Exercícios resolvidos sobre sistemas de equações

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Método de eliminação (soma)

Somando membro a membro elimina-se \( y \):

\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)

Substituindo na primeira equação: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).

Verificação

\( 3 + 2 = 5 \) e \( 3 - 2 = 1 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 4 \quad y = 2 \)

Método de substituição

Da primeira equação: \( x = 2y \). Substituindo na segunda:

\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), portanto \( x = 4 \).

Verificação

\( 4 - 4 = 0 \) e \( 4 + 2 = 6 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)

\( x = 3 \quad y = 1 \)

Método de substituição

Da primeira: \( y = 10 - 3x \). Substituindo na segunda:

\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)

Depois \( y = 10 - 9 = 1 \).

Verificação

\( 9 + 1 = 10 \) e \( 3 + 3 = 6 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 2 \)

Método de substituição

Da segunda: \( x = 4 - y \). Substituindo na primeira:

\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)

Depois \( x = 4 - 2 = 2 \).

Verificação

\( 10 + 4 = 14 \) e \( 2 + 2 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \)

Método de eliminação

Multiplicamos a segunda equação por 3 para tornar os coeficientes de \( y \) opostos:

\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)

Somando: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Depois \( y = 1 \).

Verificação

\( 4 - 3 = 1 \) e \( 8 + 1 = 9 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Método de eliminação

Os coeficientes de \( y \) já são opostos. Somando as equações:

\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Depois \( y = 3 \).

Verificação

\( 6 + 6 = 12 \) e \( 10 - 6 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Eliminação das frações

Primeira equação ×3: \( x + 3y = 9 \)
Segunda equação ×2: \( 2x + y = 8 \)

Da primeira: \( x = 9 - 3y \). Substituindo: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), portanto \( x = 3 \).

Verificação

\( 1 + 2 = 3 \) e \( 3 + 1 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Método de eliminação

Segunda equação ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Subtraindo a primeira:

\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Depois \( x = 2 \).

Verificação

\( 8 - 9 = -1 \) e \( 4 + 15 = 19 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

Infinitas soluções

Análise do sistema

Multiplicando a primeira por 2 obtém-se a segunda: as equações são equivalentes (mesma reta).

O sistema é indeterminado. Soluções: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) com \( t \in \mathbb{R} \).

Resultado final: \(\boxed{\text{Infinitas soluções: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)

Nenhuma solução

Análise do sistema

Multiplicando a primeira por 2: \( 6x - 2y = 10 \), o que contradiz a segunda equação.

As retas são paralelas e distintas → sistema impossível.

Resultado final: \(\boxed{\text{Sistema impossível — nenhuma solução}}\)

\( x = 1 \quad y = 4 \)

Método de eliminação

Multiplicamos a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de \( y \):

\( \begin{cases} 10x + 4y = 26 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases} \)

Subtraindo: \( 7x = 7 \implies x = 1 \). Depois \( y = 4 \).

Verificação

\( 5 + 8 = 13 \) e \( 3 + 16 = 19 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 4}\)

\( x = 4 \quad y = 1 \)

Método de eliminação

Multiplicamos a primeira por 2 e a segunda por 3 para eliminar \( y \):

\( \begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 15x + 6y = 66 \end{cases} \)

Somando: \( 19x = 76 \implies x = 4 \). Depois \( y = 1 \).

Verificação

\( 8 - 3 = 5 \) e \( 20 + 2 = 22 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = 1}\)

\( (x,y) = (1,3) \) ou \( (3,1) \)

Método combinado

Da primeira: \( x = 4 - y \). Substituindo na segunda:

\( (4 - y) \cdot y = 3 \implies 4y - y^2 = 3 \implies y^2 - 4y + 3 = 0 \implies (y-1)(y-3) = 0 \)

\( y = 1 \implies x = 3 \); \( y = 3 \implies x = 1 \).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(1,3)\ \text{ou}\ (3,1)}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1 \)

Eliminação por subtração

Subtraindo a segunda da primeira: \( 2y = 4 \implies y = 2 \).
Subtraindo a terceira da primeira: \( 2z = 2 \implies z = 1 \).

Depois \( x = 6 - y - z = 3 \).

Verificação

As três equações originais são satisfeitas.

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4 \)

Eliminação por subtração

Segunda menos primeira: \( x = 3 \).
Terceira menos primeira: \( y = 2 \).

Depois \( z = 9 - x - y = 4 \).

Verificação

As três equações são satisfeitas.

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Redução do sistema

Somamos a primeira e a segunda para eliminar \( y \): \( 3x + z = 6 \).

Resolvemos o sistema 2×2 resultante para obter \( x = 1 \), \( z = 3 \), depois \( y = 2 \).

Verificação

As equações originais são satisfeitas.

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( (x,y) = (2,1) \) ou \( (-1,-2) \)

Substituição

\( x = y + 1 \). Substituindo: \( (y+1)^2 + y^2 = 5 \implies 2y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0 \).

Soluções: \( y = 1 \) (\( x=2 \)) ou \( y = -2 \) (\( x=-1 \)).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(2,1)\ \text{ou}\ (-1,-2)}\)

\( (x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\} \)

Usando identidade algébrica

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4 \).

Resolve-se a equação quadrática para cada caso e obtêm-se os quatro pares.

Resultado final: \(\boxed{(x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Soma das três equações

Somando todas: \( 4(x + y + z) = 24 \implies x + y + z = 6 \).

Subtraindo esta de cada equação original obtêm-se \( x=1 \), \( y=2 \), \( z=3 \).

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4 \)

Redução a duas equações

Somando a primeira e a segunda: \( x + y = 3 \). Substitui-se \( z = x + 2y \) na terceira e resolve-se.

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4}\)

\( x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5} \)

Método de eliminação

Elimina-se \( x \) entre as equações e resolve-se o sistema 2×2 resultante.

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5}}\)

\( x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25} \)

Redução do sistema

Combinação de eliminação e substituição para obter um sistema 2×2.

Resultado final: \(\boxed{x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25}}\)

Depende do valor de \( k \)

Análise com parâmetro

Substituindo \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).

• Se \( k \neq 2 \): solução única \( x = 6 \), \( y = 0 \)
• Se \( k = 2 \): infinitas soluções (\( x = 6 - t \), \( y = t \))

Resultado final: \(\boxed{\text{Determinado se } k \neq 2;\ \text{Indeterminado se } k=2}\)

\( (x,y) = (2,3) \) ou \( (3,2) \)

Método combinado

\( y = 5 - x \). Substituindo: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).

Soluções: \( x=2 \) (\( y=3 \)) e \( x=3 \) (\( y=2 \)).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{ou}\ (3,2)}\)

\( x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12} \)

Eliminação combinada

Elimina-se progressivamente \( y \) e resolve-se o sistema resultante.

Resultado final: \(\boxed{x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12}}\)