Uma coleção de problemas resolvidos para aprenderes a estudar o sinal de um trinómio à medida que um parâmetro real varia, a analisar o discriminante como função de \( k \) e a tratar os casos degenerados em que o coeficiente do termo quadrático se anula. Encontrarás a discussão completa para cada valor de \( k \), com passos claros mesmo nos casos mais elaborados, concebida para te ajudar a raciocinar com método, sem deixar nenhum caso de fora.
Exercício 1 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + 1 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\): \(S = \left(-\infty,\, x_1\right) \cup \left(x_2,\, +\infty\right)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4 \]
Raízes (quando \(\Delta \ge 0\))
\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \]
Estudo do sinal — parábola com concavidade voltada para cima
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\): nenhuma raiz real, o trinómio é sempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\): raiz dupla \(x_0 = -k/2\); a parábola toca o eixo mas não o atravessa; desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\): duas raízes distintas \(x_1 < x_2\); positivo no exterior das raízes; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 2 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-2)x + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (4-2\sqrt{3},\; 4+2\sqrt{3})\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 4 \pm 2\sqrt{3}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• caso contrário: \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = (k-2)^2 - 4k = k^2 - 8k + 4 \]
Raízes de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (4-2\sqrt{3},\, 4+2\sqrt{3})\): trinómio sempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0\): raiz dupla; desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parábola voltada para cima com duas raízes distintas; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 3 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 > 0 \]
Resultado
• \(k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\)
• \(k > -\tfrac{1}{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) com \(x_{1,2} = (k+1) \mp \sqrt{2k+1}\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4k^2 = 4(k^2+2k+1-k^2) = 4(2k+1) \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -\tfrac{1}{2}\): raiz dupla \(x_0 = k+1 = \tfrac{1}{2}\); desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k > -\tfrac{1}{2}\): duas raízes distintas; positivo no exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 4 — nível ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(1 < k < 2\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 1\): \(S = [x_1, x_2]\)
Resolução
Caso \(k = 1\) — equação linear
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — equação quadrática
\[ \Delta = 4 - 4(k-1) = 8 - 4k \]
• \(k > 2\): \(\Delta < 0\), \(k-1 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 2\): \(\Delta = 0\), raiz dupla \(x_0 = -1\), \(k-1 > 0\); desigualdade não estrita; \(S = \mathbb{R}\).
• \(1 < k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-1 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 1\): \(\Delta > 0\), \(k-1 < 0\) (concavidade \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Exercício 5 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + kx - 4 > 0 \]
Resultado
Para qualquer \(k \in \mathbb{R}\) existem sempre duas raízes reais distintas; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) com \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{k^2+16}}{2}\).
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 + 16 \ge 16 > 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{R} \]
O trinómio tem sempre duas raízes reais distintas. Parábola voltada para cima: positivo no exterior das raízes.
Exercício 6 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (raiz \(x_0=0\)) ou \(k=4\) (raiz \(x_0=2\)): desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 7 — nível ★★★★☆
\[ x^2 + (k+1)x + k < 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \emptyset\)
• \(k < 1\): \(S = (-1,\; -k)\)
• \(k > 1\): \(S = (-k,\; -1)\)
Resolução
Fatorização
\[ x^2 + (k+1)x + k = (x+1)(x+k) \]
Discriminante (verificação)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Estudo do sinal
Raízes: \(x = -1\) e \(x = -k\).
• \(k = 1\): raiz dupla \(x = -1\); \((x+1)^2 < 0\) é impossível; \(S = \emptyset\).
• \(k < 1\): \(-k > -1\), raízes ordenadas \(-1 < -k\); produto \(< 0\) entre as raízes; \(S = (-1,\, -k)\).
• \(k > 1\): \(-k < -1\), raízes ordenadas \(-k < -1\); produto \(< 0\) entre as raízes; \(S = (-k,\, -1)\).
Exercício 8 — nível ★★★★☆
\[ x^2 - 3kx + 2k > 0 \]
Resultado
• \(k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) ou \(k = \tfrac{8}{9}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = 9k^2 - 8k = k(9k-8) \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0\) ou \(k = \tfrac{8}{9}\): desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + 2 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 8 \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\sqrt{2}\): raiz dupla \(x_0 = k/2\); desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-3)x + 2k \le 0 \]
Resultado
• \(k \in (7-2\sqrt{10},\; 7+2\sqrt{10})\): \(S = \emptyset\)
• \(k = 7 \pm 2\sqrt{10}\): \(S = \{x_0\}\)
• caso contrário: \(S = [x_1, x_2]\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = (k-3)^2 - 8k = k^2 - 14k + 9 \]
Raízes de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{14 \pm \sqrt{196-36}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{10} \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (7-2\sqrt{10},\, 7+2\sqrt{10})\): parábola voltada para cima sempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
• \(\Delta = 0\): raiz única \(x_0\); desigualdade não estrita; \(S = \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parábola voltada para cima, negativa entre as raízes; \(S = [x_1, x_2]\).
Exercício 11 — nível ★★★★☆
\[ (k+2)x^2 - x + 1 > 0 \]
Resultado
• \(k = -2\): \(S = (-\infty, 1)\)
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) (com \(k \neq -2\)): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
• \(k < -2\): \(S = (x_1, x_2)\)
Resolução
Caso \(k = -2\) — equação linear
\(-x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x < 1\); \(S = (-\infty, 1)\).
