Um guia prático sobre as equações do primeiro grau com resoluções detalhadas: aprende a isolar a incógnita, o m.m.c. e a lidar com os parênteses. Inclui a verificação dos resultados e a análise das equações determinadas, impossíveis e indeterminadas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
\[ 2x + 5 = 11 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Para resolver uma equação do primeiro grau isola-se a incógnita: passam-se os termos independentes para o segundo membro e divide-se pelo coeficiente da incógnita.
Isolamento da incógnita
Subtraímos \(5\) a ambos os membros:
\[ 2x = 11 - 5 = 6 \]
Divisão pelo coeficiente
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]
Verificação
\[ 2 \cdot 3 + 5 = 11 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
\[ 3x - 7 = 2 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Passa-se o termo independente para o segundo membro e divide-se pelo coeficiente da incógnita.
Isolamento da incógnita
Somamos \(7\) a ambos os membros:
\[ 3x = 2 + 7 = 9 \]
Divisão pelo coeficiente
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
Verificação
\[ 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
\[ 5x = -20 \]
Resultado
\[ x = -4 \]
Resolução
Ideia resolutiva
A equação já se encontra na forma \(ax = b\): basta dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.
Divisão pelo coeficiente
\[ x = \frac{-20}{5} = -4 \]
Verificação
\[ 5 \cdot (-4) = -20 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = -4} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ 4x + 3 = 2x + 11 \]
Resultado
\[ x = 4 \]
Resolução
Ideia resolutiva
A incógnita aparece em ambos os membros. Agrupam-se os termos em \(x\) à esquerda e os termos independentes à direita.
Agrupamento dos termos em \(x\)
Subtraímos \(2x\) a ambos os membros:
\[ 2x + 3 = 11 \]
Isolamento da incógnita
\[ 2x = 8 \implies x = 4 \]
Verificação
\[ 4 \cdot 4 + 3 = 19 \qquad 2 \cdot 4 + 11 = 19 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
\[ 7x - 5 = 3x + 7 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Agrupam-se os termos em \(x\) no primeiro membro e os termos independentes no segundo.
Agrupamento dos termos em \(x\)
Subtraímos \(3x\) a ambos os membros:
\[ 4x - 5 = 7 \]
Isolamento da incógnita
\[ 4x = 12 \implies x = 3 \]
Verificação
\[ 7 \cdot 3 - 5 = 16 \qquad 3 \cdot 3 + 7 = 16 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
\[ 3(x + 4) = 18 \]
Resultado
\[ x = 2 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Primeiro elimina-se o parêntesis aplicando a propriedade distributiva ao fator \(3\) e, depois, isola-se a incógnita.
Aplicação da distributiva
\[ 3x + 12 = 18 \]
Isolamento da incógnita
\[ 3x = 6 \implies x = 2 \]
Verificação
\[ 3(2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
\[ 2(3x - 1) = 4(x + 2) \]
Resultado
\[ x = 5 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Aplica-se a propriedade distributiva nos dois fatores e, em seguida, agrupam-se os termos em \(x\) à esquerda e os termos independentes à direita.
Aplicação da distributiva
\[ 6x - 2 = 4x + 8 \]
Agrupamento e isolamento
\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]
Verificação
\[ 2(3 \cdot 5 - 1) = 2 \cdot 14 = 28 \qquad 4(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
\[ \frac{x}{2} + 3 = 7 \]
Resultado
\[ x = 8 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Primeiro isola-se o termo que contém a fração e, depois, multiplica-se pelo denominador.
Isolamento do termo fracionário
\[ \frac{x}{2} = 4 \]
Eliminação do denominador
Multiplicamos ambos os membros por \(2\):
\[ x = 8 \]
Verificação
\[ \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 5 \]
Resultado
\[ x = 10 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Para eliminar os denominadores, multiplica-se toda a equação pelo mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de \(3\) e \(6\), que é \(6\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 5 \implies 2x + x = 30 \]
Agrupamento e solução
\[ 3x = 30 \implies x = 10 \]
Verificação
\[ \frac{10}{3} + \frac{10}{6} = \frac{20}{6} + \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} \]
Resultado
\[ x = 8 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Multiplica-se tudo pelo m.m.c. dos denominadores, que é \(6\), para eliminar as frações.
