Uma coletânea progressiva para aprender a resolver equações com radicais. Em cada exercício isolamos as raízes, elevamos ao quadrado com atenção e verificamos sempre as soluções obtidas. Esta fase de verificação é fundamental, pois elevar ao quadrado pode introduzir soluções estranhas: trata-se de valores que surgem corretamente dos cálculos algébricos, mas que não satisfazem a equação original e, portanto, devem ser descartados.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x}=3 \]
Resultado
\[ x=9 \]
Resolução
Estratégia de resolução
A raiz já está isolada. Para eliminá-la, elevamos ambos os membros ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x}=3 \]
A raiz quadrada está isolada no primeiro membro.
\[ (\sqrt{x})^2=3^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz.
\[ x=9 \]
O quadrado da raiz devolve o radicando.
Verificação
\[ \sqrt{9}=3 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=9} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Resultado
\[ x=15 \]
Resolução
Estratégia de resolução
A raiz já está isolada. Elevamos ao quadrado e, em seguida, resolvemos a equação linear obtida.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
O radical contém \(x+1\), por isso é preciso eliminar a raiz.
\[ (\sqrt{x+1})^2=4^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+1=16 \]
Após elevar ao quadrado, resta uma equação do primeiro grau.
Passo 2
\[ x=16-1 \]
Subtraímos \(1\) de ambos os membros para isolar \(x\).
\[ x=15 \]
Verificação
\[ \sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4 \]
A solução satisfaz a equação inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=15} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolução
Estratégia de resolução
A raiz está isolada. Elevamos ao quadrado e, depois, resolvemos a equação linear.
Passo 1
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
O radicando é \(2x-1\). Para retirá-lo da raiz, elevamos ao quadrado.
\[ 2x-1=9 \]
O segundo membro passa a ser \(3^2=9\).
Passo 2
\[ 2x=10 \]
Somamos \(1\) a ambos os membros.
\[ x=5 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\).
Verificação
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3 \]
A solução está correta.
Resultado
\[ \boxed{x=5} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolução
Estratégia de resolução
A raiz está isolada. Como \(\sqrt{x}\ge0\), o segundo membro também tem de ser não negativo: \(x-2\ge0\), isto é, \(x\ge2\).
Passo 1
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Podemos elevar ao quadrado, já que a raiz está isolada.
\[ x=(x-2)^2 \]
O primeiro membro fica como \(x\), enquanto o segundo é desenvolvido como quadrado de um binómio.
Passo 2
\[ x=x^2-4x+4 \]
Desenvolvemos \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
\[ x^2-5x+4=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro, de modo a obter uma equação do segundo grau.
Passo 3
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
Fatoramos o trinómio procurando dois números cujo produto seja \(4\) e cuja soma seja \(-5\): são \(-1\) e \(-4\).
\[ (x-1)(x-4)=0 \]
Um produto é nulo quando, pelo menos, um dos fatores é nulo.
\[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Verificação
Para \(x=1\): \[ \sqrt{1}=1,\qquad 1-2=-1 \]
Os dois membros não são iguais, portanto \(x=1\) é uma solução estranha.
Para \(x=4\): \[ \sqrt{4}=2,\qquad 4-2=2 \]
Os dois membros coincidem, portanto \(x=4\) é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Resultado
\[ x=2 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O segundo membro é \(x\). Como uma raiz quadrada é sempre não negativa, deve ter-se \(x\ge0\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+2}=x \]
A raiz está isolada, portanto podemos elevar ao quadrado.
\[ x+2=x^2 \]
O quadrado da raiz elimina o símbolo do radical.
Passo 2
\[ x^2-x-2=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro, obtendo uma quadrática ordenada.
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
Fatoramos o trinómio: o produto vale \(-2\) e a soma \(-1\).
\[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Aplicamos a lei do anulamento do produto.
Verificação
\(x=-1\) não pode ser aceite, pois não respeita a condição \(x\ge0\).
Para \(x=2\): \[ \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \]
A solução satisfaz a equação inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=2} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolução
Estratégia de resolução
A raiz já está isolada. Como uma raiz quadrada é sempre não negativa, também é necessário que \(x-2\ge0\), ou seja, \(x\ge2\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Podemos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz.
\[ x+4=(x-2)^2 \]
O primeiro membro torna-se o radicando \(x+4\), enquanto o segundo é um quadrado de binómio.
Passo 2
\[ x+4=x^2-4x+4 \]
Desenvolvemos \((x-2)^2\) usando a fórmula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ x^2-5x=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro e simplificamos \(+4\) com \(+4\).
