As operações entre conjuntos permitem construir novos conjuntos a partir de conjuntos dados. As operações fundamentais são a união, a interseção, a diferença, o complementar e a diferença simétrica.
Além destas operações, tem também um papel importante o produto cartesiano, que não constrói um conjunto formado simplesmente pelos elementos dos conjuntos de partida, mas sim um conjunto de pares ordenados.
Nesta página apresentamos as principais operações entre conjuntos, damos as suas definições formais, analisamos alguns exemplos e reunimos as propriedades fundamentais da álgebra de conjuntos.
Índice
- Conjuntos e Pertença
- União de Conjuntos
- Interseção de Conjuntos
- Diferença de Conjuntos
- Complementar de um Conjunto
- Diferença Simétrica
- Produto Cartesiano
- Propriedades Fundamentais das Operações entre Conjuntos
- Diagramas de Venn
Conjuntos e Pertença
Antes de introduzir as operações entre conjuntos, recordemos algumas noções fundamentais. Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Os elementos de um conjunto são considerados distintos: a ordem em que são listados não é relevante, e um elemento repetido é contado apenas uma vez.
Para indicar que um elemento \(x\) pertence a um conjunto \(A\), escreve-se
\[ x \in A. \]
Para indicar, por sua vez, que \(x\) não pertence a \(A\), escreve-se
\[ x \notin A. \]
Por exemplo, se
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \]
então
\[ 3\in A, \qquad 7\notin A. \]
Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. Por exemplo,
\[ \{1,2,3\}=\{3,2,1\}. \]
Isto acontece porque, nos conjuntos, a ordem dos elementos não conta.
Utilizaremos ainda o símbolo \(\emptyset\) para indicar o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não contém nenhum elemento.
Por fim, se todo elemento de um conjunto \(A\) pertence também a um conjunto \(B\), dizemos que \(A\) é um subconjunto de \(B\) e escrevemos
\[ A\subseteq B. \]
Estas noções permitem definir com precisão as principais operações entre conjuntos.
União de Conjuntos
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), a união de \(A\) e \(B\) é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos.
A união de \(A\) e \(B\) indica-se por
\[ A\cup B. \]
Formalmente,
\[ A\cup B=\{x:x\in A \text{ ou } x\in B\}. \]
A palavra “ou” deve ser entendida em sentido inclusivo: um elemento pertence a \(A\cup B\) se pertence a \(A\), ou pertence a \(B\), ou pertence a ambos.
Por exemplo, sejam
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Então
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}. \]
Os elementos \(3\) e \(4\), embora pertençam a ambos os conjuntos, aparecem apenas uma vez na união. Com efeito, num conjunto não se consideram as repetições.
Propriedades da união
A união entre conjuntos satisfaz algumas propriedades fundamentais.
- Propriedade comutativa: \[ A\cup B=B\cup A. \]
- Propriedade associativa: \[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C). \]
- Propriedade idempotente: \[ A\cup A=A. \]
- Elemento neutro: \[ A\cup\emptyset=A. \]
A propriedade comutativa mostra que a ordem dos conjuntos não influencia a união. A propriedade associativa permite, por sua vez, escrever a união de três conjuntos sem ambiguidade, omitindo os parênteses:
\[ A\cup B\cup C. \]
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), a interseção de \(A\) e \(B\) é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a \(A\) e a \(B\).
A interseção de \(A\) e \(B\) indica-se por
\[ A\cap B. \]
Formalmente,
\[ A\cap B=\{x:x\in A \text{ e } x\in B\}. \]
Assim, um elemento pertence a \(A\cap B\) se e somente se pertence tanto a \(A\) como a \(B\).
Por exemplo, sejam
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\}. \]
Os elementos comuns aos dois conjuntos são \(3\), \(4\) e \(5\). Portanto,
\[ A\cap B=\{3,4,5\}. \]
Conjuntos disjuntos
Dois conjuntos \(A\) e \(B\) dizem-se disjuntos se não têm elementos em comum, isto é, se a sua interseção é o conjunto vazio:
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Por exemplo, se
\[ A=\{1,3,5\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \]
então
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Com efeito, nenhum elemento de \(A\) pertence também a \(B\).
Propriedades da interseção
A interseção entre conjuntos satisfaz propriedades análogas às da união.
