Coleção de exercícios sobre o estudo do sinal de funções polinomiais e racionais. Resoluções passo a passo com esquemas gráficos e análise dos zeros, do domínio e dos eventuais pontos excluídos.
O estudo do sinal consiste em determinar para que valores da variável uma função é positiva, negativa ou nula. Para isso, analisam-se separadamente o numerador e o denominador, identificam-se os zeros e constrói-se um esquema de sinais.
Exercício 1 — nível ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-1 \text{ ou } x>3\]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-1,\,3\]
\[ f(x)<0 \text{ para } -1<x<3 \]
Resolução
Zeros
\(x=-1\) e \(x=3\).
Sinal dos fatores
- \(x-3\) muda de sinal em \(x=3\)
- \(x+1\) muda de sinal em \(x=-1\)
Esquema de sinais
Conclusão
\(f(x)>0\) para \(x<-1\) ou \(x>3\).
\(f(x)<0\) para \(-1<x<3\).
Exercício 2 — nível ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<4\]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \text{ ou } x>4 \]
Resolução
Observação
O fator \(-1\) inverte o sinal do produto.
Zeros
\(x=-2\) e \(x=4\).
Esquema de sinais
Conclusão
\(f(x)>0\) para \(-2<x<4\).
\(f(x)<0\) nos restantes valores.
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<2 \text{ ou } x>3\]
\[ f(x)<0 \text{ para } 2<x<3 \]
Resolução
Fatorização
\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]
Zeros
\(x=2\) e \(x=3\).
Esquema de sinais
Conclusão
\(f(x)>0\) fora do intervalo \((2,3)\).
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<3\]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \text{ ou } x>3 \]
Resolução
Fatorização
\[ -x^2 + x + 6 = -(x-3)(x+2) \]
Zeros
\(x=-2\) e \(x=3\).
Esquema de sinais
Conclusão
\(f(x)>0\) para \(-2<x<3\).
Exercício 5 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -1<x<2 \text{ ou } x>5\]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-1 \text{ ou } 2<x<5 \]
Resolução
Zeros
\(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\).
Observação
O sinal muda em cada zero (multiplicidade ímpar).
Esquema de sinais
Exercício 6 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ ou } x>1\]
\[ f(x)<0 \text{ para } -3<x<1 \]
Resolução
Domínio
\(x \neq -3\).
Zeros
\(x=1\).
Esquema de sinais
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<0 \text{ ou } x>2\]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \text{ ou } 0<x<2 \]
Resolução
Fatorização
\[ x(x-2)(x+2) \]
Zeros
\(x=-2\), \(0\), \(2\).
Esquema de sinais
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<1 \text{ ou } x>2\]
\[ f(x)<0 \text{ nos restantes casos} \]
Resolução
Fatorização
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Domínio
\(x \neq 1\).
Esquema de sinais
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x>-\tfrac{1}{2},\ x \neq 3\]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-\tfrac{1}{2} \]
Resolução
Zeros
\(x=-\tfrac{1}{2}\) e \(x=3\) (duplo).
Observação
\((x-3)^2 \geq 0\): não altera o sinal.
Esquema de sinais
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-2 \text{ ou } 0<x<1 \text{ ou } x>4 \]
Resolução
Domínio
\(x \neq 0,\ x \neq 4\).
Zeros
\(x=-2,\ x=1\).
Esquema de sinais
Exercício 11 — nível ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-2,\ -1<x<1,\ x>2\]
\[ f(x)<0 \text{ nos restantes casos} \]
Resolução
Fatorização
\[ (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Zeros
\(x=-2,\ -1,\ 1,\ 2\).
Esquema de sinais
Exercício 12 — nível ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ ou } 1<x<2\]
\[ f(x)<0 \text{ para } -3<x<1 \]
Resolução
Fatorização
\[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Domínio
\(x \neq -3,\ x \neq 2\).
Esquema de sinais
Exercício 13 — nível ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3,\ -1<x<1,\ x>3\]
\[f(x)<0 \text{ para } -3<x<-1,\ 1<x<3 \]
Resolução
Fatorização
\[ (x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Zeros
\(x=-3,\ -1,\ 1,\ 3\).
Esquema de sinais
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<-1,\ 0<x<1,\ x>2 \]
Resolução
Fatorização
\[ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Domínio
\(x \neq -2,\ x \neq 2\).
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ ou } x>2; \quad f(x)<0 \text{ para } -3<x<2 \]
Resolução
Zeros
\(x=-3,\ 0,\ 2\).
Observação
\(x=0\) é zero duplo (não muda o sinal).
Exercício 16 — nível ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-2,\ -1<x<0,\ 0<x<1,\ x>1\]
\[ f(x)<0 \text{ para } -2<x<-1 \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } 0<x<1 \text{ ou } x>1; \quad f(x)<0 \text{ para } x<-1 \text{ ou } -1<x<0 \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Resultado
\[ f(x)\geq 0 \text{ para todo } x\in\mathbb{R}\]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-3,\ 1 \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ ou } x>2; \quad f(x)<0 \text{ para } -3<x<2 \]
Resolução
Fatorização do numerador
Agrupamos os termos:
\[ x^3+x^2-4x-4 = x^2(x+1)-4(x+1) \]
\[ = (x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2) \]
Fatorização do denominador
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Domínio
O denominador anula-se para:
\[ x=-1,\quad x=2 \]
Portanto:
\[ x\neq -1,\quad x\neq 2 \]
Simplificação
Para \(x\neq -1\) e \(x\neq 2\), pode-se simplificar:
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x+2 \]
A função tem então o mesmo sinal de \(x+2\), tendo em conta que \(x=-1\) e \(x=2\) são excluídos do domínio.
Conclusão
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<-1,\ -1<x<2,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-2 \]
Os pontos \(x=-1\) e \(x=2\) estão excluídos do domínio.
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Resultado
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<-1,\ -1<x<2,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-2 \]
Resolução
Fatorização do numerador
Agrupamos os termos:
\[ x^3+x^2-4x-4 = x^2(x+1)-4(x+1) \]
\[ = (x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2) \]
Fatorização do denominador
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Domínio
O denominador anula-se para:
\[ x=-1,\quad x=2 \]
Logo:
\[ x\neq -1,\quad x\neq 2 \]
Simplificação
Para \(x\neq -1\) e \(x\neq 2\), podemos simplificar:
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x+2 \]
A função tem então o mesmo sinal de \(x+2\), tendo em conta que os pontos \(x=-1\) e \(x=2\) estão excluídos do domínio.
Conclusão
\[ f(x)>0 \text{ para } -2<x<-1,\ -1<x<2,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ para } x<-2 \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-2 \]
Os pontos \(x=-1\) e \(x=2\) não pertencem ao domínio.