Passo 3
\[ x(x-5)=0 \]
Colocamos em evidência o fator comum \(x\).
\[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=5 \]
Um produto é nulo se, pelo menos, um dos fatores for nulo.
Verificação
\(x=0\) não satisfaz a condição \(x\ge2\), portanto deve ser descartada.
Para \(x=5\): \[ \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3 \]
O segundo membro vale: \[ 5-2=3 \]
Os dois membros coincidem, portanto \(x=5\) é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=5} \]
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O segundo membro é \(x\). Como o primeiro membro é uma raiz quadrada, deve ter-se \(x\ge0\). Após elevar ao quadrado, verificamos as soluções.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
A raiz está isolada, podemos então elevar ambos os membros ao quadrado.
\[ 2x+3=x^2 \]
O quadrado da raiz elimina o radical.
Passo 2
\[ x^2-2x-3=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro, obtendo uma equação do segundo grau na forma normal.
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Fatoramos o trinómio: precisamos de dois números com produto \(-3\) e soma \(-2\), ou seja, \(-3\) e \(+1\).
Passo 3
\[ x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+1=0 \]
Aplicamos a lei do anulamento do produto.
\[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Verificação
\(x=-1\) não satisfaz a condição \(x\ge0\), portanto deve ser descartada.
Para \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3 \]
O segundo membro coincide com \(x=3\), portanto a equação é satisfeita.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O segundo membro tem de ser não negativo, pois é igual a uma raiz quadrada. Logo, \(x-1\ge0\), isto é, \(x\ge1\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
A raiz está isolada: elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+5=(x-1)^2 \]
O radical desaparece e o segundo membro passa a ser um quadrado de binómio.
Passo 2
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
Desenvolvemos \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
\[ x^2-3x-4=0 \]
Passamos tudo para o mesmo membro, a fim de obter uma quadrática ordenada.
Passo 3
\[ x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \]
Fatoramos o trinómio: o produto deve valer \(-4\) e a soma \(-3\), portanto os números são \(-4\) e \(+1\).
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
Um produto é nulo quando, pelo menos, um dos fatores é nulo.
\[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Verificação
\(x=-1\) não satisfaz a condição \(x\ge1\), portanto deve ser descartada.
Para \(x=4\): \[ \sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
O segundo membro vale: \[ 4-1=3 \]
Os dois membros coincidem, portanto \(x=4\) é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x\ge0\). Como há dois radicais, isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Isolamos \(\sqrt{x+1}\), passando \(\sqrt{x}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x} \]
Agora uma raiz está isolada e podemos elevar ao quadrado.
Passo 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado. Do lado direito surge um quadrado de binómio.
\[ x+1=9-6\sqrt{x}+x \]
Com efeito, \((3-\sqrt{x})^2=9-6\sqrt{x}+x\).
Passo 3
\[ 1=9-6\sqrt{x} \]
Subtraímos \(x\) de ambos os membros.
\[ 6\sqrt{x}=8 \]
Passamos o termo com a raiz para o primeiro membro e o termo numérico para o segundo.
\[ \sqrt{x}=\dfrac{4}{3} \]
Dividimos ambos os membros por \(6\).
Passo 4
\[ x=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \]
Elevamos novamente ao quadrado para eliminar a última raiz.
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Verificação
Substituímos \(x=\dfrac{16}{9}\) na equação inicial: \[ \sqrt{\dfrac{16}{9}+1}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Somamos dentro da primeira raiz: \[ \sqrt{\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calculamos as duas raízes: \[ \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=3 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{16}{9}} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolução
Estratégia de resolução
Os dois radicandos exigem \(x+6\ge0\) e \(x+1\ge0\), portanto o domínio é \(x\ge-1\). Isolamos uma raiz e, depois, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Passamos \(-\sqrt{x+1}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x+1} \]
Agora a raiz \(\sqrt{x+6}\) está isolada.
Passo 2
\[ x+6=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+6=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Desenvolvemos o quadrado do binómio \((1+\sqrt{x+1})^2\).
Passo 3
\[ x+6=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Somamos os termos numéricos \(1+1=2\).
\[ 4=2\sqrt{x+1} \]
Subtraímos \(x+2\) de ambos os membros.
\[ \sqrt{x+1}=2 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\).
Passo 4
\[ x+1=4 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a última raiz.
\[ x=3 \]
Subtraímos \(1\) de ambos os membros.