- Propriedade comutativa: \[ A\cap B=B\cap A. \]
- Propriedade associativa: \[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]
- Propriedade idempotente: \[ A\cap A=A. \]
- Elemento absorvente: \[ A\cap\emptyset=\emptyset. \]
A propriedade comutativa mostra que a ordem dos conjuntos não influencia a interseção. A propriedade associativa permite, por sua vez, escrever a interseção de três conjuntos sem ambiguidade, omitindo os parênteses:
\[ A\cap B\cap C. \]
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), a diferença entre \(A\) e \(B\) é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a \(A\), mas não pertencem a \(B\).
A diferença entre \(A\) e \(B\) indica-se por
\[ A\setminus B. \]
Formalmente,
\[ A\setminus B=\{x:x\in A \text{ e } x\notin B\}. \]
Assim, um elemento pertence a \(A\setminus B\) se e somente se pertence ao primeiro conjunto e não pertence ao segundo.
Por exemplo, sejam
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Os elementos de \(A\) que não pertencem a \(B\) são \(1\) e \(2\). Portanto,
\[ A\setminus B=\{1,2\}. \]
Já os elementos de \(B\) que não pertencem a \(A\) são apenas o \(6\). Assim,
\[ B\setminus A=\{6\}. \]
A diferença não é comutativa
Em geral, a diferença entre conjuntos não é comutativa. Com efeito, ao trocar a ordem dos conjuntos, o resultado pode mudar:
\[ A\setminus B\neq B\setminus A. \]
No exemplo anterior obtivemos, com efeito,
\[ A\setminus B=\{1,2\}, \qquad B\setminus A=\{6\}. \]
Isto mostra que, na diferença entre conjuntos, o primeiro conjunto desempenha um papel diferente do segundo: \(A\setminus B\) contém aquilo que resta de \(A\) depois de excluídos os elementos que pertencem também a \(B\).
Casos particulares
Para todo conjunto \(A\), valem as seguintes propriedades:
- \[ A\setminus\emptyset=A. \]
- \[ A\setminus A=\emptyset. \]
- \[ \emptyset\setminus A=\emptyset. \]
A primeira propriedade diz que retirar de \(A\) os elementos do conjunto vazio não altera \(A\). A segunda diz que, retirando de \(A\) todos os seus elementos, não resta nenhum elemento. A terceira diz que do conjunto vazio não é possível obter nenhum elemento por meio da diferença.
Complementar de um Conjunto
Para definir o complementar de um conjunto é necessário fixar um conjunto universal, isto é, um conjunto \(U\) dentro do qual se trabalha.
Se \(A\) é um subconjunto de \(U\), o complementar de \(A\) em relação a \(U\) é o conjunto formado por todos os elementos de \(U\) que não pertencem a \(A\).
O complementar de \(A\) indica-se frequentemente por
\[ A^c. \]
Formalmente,
\[ A^c=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}. \]
Assim, um elemento pertence a \(A^c\) se e somente se pertence ao conjunto universal \(U\), mas não pertence a \(A\).
Por exemplo, seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e seja
\[ A=\{2,4,6,8,10\}. \]
Então o complementar de \(A\) em relação a \(U\) é
\[ A^c=\{1,3,5,7,9\}. \]
Com efeito, \(A^c\) contém todos e apenas os elementos de \(U\) que não pertencem a \(A\).
Dependência do conjunto universal
O complementar de um conjunto não depende apenas do conjunto \(A\), mas também do conjunto universal \(U\) escolhido.
Por exemplo, se
\[ A=\{2,4,6\} \]
e considerarmos como universo
\[ U=\{1,2,3,4,5,6\}, \]
então
\[ A^c=\{1,3,5\}. \]
Se, em vez disso, considerarmos como universo
\[ V=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \]
então o complementar de \(A\) em relação a \(V\) é
\[ V\setminus A=\{1,3,5,7,8\}. \]
Por este motivo, quando se fala em complementar, o conjunto universal deve estar claro pelo contexto ou ser declarado explicitamente.
Propriedades do complementar
Se \(A\subseteq U\), então valem as seguintes propriedades:
- \[ A\cup A^c=U. \]
- \[ A\cap A^c=\emptyset. \]
- \[ (A^c)^c=A. \]
- \[ \emptyset^c=U. \]
- \[ U^c=\emptyset. \]
A primeira propriedade diz que todo elemento do universo pertence a \(A\) ou ao seu complementar. A segunda diz, por sua vez, que nenhum elemento pode pertencer simultaneamente a \(A\) e ao complementar de \(A\).
