Já calculamos algumas derivadas de funções elementares mediante o limite do quociente incremental. Agora estudaremos, de modo mais geral, a derivada da soma \((f+g)'(x_0)\), a derivada do produto \((f\cdot g)'(x_0)\), a derivada da função composta \((f\circ g)'(x_0)\) e a derivada da função inversa \((f^{-1})'(y_0)\).
Índice
Derivada da Soma
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X\cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \(x_0\), então \( (f + g )(x) \) é derivável em \(x_0\) e a sua derivada é dada por\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Demonstração. Aplicamos a definição de derivada à função soma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align} O último passo é justificado pelo facto de que o limite da soma é igual à soma dos limites. Deduzimos portanto que, visto que as funções \(f\) e \(g\) são deriváveis em \(x_0\), a soma é derivável em \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivada do Produto
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \( x_0 \), então o produto \( (f \cdot g)(x) \) é derivável em \(x_0\) e a sua derivada é dada por: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Demonstração. Aplicamos a definição de derivada à função produto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Podemos manipular algebricamente a expressão - adicionando e subtraindo \( f(x_0)g(x) \) - ao numerador para evidenciar a diferença de dois termos:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Agrupamos os termos de modo a podermos extrair factores comuns:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Agora podemos substituir esta expressão no limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividimos este limite em duas partes:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideremos o primeiro limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x) \right). \]
Como \(g\) é derivável em \(x_0\), é contínua em \(x_0\). Portanto
\[ \lim_{x \to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Consequentemente
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = f'(x_0)g(x_0). \]
Agora consideremos o segundo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando ambos os resultados, obtemos:
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Esta é a regra do produto para as derivadas, que afirma que a derivada do produto de duas funções é dada pela soma do produto da derivada da primeira função pela segunda função, mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função.
Derivada da Função Composta
Sejam \(g:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e \(f:Y\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) duas funções tais que \(g(X)\subset Y\). Seja \(x_0\in X\), e suponhamos que \(g\) é derivável em \(x_0\) e que \(f\) é derivável em \(g(x_0)\). Então a função composta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
é derivável em \(x_0\), e vale
\[ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Demonstração. Ponhamos
\[ y_0=g(x_0). \]
Como \(f\) é derivável em \(y_0\), existe uma função \(\varepsilon\), com \(\varepsilon(y)\to 0\) quando \(y\to y_0\), tal que
\[ f(y)-f(y_0)=\bigl(f'(y_0)+\varepsilon(y)\bigr)(y-y_0). \]
Aplicando esta identidade com \(y=g(x)\), obtemos
\[ f(g(x))-f(g(x_0)) = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \bigl(g(x)-g(x_0)\bigr). \]
Dividindo por \(x-x_0\), com \(x\neq x_0\), temos
\[ \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. \]
Como \(g\) é derivável em \(x_0\), é contínua em \(x_0\). Portanto, quando \(x\to x_0\), temos \(g(x)\to g(x_0)\), e por isso
\[ \varepsilon(g(x))\to 0. \]
Passando ao limite, obtemos
\[ (f\circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Isto demonstra a regra de derivação da função composta.
Derivada da Função Inversa
Seja \(f:X\subset\mathbb{R}\to Y\subset\mathbb{R}\) uma função bijetiva e contínua em um intervalo aberto \(X\), com inversa \(f^{-1}:Y\to X\). Seja \(x_0\in X\), e ponhamos
\[ y_0=f(x_0). \]
Se \(f\) é derivável em \(x_0\) e \(f'(x_0)\neq 0\), então \(f^{-1}\) é derivável em \(y_0\), e vale
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Demonstração. Consideremos o quociente incremental da função inversa:
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}. \]
Ponhamos
\[ x=f^{-1}(y). \]
Então \(y=f(x)\). Além disso, como \(f^{-1}\) é contínua, da condição \(y\to y_0\) segue que \(x\to x_0\). Portanto, podemos escrever
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Passando ao limite para \(y\to y_0\), isto é, para \(x\to x_0\), obtemos
\[ \lim_{y\to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Como \(f'(x_0)\neq 0\), temos
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \frac{1}{f'(x_0)}. \]
Consequentemente
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Observação. Se \(f'(x_0)=0\), a fórmula anterior não pode ser aplicada. De facto, se \(f^{-1}\) fosse derivável em \(y_0=f(x_0)\), ao aplicar a regra de derivação da função composta à identidade
\[ (f^{-1}\circ f)(x)=x \]
obteríamos
\[ (f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)=1, \]
o que é impossível quando \(f'(x_0)=0\).
Exemplo. Consideremos a função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[ f(x)=x^3. \]
Ela é bijetiva e tem inversa
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. \]
No entanto, \(f'(0)=0\). De facto, a função inversa não é derivável em \(y_0=0\), pois
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}{y-0} = \frac{\sqrt[3]{y}}{y} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \]
não admite limite finito quando \(y\to 0\).