Verificação
Substituímos \(x=3\): \[ \sqrt{3+6}-\sqrt{3+1} \]
Calculamos os radicandos: \[ \sqrt{9}-\sqrt{4} \]
Calculamos as raízes: \[ 3-2=1 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Exercício 11 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x\ge2\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado duas vezes.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Passamos \(\sqrt{x-2}\) para o segundo membro a fim de isolar uma raiz.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2} \]
Passo 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x-2})^2 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a primeira raiz.
\[ x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2 \]
Passo 3
\[ x+1=x+7-6\sqrt{x-2} \]
Reduzimos os termos semelhantes.
\[ 6\sqrt{x-2}=6 \]
\[ \sqrt{x-2}=1 \]
Passo 4
\[ x-2=1 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz.
\[ x=3 \]
Verificação
\[ \sqrt{3+1}+\sqrt{3-2}=2+1=3 \]
A solução está correta.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Exercício 12 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio é \(x\ge0\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x} \]
Isolamos uma raiz para podermos eliminar o radical.
Passo 2
\[ x+5=(5-\sqrt{x})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+5=25-10\sqrt{x}+x \]
Passo 3
\[ 5=25-10\sqrt{x} \]
Simplificamos subtraindo \(x\) de ambos os membros.
\[ 10\sqrt{x}=20 \]
\[ \sqrt{x}=2 \]
Passo 4
\[ x=4 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz.
Verificação
\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5 \]
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{3x+4}=x+2 \]
Resultado
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x=0 \]
Resolução
Estratégia de resolução
Como o segundo membro é \(x+2\), deve ter-se \(x+2\ge0\). A raiz já está isolada.
Passo 1
\[ 3x+4=(x+2)^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
Passo 2
\[ 3x+4=x^2+4x+4 \]
\[ x^2+x=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro.
Passo 3
\[ x(x+1)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Verificação
Ambas as soluções satisfazem a equação inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{ou} \quad x=0} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x\ge2\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-2} \]
Passo 2
\[ x+2=(4-\sqrt{x-2})^2 \]
\[ x+2=16-8\sqrt{x-2}+x-2 \]
Passo 3
\[ x+2=x+14-8\sqrt{x-2} \]
\[ 8\sqrt{x-2}=12 \]
\[ \sqrt{x-2}=\dfrac{3}{2} \]
Passo 4
\[ x-2=\dfrac{9}{4} \]
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Verificação
\[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{17}{4}} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1 \]
Resultado
\[ x=16 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x\ge0\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+9}=1+\sqrt{x} \]
Passo 2
\[ x+9=(1+\sqrt{x})^2 \]
\[ x+9=1+2\sqrt{x}+x \]
Passo 3
\[ 9=1+2\sqrt{x} \]
\[ 2\sqrt{x}=8 \]
\[ \sqrt{x}=4 \]
Passo 4
\[ x=16 \]
Verificação
\[ 5-4=1 \]
Resultado
\[ \boxed{x=16} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{13}{4} \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x-1\ge0\), isto é, \(x\ge1\). Isolamos uma das duas raízes e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Passamos \(\sqrt{x-1}\) para o segundo membro a fim de isolar a raiz \(\sqrt{x+3}\).
\[ \sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1} \]
Agora há uma raiz isolada, portanto podemos elevar ao quadrado.
Passo 2
\[ x+3=(4-\sqrt{x-1})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado. À direita aparece um quadrado de binómio.
\[ x+3=16-8\sqrt{x-1}+x-1 \]
Desenvolvemos \((4-\sqrt{x-1})^2\): o duplo produto é \(-8\sqrt{x-1}\).
Passo 3
\[ x+3=x+15-8\sqrt{x-1} \]
Somamos os termos numéricos \(16-1=15\).
\[ 3=15-8\sqrt{x-1} \]
Subtraímos \(x\) de ambos os membros.
\[ 8\sqrt{x-1}=12 \]
Passamos o termo com a raiz para o primeiro membro e o termo numérico para o segundo.
\[ \sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2} \]
Dividimos ambos os membros por \(8\).
Passo 4
\[ x-1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a última raiz.
\[ x-1=\dfrac{9}{4} \]
Calculamos o quadrado de \(\dfrac{3}{2}\).
\[ x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \]
Somamos \(1\) a ambos os membros.
Verificação
Substituímos \(x=\dfrac{13}{4}\): \[ \sqrt{\dfrac{13}{4}+3}+\sqrt{\dfrac{13}{4}-1} \]
Calculamos os radicandos: \[ \sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt{\dfrac{9}{4}} \]
Calculamos as raízes: \[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{13}{4}} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x-3\ge0\), isto é, \(x\ge3\). Isolamos uma raiz: após o primeiro quadrado restará ainda uma raiz, pelo que teremos de elevar ao quadrado uma segunda vez.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Passamos \(\sqrt{x-3}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{2x+1}=4-\sqrt{x-3} \]
Deste modo, a raiz \(\sqrt{2x+1}\) fica isolada.