Diferença Simétrica
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), a diferença simétrica de \(A\) e \(B\) é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a \(A\) ou a \(B\), mas não pertencem a ambos.
A diferença simétrica de \(A\) e \(B\) indica-se por
\[ A\triangle B. \]
Formalmente,
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]
De modo equivalente, pode escrever-se
\[ A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \]
Esta segunda fórmula mostra que a diferença simétrica se obtém tomando a união de \(A\) e \(B\) e eliminando os elementos comuns aos dois conjuntos.
Por exemplo, sejam
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Os elementos que pertencem a \(A\) mas não a \(B\) são \(1\) e \(2\), enquanto os elementos que pertencem a \(B\) mas não a \(A\) são \(5\) e \(6\). Portanto,
\[ A\triangle B=\{1,2,5,6\}. \]
Os elementos \(3\) e \(4\), por serem comuns aos dois conjuntos, não pertencem à diferença simétrica.
Propriedades da diferença simétrica
A diferença simétrica satisfaz algumas propriedades fundamentais.
- Propriedade comutativa: \[ A\triangle B=B\triangle A. \]
- Propriedade associativa: \[ (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C). \]
- Elemento neutro: \[ A\triangle\emptyset=A. \]
- Diferença simétrica de um conjunto com ele mesmo: \[ A\triangle A=\emptyset. \]
A propriedade comutativa resulta de, na diferença simétrica, não importar qual dos dois conjuntos contém o elemento, mas apenas que o elemento pertença a um único dos dois.
A propriedade \(A\triangle A=\emptyset\) exprime, por sua vez, que todo elemento de \(A\) pertence a ambos os conjuntos considerados; portanto, nenhum elemento pertence a apenas um dos dois.
Produto Cartesiano
As operações consideradas até agora produzem conjuntos cujos elementos são ainda elementos dos conjuntos de partida, ou do conjunto universal fixado. O produto cartesiano tem uma natureza diferente: ele constrói um conjunto de pares ordenados.
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), o produto cartesiano de \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os pares ordenados \((a,b)\), em que o primeiro elemento pertence a \(A\) e o segundo pertence a \(B\).
O produto cartesiano de \(A\) e \(B\) indica-se por
\[ A\times B. \]
Formalmente,
\[ A\times B=\{(a,b):a\in A \text{ e } b\in B\}. \]
Assim, para construir \(A\times B\), cada elemento de \(A\) é associado a cada elemento de \(B\), respeitando a ordem do par.
Por exemplo, sejam
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{3,4,5\}. \]
Então
\[ A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}. \]
Em cada par, o primeiro elemento provém de \(A\), enquanto o segundo provém de \(B\).
Pares ordenados
No produto cartesiano, a ordem dos elementos do par é essencial. Em geral,
\[ (a,b)\neq(b,a). \]
Por exemplo,
\[ (1,3)\neq(3,1). \]
Por conseguinte, em geral o produto cartesiano não é comutativo:
\[ A\times B\neq B\times A. \]
Com efeito, \(A\times B\) é formado por pares cujo primeiro elemento pertence a \(A\) e o segundo a \(B\), enquanto \(B\times A\) é formado por pares cujo primeiro elemento pertence a \(B\) e o segundo a \(A\).
Produto cartesiano e plano cartesiano
Um exemplo fundamental de produto cartesiano é
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Este conjunto é formado por todos os pares ordenados \((x,y)\), em que \(x\) e \(y\) são números reais:
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(x,y):x\in\mathbb{R} \text{ e } y\in\mathbb{R}\}. \]
O conjunto \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) indica-se também por \(\mathbb{R}^2\) e representa o plano cartesiano.
Propriedades do produto cartesiano
O produto cartesiano satisfaz algumas propriedades úteis.
- Produto com o conjunto vazio: \[ A\times\emptyset=\emptyset, \qquad \emptyset\times A=\emptyset. \]
- Distributividade em relação à união: \[ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C). \]
- Distributividade em relação à interseção: \[ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). \]
Se \(A\) e \(B\) são conjuntos finitos, então o número de elementos do produto cartesiano é dado por
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Com efeito, para cada elemento de \(A\), podem formar-se tantos pares quantos forem os elementos de \(B\).
Propriedades Fundamentais das Operações entre Conjuntos
As operações entre conjuntos satisfazem algumas propriedades fundamentais. Estas propriedades permitem transformar e simplificar expressões envolvendo conjuntos, de modo análogo ao que acontece com as propriedades das operações entre números.