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 2(2x-1) = 3(x+2) \]
Distributiva e agrupamento
\[ 4x - 2 = 3x + 6 \implies x = 8 \]
Verificação
\[ \frac{2 \cdot 8 - 1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \qquad \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
\[ 5(x - 2) - 3(x + 1) = 7 \]
Resultado
\[ x = 10 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Aplica-se a distributiva em ambos os parênteses, com atenção ao sinal do segundo termo, e em seguida simplifica-se.
Aplicação da distributiva
\[ 5x - 10 - 3x - 3 = 7 \]
Redução de termos semelhantes
\[ 2x - 13 = 7 \]
Isolamento da incógnita
\[ 2x = 20 \implies x = 10 \]
Verificação
\[ 5(10 - 2) - 3(10 + 1) = 40 - 33 = 7 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
\[ \frac{x + 1}{4} - \frac{x - 1}{6} = 1 \]
Resultado
\[ x = 7 \]
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(4\) e \(6\) é \(12\). Multiplica-se tudo por \(12\) para eliminar as frações.
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 3(x+1) - 2(x-1) = 12 \]
Distributiva e agrupamento
\[ 3x + 3 - 2x + 2 = 12 \implies x + 5 = 12 \implies x = 7 \]
Verificação
\[ \frac{7+1}{4} - \frac{7-1}{6} = \frac{8}{4} - \frac{6}{6} = 2 - 1 = 1 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 7} \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
\[ 3x - 2(x - 4) = 3(x + 2) - 6 \]
Resultado
\[ x = 4 \]
Resolução
Ideia resolutiva
Aplica-se a distributiva em ambos os membros e, depois, agrupam-se os termos em \(x\) à esquerda e os termos independentes à direita.
Aplicação da distributiva nos dois membros
\[ 3x - 2x + 8 = 3x + 6 - 6 \implies x + 8 = 3x \]
Isolamento da incógnita
\[ 8 = 2x \implies x = 4 \]
Verificação
\[ 3 \cdot 4 - 2(4-4) = 12 \qquad 3(4+2) - 6 = 12 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ \frac{3x - 2}{5} + \frac{x + 1}{2} = \frac{7x - 1}{10} + 1 \]
Resultado
\[ x = 2 \]
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(5\), \(2\) e \(10\) é \(10\). Multiplica-se tudo por \(10\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 2(3x-2) + 5(x+1) = (7x-1) + 10 \]
Aplicação da distributiva
\[ 6x - 4 + 5x + 5 = 7x + 9 \]
Redução de termos semelhantes
\[ 11x + 1 = 7x + 9 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \]
Verificação
\[ \frac{3 \cdot 2-2}{5} + \frac{2+1}{2} = \frac{4}{5} + \frac{3}{2} = \frac{8}{10} + \frac{15}{10} = \frac{23}{10} \]
\[ \frac{7 \cdot 2-1}{10} + 1 = \frac{13}{10} + \frac{10}{10} = \frac{23}{10} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ 4(2x + 1) - 3(x - 2) = 2(x + 5) + 7 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{7}{3} \]
Resolução
Ideia resolutiva
Aplica-se a distributiva em todos os fatores dos dois membros e, em seguida, reduzem-se os termos semelhantes.
Aplicação da distributiva
\[ 8x + 4 - 3x + 6 = 2x + 10 + 7 \]
Redução de termos semelhantes
\[ 5x + 10 = 2x + 17 \]
Isolamento da incógnita
\[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \]
Verificação
\[ 4\!\left(\frac{14}{3}+1\right) - 3\!\left(\frac{7}{3}-2\right) = 4 \cdot \frac{17}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{68-3}{3} = \frac{65}{3} \]
\[ 2\!\left(\frac{7}{3}+5\right)+7 = \frac{44}{3}+\frac{21}{3} = \frac{65}{3} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = \frac{7}{3}} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
\[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{5} = \frac{x}{10} - 2 \]
Resultado
Equação impossível — sem solução.
