uma dada operação se, ao aplicar essa operação a elementos do conjunto, o resultado ainda pertence ao mesmo conjunto.

Por exemplo, os números naturais são fechados em relação à adição e à multiplicação. De facto,

\[ 3+5=8 \]

e

\[ 3\cdot 5=15. \]

Em ambos os casos o resultado é ainda um número natural.

A subtração, pelo contrário, nem sempre é possível permanecendo nos números naturais. De facto,

\[ 3-5=-2, \]

mas \(-2\) não pertence a \(\mathbb{N}\). Para tornar a subtração possível de modo mais geral introduzem-se então os números inteiros.

Os números inteiros permitem efetuar adições, subtrações e multiplicações sem sair do conjunto, mas não são fechados em relação à divisão. Por exemplo, a equação

\[ 2x=1 \]

não tem solução inteira, pois a sua solução é

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Para representar razões deste tipo introduzem-se os números racionais, isto é, os números que podem ser escritos como fração de dois inteiros com denominador diferente de zero.

Contudo, também os números racionais não descrevem todas as grandezas matemáticas. A diagonal de um quadrado de lado \(1\), por exemplo, mede \(\sqrt{2}\), e este número não pode ser escrito como razão de dois inteiros. Para incluir também grandezas deste tipo passa-se ao conjunto dos números reais.

O percurso fundamental é, portanto,

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Cada ampliação contém a anterior e permite enfrentar problemas que antes nem sempre tinham solução. Por isso os conjuntos numéricos devem ser estudados de modo progressivo: cada um nasce de uma necessidade precisa e possui propriedades próprias.

Os números naturais são os números usados para contar e ordenar. Servem, por exemplo, para indicar quantas unidades contém uma determinada quantidade ou que posição ocupa um elemento numa sucessão ordenada.

Adotamos a convenção segundo a qual o zero pertence ao conjunto dos números naturais:

\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. \]

Se se pretende indicar apenas os números naturais positivos, isto é, sem o zero, pode usar-se a notação

\[ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}. \]

O conjunto dos números naturais é infinito e ordenado. De facto, os seus elementos podem ser dispostos segundo a ordem natural

\[ 0<1<2<3<\dots \]

e, dado um número natural \(n\), o número \(n+1\) é ainda um número natural. O número \(n+1\) chama-se sucessor de \(n\).

Os números naturais são fechados em relação à adição e à multiplicação. Isto significa que, se \(a\) e \(b\) são números naturais, então também \(a+b\) e \(a\cdot b\) são números naturais:

\[ a,b\in\mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N} \quad\text{e}\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. \]

Por exemplo,

\[ 4+7=11 \quad\text{e}\quad 4\cdot 7=28. \]

Em ambos os casos o resultado pertence ainda a \(\mathbb{N}\).

Nem todas as operações, porém, são sempre possíveis dentro dos números naturais. A subtração pode conduzir a um resultado que não pertence a \(\mathbb{N}\). Por exemplo,

\[ 3-5=-2. \]

Como \(-2\) não é um número natural, o conjunto \(\mathbb{N}\) não é fechado em relação à subtração.

Esta observação revela a primeira limitação dos números naturais: são adequados para representar quantidades inteiras não negativas, mas não bastam quando é preciso descrever diferenças que podem ser negativas. Por este motivo introduz-se o conjunto dos números inteiros.

Os números inteiros surgem da necessidade de efetuar subtrações que, nos números naturais, nem sempre são possíveis. Por exemplo, a subtração \(3-5\) não tem resultado pertencente a \(\mathbb{N}\), pois dá um número negativo.

O conjunto dos números inteiros denota-se por \(\mathbb{Z}\) e é formado pelos números naturais e pelos seus simétricos:

\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. \]

Como todo número natural é também um número inteiro, verifica-se a inclusão

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

O conjunto \(\mathbb{Z}\) é infinito tanto para a direita como para a esquerda. De facto, os seus elementos podem ser ordenados do seguinte modo:

\[ \dots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \]

Ao contrário de \(\mathbb{N}\), o conjunto dos números inteiros não tem elemento mínimo: dado qualquer número inteiro, existe sempre um número inteiro menor.