Caso \(k \neq -2\) — equação quadrática
\[ \Delta = 1 - 4(k+2) = -4k - 7 \]
Nota: \(-2 < -\tfrac{7}{4}\) (ou seja, \(-2 < -1{,}75\)), pelo que na reta real a ordem é \(k < -2\), depois \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\) e por fim \(k \ge -\tfrac{7}{4}\).
• \(k > -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta < 0\), \(k+2 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta = 0\), \(k+2 = \tfrac{1}{4} > 0\); raiz dupla \(x_0 = \tfrac{1}{2(k+2)} = 2\); desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta > 0\), \(k+2 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); positivo no exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
• \(k < -2\): \(\Delta > 0\), \(k+2 < 0\) (concavidade \(\downarrow\)); positivo entre as raízes; \(S = (x_1, x_2)\).
Exercício 12 — nível ★★★★☆
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 \ge 0 \]
Resultado
Para qualquer \(k\), \(S = (-\infty,\; k-1] \cup [k+1,\; +\infty)\).
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-1) = 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Raízes
\[ x_{1,2} = \frac{2k \pm 2}{2} = k \pm 1 \]
Parábola voltada para cima com raízes \(k-1 < k+1\); desigualdade não estrita; \(S = (-\infty,\, k-1] \cup [k+1,\, +\infty)\).
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (raiz \(x_0=0\)) ou \(k=4\) (raiz \(x_0=-2\)): desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + 1 < 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \left(-\infty,\, -\tfrac{1}{2}\right)\)
• \(k > 1\): \(S = (x_1, x_2)\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Caso \(k = 1\) — equação linear
\(2x + 1 < 0 \;\Rightarrow\; x < -\tfrac{1}{2}\); \(S = \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — equação quadrática
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1) = k^2 - 2k + 5 = (k-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \forall\, k \]
O discriminante é sempre positivo: o trinómio tem sempre duas raízes reais distintas.
• \(k > 1\): \(k-1 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); negativo entre as raízes; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(k < 1\): \(k-1 < 0\) (concavidade \(\downarrow\)); negativo no exterior das raízes; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
\[ x^2 - k^2 x + 1 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(|k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^4 - 4 \]
Estudo
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k^4 < 4 \;\Leftrightarrow\; k^2 < 2 \;\Leftrightarrow\; |k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \sqrt{2}\): \(k^2 = 2\), raiz dupla \(x_0 = k^2/2 = 1\); desigualdade estrita; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercício 16 — nível ★★★★☆
\[ x^2 + 2kx + k^2 - 4 \ge 0 \]
Resultado
Para qualquer \(k\), \(S = (-\infty,\; -k-2] \cup [-k+2,\; +\infty)\).
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-4) = 16 > 0 \quad \forall\, k \]
Raízes
\[ x_{1,2} = \frac{-2k \pm 4}{2} = -k \pm 2 \]
Parábola voltada para cima com raízes \(-k-2 < -k+2\); desigualdade não estrita; \(S = (-\infty,\, -k-2] \cup [-k+2,\, +\infty)\).
Exercício 17 — nível ★★★★☆
\[ x^2 - (k+1)x + k > 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Resolução
Fatorização
\[ x^2 - (k+1)x + k = (x-1)(x-k) \]
Discriminante (verificação)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Estudo do sinal
• \(k = 1\): raiz dupla \(x = 1\); \((x-1)^2 > 0\) para todo \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k < 1\): raízes ordenadas \(k < 1\); produto \(> 0\) no exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k > 1\): raízes ordenadas \(1 < k\); produto \(> 0\) no exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ (k-2)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Resultado
• \(k = 2\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(2 < k < 3\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 2\): \(S = [x_1, x_2]\)
Resolução
Caso \(k = 2\) — equação linear
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 2\) — equação quadrática
\[ \Delta = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k \]
• \(k > 3\): \(\Delta < 0\), \(k-2 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 3\): \(\Delta = 0\), raiz dupla \(x_0 = -1\), \(k-2 = 1 > 0\); desigualdade não estrita; \(S = \mathbb{R}\).
• \(2 < k < 3\): \(\Delta > 0\), \(k-2 > 0\) (concavidade \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-2 < 0\) (concavidade \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ x^2 + kx + k^2 - 1 < 0 \]
Resultado
• \(|k| < \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = (x_1, x_2)\) com \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{4-3k^2}}{2}\)
• \(|k| \ge \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = \emptyset\)
Resolução
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4(k^2-1) = -3k^2 + 4 \]
Estudo
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; 3k^2 < 4 \;\Leftrightarrow\; |k| < \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): parábola voltada para cima, negativa entre as raízes; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): raiz dupla, trinómio \(\ge 0\); desigualdade estrita; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): nenhuma raiz real, trinómio sempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ (x-k)(x-1) > 0 \]
Resultado
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Resolução
Raízes
\[ x = k \qquad x = 1 \]
Estudo do sinal
• \(k < 1\): raízes ordenadas \(k < 1\); produto \(> 0\) no exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k = 1\): raiz dupla \((x-1)^2 > 0\) para todo \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k > 1\): raízes ordenadas \(1 < k\); produto \(> 0\) no exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).