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(2\), \(5\) e \(10\) é \(10\). Multiplica-se tudo por \(10\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 5(x-3) - 2(2x+1) = x - 20 \]
Aplicação da distributiva
\[ 5x - 15 - 4x - 2 = x - 20 \implies x - 17 = x - 20 \]
Análise do resultado
Subtraímos \(x\) a ambos os membros:
\[ -17 = -20 \]
Obtém-se uma contradição: a equação é impossível e não admite qualquer solução.
Resultado
\[ \boxed{\text{Equação impossível — sem solução}} \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
\[ 3(x + 2) - 2(x + 3) = x \]
Resultado
Equação indeterminada — infinitas soluções (\(x \in \mathbb{R}\)).
Resolução
Ideia resolutiva
Aplica-se a distributiva e reduzem-se os termos semelhantes.
Aplicação da distributiva
\[ 3x + 6 - 2x - 6 = x \]
Redução de termos semelhantes
\[ x = x \]
Análise do resultado
A equação reduz-se a uma identidade verdadeira para qualquer valor de \(x\). Trata-se de uma equação indeterminada: qualquer número real é solução.
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R} \quad \text{(infinitas soluções)}} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} + \frac{x}{6} = \frac{5x + 3}{12} + 1 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{5}{2} \]
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(3\), \(4\), \(6\) e \(12\) é \(12\). Multiplica-se tudo por \(12\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 4(2x+1) - 3(x-2) + 2x = (5x+3) + 12 \]
Aplicação da distributiva
\[ 8x + 4 - 3x + 6 + 2x = 5x + 15 \]
Redução de termos semelhantes
\[ 7x + 10 = 5x + 15 \]
Isolamento da incógnita
\[ 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
Verificação
\[ \frac{2 \cdot \frac{5}{2}+1}{3} - \frac{\frac{5}{2}-2}{4} + \frac{\frac{5}{2}}{6} = \frac{6}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4} + \frac{5}{12} = 2 - \frac{1}{8} + \frac{5}{12} \]
\[ = \frac{48}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{55}{24} \]
\[ \frac{5 \cdot \frac{5}{2}+3}{12} + 1 = \frac{\frac{31}{2}}{12} + 1 = \frac{31}{24} + \frac{24}{24} = \frac{55}{24} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = \frac{5}{2}} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ \frac{3(x-1)}{4} - \frac{2(x+3)}{6} = \frac{x-5}{12} + \frac{1}{3} \]
Resultado
\[ x = 5 \]
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(4\), \(6\), \(12\) e \(3\) é \(12\). Multiplica-se tudo por \(12\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 3 \cdot 3(x-1) - 2 \cdot 2(x+3) = (x-5) + 4 \]
\[ 9(x-1) - 4(x+3) = x - 1 \]
Aplicação da distributiva
\[ 9x - 9 - 4x - 12 = x - 1 \implies 5x - 21 = x - 1 \]
Isolamento da incógnita
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Verificação
\[ \frac{3(5-1)}{4} - \frac{2(5+3)}{6} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5-5}{12} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ \frac{x+2}{3} - \frac{3x-1}{9} + \frac{2(x-3)}{6} = \frac{5x+1}{18} + \frac{1}{2} \]
Resultado
\[ x = 14 \]
Resolução
Ideia resolutiva
O m.m.c. de \(3\), \(9\), \(6\), \(18\) e \(2\) é \(18\). Multiplica-se tudo por \(18\).
Multiplicação pelo m.m.c.
\[ 6(x+2) - 2(3x-1) + 6(x-3) = (5x+1) + 9 \]
Aplicação da distributiva
\[ 6x + 12 - 6x + 2 + 6x - 18 = 5x + 10 \]
Redução de termos semelhantes
\[ 6x - 4 = 5x + 10 \]
Isolamento da incógnita
\[ x = 14 \]
Verificação
\[ \frac{16}{3} - \frac{41}{9} + \frac{22}{6} = \frac{48}{9} - \frac{41}{9} + \frac{33}{9} = \frac{40}{9} \]
\[ \frac{71}{18} + \frac{9}{18} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 14} \]