A propriedade fundamental dos números inteiros é a existência do simétrico. Se \(a\) é um número inteiro, também \(-a\) é um número inteiro, e tem-se

\[ a+(-a)=0. \]

Graças aos simétricos, a subtração entre números inteiros é sempre possível. De facto, subtrair um número equivale a adicionar o seu simétrico:

\[ a-b=a+(-b). \]

Por exemplo,

\[ 3-5=3+(-5)=-2. \]

O resultado pertence a \(\mathbb{Z}\), pelo que o conjunto dos números inteiros é fechado em relação à subtração.

Além disso, os números inteiros são também fechados em relação à adição e à multiplicação. Se \(a\) e \(b\) são números inteiros, então

\[ a+b\in\mathbb{Z} \quad\text{e}\quad a\cdot b\in\mathbb{Z}. \]

Por exemplo,

\[ (-4)+7=3 \quad\text{e}\quad (-4)\cdot 7=-28. \]

Em ambos os casos o resultado é ainda um número inteiro.

No entanto, os números inteiros não são fechados em relação à divisão. Por exemplo,

\[ 1:2=\frac{1}{2}, \]

mas \(\displaystyle \frac{1}{2}\) não é um número inteiro. De modo equivalente, a equação

\[ 2x=1 \]

não tem solução em \(\mathbb{Z}\).

Isto mostra a limitação dos números inteiros: permitem efetuar adições, subtrações e multiplicações sem sair do conjunto, mas não bastam para representar todas as razões entre números. Por este motivo introduzem-se os números racionais.

Os números racionais surgem da necessidade de representar razões entre números inteiros. De facto, embora nos números inteiros sejam sempre possíveis a adição, a subtração e a multiplicação, a divisão nem sempre produz um número inteiro.

Por exemplo, a equação

\[ 2x=1 \]

não tem solução em \(\mathbb{Z}\), pois a sua solução é

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Para incluir números deste tipo introduz-se o conjunto dos números racionais, denotado por \(\mathbb{Q}\).

Um número é racional se pode ser escrito como razão de dois números inteiros, com denominador diferente de zero. Em símbolos,

\[ \mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0 \right\}. \]

A condição \(q\neq 0\) é necessária porque a divisão por zero não está definida.

São números racionais, por exemplo,

\[ \frac{1}{2}, \qquad -\frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{4}, \qquad 0. \]

Também todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito como fração com denominador igual a \(1\). Por exemplo,

\[ 5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}. \]

Em consequência, verifica-se a inclusão

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Um mesmo número racional pode ser representado por frações diferentes. Por exemplo,

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}. \]

Estas frações são diferentes, mas representam o mesmo número racional. Em geral, ao multiplicar numerador e denominador por um mesmo inteiro não nulo, ou ao dividir ambos por um mesmo divisor comum não nulo, o número racional representado não muda.

O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração e à multiplicação. Além disso, é fechado em relação à divisão, desde que o divisor seja diferente de zero. Se \(a,b\in\mathbb{Q}\) e \(b\neq 0\), então

\[ a+b\in\mathbb{Q}, \qquad a-b\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}. \]

Por exemplo,

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \]

e

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}. \]

Em ambos os casos o resultado é ainda um número racional.

Contudo, os números racionais não bastam para representar todas as grandezas que aparecem em matemática. Existem, com efeito, números que não podem ser escritos como razão de dois inteiros. Um exemplo fundamental é \(\sqrt{2}\), que representa o comprimento da diagonal de um quadrado de lado \(1\).

Isto mostra a limitação dos números racionais: permitem representar todas as razões entre inteiros, mas não todas as grandezas geométricas e numéricas. Para descrever estes novos números é preciso introduzir os números irracionais.

Os números racionais permitem representar todas as razões entre números inteiros, mas não esgotam todos os números que aparecem em matemática. Existem, com efeito, grandezas que não podem ser expressas mediante uma fração com numerador e denominador inteiros.

Um exemplo fundamental é dado por \(\sqrt{2}\). Este número representa o comprimento da diagonal de um quadrado de lado \(1\). De facto, pelo teorema de Pitágoras, se \(d\) denota a diagonal, então

\[ d^2=1^2+1^2=2, \]

donde

\[ d=\sqrt{2}. \]

O número \(\sqrt{2}\), porém, não é racional. Demonstremo-lo por redução ao absurdo.