Nesta seção, suponhamos que \(A\), \(B\) e \(C\) sejam conjuntos contidos num mesmo conjunto universal \(U\).
Propriedades da união e da interseção
| Propriedade | União | Interseção |
|---|---|---|
| Comutativa | \(A \cup B = B \cup A\) | \(A \cap B = B \cap A\) |
| Associativa | \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) | \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) |
| Idempotente | \(A \cup A = A\) | \(A \cap A = A\) |
| Elemento neutro | \(A \cup \varnothing = A\) | \(A \cap U = A\) |
| Elemento absorvente | \(A \cup U = U\) | \(A \cap \varnothing = \varnothing\) |
A tabela mostra uma simetria importante: muitas propriedades da união têm uma propriedade correspondente para a interseção. Esta correspondência é chamada dualidade entre a união e a interseção.
Propriedades distributivas
A união e a interseção estão também relacionadas pelas propriedades distributivas:
\[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
\[ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C). \]
A primeira fórmula exprime a distributividade da união em relação à interseção. A segunda exprime a distributividade da interseção em relação à união.
Leis de absorção
Valem ainda as seguintes leis de absorção:
\[ A\cup(A\cap B)=A. \]
\[ A\cap(A\cup B)=A. \]
A primeira igualdade diz que acrescentar a \(A\) uma parte já contida em \(A\) não altera o conjunto. A segunda diz que a interseção de \(A\) com um conjunto que certamente contém \(A\) deixa \(A\) inalterado.
Leis do complementar
Para o complementar valem as seguintes propriedades:
\[ A\cup A^c=U. \]
\[ A\cap A^c=\emptyset. \]
\[ (A^c)^c=A. \]
Além disso, valem as leis de De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
As leis de De Morgan mostram como o complementar transforma a união em interseção e a interseção em união.
Todas estas propriedades constituem as regras básicas da álgebra de conjuntos e são fundamentais para trabalhar de modo rigoroso com expressões envolvendo conjuntos.
Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn são representações gráficas usadas para visualizar conjuntos e operações entre conjuntos.
Num diagrama de Venn, o conjunto universal \(U\) é geralmente representado por um retângulo, enquanto os conjuntos contidos em \(U\) são representados por regiões fechadas, frequentemente círculos ou ovais.
Para dois conjuntos \(A\) e \(B\), as regiões do diagrama permitem visualizar de forma imediata as principais operações:
- \(A\cup B\) corresponde à região formada pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos;
- \(A\cap B\) corresponde à região comum a \(A\) e \(B\);
- \(A\setminus B\) corresponde à parte de \(A\) que não pertence a \(B\);
- \(A^c\) corresponde à parte do universo \(U\) exterior a \(A\);
- \(A\triangle B\) corresponde à parte da união \(A\cup B\) que não pertence à interseção \(A\cap B\).
Os diagramas de Venn são particularmente úteis para compreender o significado das operações entre conjuntos e para verificar visualmente algumas propriedades, como as leis de De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Contudo, um diagrama não substitui uma demonstração formal. Para demonstrar uma identidade entre conjuntos, o método mais rigoroso consiste em mostrar que todo elemento do primeiro conjunto pertence também ao segundo, e vice-versa.
Por exemplo, para demonstrar uma igualdade do tipo
\[ X=Y, \]
pode proceder-se demonstrando as duas inclusões
\[ X\subseteq Y \qquad \text{e} \qquad Y\subseteq X. \]
Deste modo, o raciocínio não depende da figura, mas sim das definições dos conjuntos e das operações envolvidas.
As operações entre conjuntos permitem descrever com precisão relações fundamentais entre coleções de objetos. A união reúne os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos considerados, a interseção identifica os elementos comuns, a diferença seleciona os elementos que pertencem a um conjunto mas não a outro, o complementar depende do conjunto universal, e a diferença simétrica reúne os elementos que pertencem a apenas um dos dois conjuntos.
O produto cartesiano introduz, por sua vez, uma operação de natureza diferente, pois constrói conjuntos de pares ordenados. Deste modo, torna-se possível descrever relações, correspondências e estruturas mais complexas.
Estas noções constituem uma parte fundamental da linguagem matemática e estão na base de muitos temas posteriores, da lógica à combinatória, da álgebra às funções.