Suponhamos que \(\sqrt{2}\) fosse racional. Então existiriam dois números inteiros \(p\) e \(q\), com \(q\neq 0\), tais que

\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}. \]

Podemos ainda supor que a fração é irredutível, isto é, que \(p\) e \(q\) não têm divisores comuns diferentes de \(1\) e \(-1\).

Elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos

\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]

donde

\[ p^2=2q^2. \]

Logo \(p^2\) é par. Como o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar, também \(p\) tem de ser par. Existe então um inteiro \(k\) tal que

\[ p=2k. \]

Substituindo na igualdade \(p^2=2q^2\), obtém-se

\[ (2k)^2=2q^2, \]

isto é,

\[ 4k^2=2q^2. \]

Dividindo por \(2\), segue-se que

\[ q^2=2k^2. \]

Portanto \(q^2\) é par. De novo, como o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar, também \(q\) tem de ser par.

Obtivemos assim que \(p\) e \(q\) são ambos pares. Isto é impossível, porque tínhamos escolhido a fração \(\displaystyle \frac{p}{q}\) irredutível. A contradição mostra que \(\sqrt{2}\) não é racional:

\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]

Os números como \(\sqrt{2}\), isto é, os números que não podem ser escritos como razão de dois inteiros, chamam-se números irracionais.

No contexto dos números reais, o conjunto dos números irracionais denota-se por

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

São números irracionais, por exemplo,

\[ \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi. \]

Os números irracionais mostram que os números racionais não são suficientes para descrever todas as grandezas geométricas e numéricas. Por este motivo é necessário considerar um conjunto mais amplo, capaz de conter tanto os números racionais como os irracionais: o conjunto dos números reais.

O conjunto dos números reais contém todos os números racionais e todos os números irracionais. Denota-se pelo símbolo \(\mathbb{R}\).

Em particular, todo número racional é também real, pelo que

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

São, pelo contrário, reais mas não racionais números como

\[ \sqrt{2},\qquad \sqrt{3},\qquad \pi. \]

Podemos, então, distinguir os números reais em duas classes:

• os números racionais, que podem ser escritos como fração de dois inteiros com denominador diferente de zero;
• os números irracionais, que não podem ser escritos sob esta forma.

Em símbolos, o conjunto dos números irracionais denota-se por

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Portanto, os números reais são formados pela união dos números racionais e dos números irracionais:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

Além disso, um número real não pode ser simultaneamente racional e irracional. De facto, os dois conjuntos não têm elementos em comum:

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Os números reais podem ser representados sobre a reta numérica. Sobre esta reta situam-se os números naturais, os inteiros, os racionais e também os irracionais.

Por exemplo, os números

\[ -2,\qquad 0,\qquad \frac{1}{2},\qquad \sqrt{2},\qquad 3 \]

são todos números reais e podem ser ordenados sobre a reta numérica.

O conjunto \(\mathbb{R}\) permite, assim, trabalhar num único ambiente com números inteiros, frações, números decimais finitos, números decimais periódicos e números decimais infinitos não periódicos.

Neste sentido, os números reais constituem o conjunto numérico mais amplo de entre os estudados nesta introdução:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Depois de ter introduzido os principais conjuntos numéricos, podemos descrever com maior precisão as relações que os ligam.

Dizer que um conjunto está contido noutro significa que todo elemento do primeiro conjunto é também elemento do segundo. Por exemplo, todo número natural é também um número inteiro; portanto, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

Do mesmo modo, todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser escrito como fração com denominador \(1\). De facto, se \(n\in\mathbb{Z}\), então

\[ n=\frac{n}{1}. \]

Por isso verifica-se a inclusão

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Por último, todo número racional é também um número real, pelo que

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Reunindo estas relações, obtemos a cadeia fundamental dos conjuntos numéricos:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Esta cadeia deve ler-se da esquerda para a direita: ao passar de um conjunto para o seguinte, não se perdem os números já introduzidos, mas acrescentam-se outros novos.

Por exemplo:

• \(5\) é um número natural, pelo que é também inteiro, racional e real;
• \(-3\) é um número inteiro, pelo que é também racional e real, mas não é natural;
• \(\displaystyle \frac{2}{5}\) é um número racional e real, mas não é inteiro;
• \(\sqrt{2}\) é um número real, mas não é racional.

Os números irracionais merecem uma atenção particular. Não formam um conjunto situado entre \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\), mas constituem a parte dos números reais que não pertence a \(\mathbb{Q}\).

Em símbolos, o conjunto dos números irracionais é

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Todo número real é, portanto, racional ou irracional. As duas possibilidades excluem-se mutuamente:

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Além disso, a sua união devolve todo o conjunto dos números reais:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

Em conclusão, os conjuntos numéricos não estão separados entre si de modo independente: estão organizados segundo relações de inclusão. Compreender estas relações permite determinar com precisão a que conjuntos pertence um número e que propriedades se podem usar ao trabalhar com ele.

Todo número real pode ser escrito sob forma decimal. A representação decimal descreve um número mediante uma parte inteira e uma parte decimal, separadas pela vírgula.

Por exemplo,

\[ \frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \frac{1}{4}=0{,}25, \qquad \frac{1}{3}=0{,}333\dots \]

A forma decimal permite distinguir de modo simples os números racionais dos números irracionais.

Números decimais finitos

Um número decimal diz-se finito se, depois da vírgula, tem um número finito de algarismos. Por exemplo,

\[ 0{,}5, \qquad 1{,}25, \qquad -3{,}75 \]

são números decimais finitos.

Todo número decimal finito é racional, pois pode ser escrito como fração com denominador uma potência de \(10\). De facto,

\[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \qquad 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}. \]

Números decimais periódicos

Um número decimal diz-se periódico se, a partir de um certo ponto, um algarismo ou um grupo de algarismos se repete indefinidamente.

Por exemplo,

\[ 0{,}333\dots \]

é periódico, pois o algarismo \(3\) repete-se sem fim. Também

\[ 1{,}272727\dots \]

é periódico, pois o grupo de algarismos \(27\) se repete indefinidamente.

Os números decimais periódicos são racionais. Por exemplo,

\[ 0{,}333\dots=\frac{1}{3}, \qquad 1{,}272727\dots=\frac{14}{11}. \]

Em geral, um número é racional se e só se a sua representação decimal é finita ou periódica.

Números decimais infinitos não periódicos

Um número decimal diz-se infinito não periódico se tem infinitos algarismos depois da vírgula e, a partir de nenhum ponto, a sua parte decimal se torna periódica.

Os números decimais infinitos não periódicos são irracionais. Por exemplo,

\[ \sqrt{2}=1{,}414213562\dots \]

e

\[ \pi=3{,}141592653\dots \]

são números irracionais: a sua representação decimal não termina nem se torna periódica.

Podemos, assim, resumir a situação do seguinte modo:

• os números decimais finitos são racionais;
• os números decimais periódicos são racionais;
• os números decimais infinitos não periódicos são irracionais.

Esta distinção é muito útil para reconhecer a natureza de um número. Por exemplo,

\[ 0{,}75=\frac{3}{4} \]

é racional, ao passo que

\[ \sqrt{3}=1{,}732050807\dots \]

é irracional.

Alguns números reais admitem duas representações decimais. Por exemplo,

\[ 1=0{,}999\dots \]

Esta particularidade não altera a classificação anterior, mas mostra que a escrita decimal deve ser interpretada com atenção.

Resumimos agora as características principais dos conjuntos numéricos estudados.

As inclusões fundamentais entre os conjuntos numéricos são:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Isto significa que todo número natural é também inteiro, todo número inteiro é também racional e todo número racional é também real.

Os números irracionais, pelo contrário, não pertencem a \(\mathbb{Q}\), mas pertencem a \(\mathbb{R}\). Em símbolos:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \quad\text{e}\quad \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Os conjuntos numéricos permitem, assim, organizar os números de modo progressivo. Cada ampliação conserva os números já introduzidos e torna possível representar novas quantidades ou efetuar operações que antes nem sempre eram possíveis.