Passo 2
\[ 2x+1=(4-\sqrt{x-3})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ 2x+1=16-8\sqrt{x-3}+x-3 \]
Desenvolvemos o quadrado do binómio.
Passo 3
\[ 2x+1=x+13-8\sqrt{x-3} \]
Somamos os termos numéricos \(16-3=13\).
\[ 8\sqrt{x-3}=12-x \]
Isolamos a raiz que restou.
Passo 4
\[ 64(x-3)=(12-x)^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado para eliminar a segunda raiz.
Passo 5
\[ 64x-192=x^2-24x+144 \]
Desenvolvemos ambos os membros: à esquerda distribuímos \(64\); à direita desenvolvemos o quadrado \((12-x)^2\).
\[ x^2-88x+336=0 \]
Passamos todos os termos para o mesmo membro e reduzimos os termos semelhantes.
Passo 6
\[ x^2-88x+336=(x-4)(x-84) \]
Fatoramos o trinómio: \(4\cdot84=336\) e \(4+84=88\).
\[ (x-4)(x-84)=0 \]
Aplicamos a lei do anulamento do produto.
\[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=84 \]
Verificação
Para \(x=4\): \[ \sqrt{2\cdot4+1}+\sqrt{4-3} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4 \]
Logo, \(x=4\) é aceitável.
Para \(x=84\): \[ \sqrt{2\cdot84+1}+\sqrt{84-3} = \sqrt{169}+\sqrt{81} = 13+9=22 \]
O resultado não é \(4\), pelo que \(x=84\) é uma solução estranha.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Resultado
\[ x=12 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x+4\ge0\), isto é, \(x\ge-4\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Passamos \(-\sqrt{x+4}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{x+13}=1+\sqrt{x+4} \]
Agora a raiz \(\sqrt{x+13}\) está isolada.
Passo 2
\[ x+13=(1+\sqrt{x+4})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+13=1+2\sqrt{x+4}+x+4 \]
Desenvolvemos o quadrado do binómio \((1+\sqrt{x+4})^2\).
Passo 3
\[ x+13=x+5+2\sqrt{x+4} \]
Somamos os termos numéricos \(1+4=5\).
\[ 8=2\sqrt{x+4} \]
Subtraímos \(x+5\) de ambos os membros.
\[ \sqrt{x+4}=4 \]
Dividimos ambos os membros por \(2\).
Passo 4
\[ x+4=16 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a última raiz.
\[ x=12 \]
Subtraímos \(4\) de ambos os membros.
Verificação
Substituímos \(x=12\): \[ \sqrt{12+13}-\sqrt{12+4} \]
Calculamos os radicandos: \[ \sqrt{25}-\sqrt{16} \]
Calculamos as raízes: \[ 5-4=1 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=12} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Resultado
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x=3 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x+1\ge0\), isto é, \(x\ge-1\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Passamos \(-\sqrt{x+1}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1} \]
Agora a raiz \(\sqrt{2x+3}\) está isolada.
Passo 2
\[ 2x+3=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Desenvolvemos o quadrado do binómio.
Passo 3
\[ 2x+3=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Somamos os termos numéricos.
\[ x+1=2\sqrt{x+1} \]
Subtraímos \(x+2\) de ambos os membros e isolamos a expressão radical.
Passo 4
Façamos a substituição: \[ t=\sqrt{x+1} \]
Esta mudança de variável é útil porque na equação aparecem tanto \(x+1\) como \(\sqrt{x+1}\). Além disso, sendo \(t\) uma raiz quadrada, tem-se \(t\ge0\).
Como: \[ t=\sqrt{x+1} \]
então: \[ t^2=x+1 \]
Substituímos \(x+1\) por \(t^2\) e \(\sqrt{x+1}\) por \(t\).
\[ t^2=2t \]
Passo 5
\[ t^2-2t=0 \]
Passamos todos os termos para o primeiro membro.
\[ t(t-2)=0 \]
Colocamos em evidência o fator comum \(t\).
\[ t=0 \quad \text{ou} \quad t=2 \]
Aplicamos a lei do anulamento do produto.
Passo 6
Se \(t=0\), então: \[ \sqrt{x+1}=0 \]
Elevando ao quadrado: \[ x+1=0 \implies x=-1 \]
Se \(t=2\), então: \[ \sqrt{x+1}=2 \]
Elevando ao quadrado: \[ x+1=4 \implies x=3 \]
Verificação
Para \(x=-1\): \[ \sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{1}-\sqrt{0} = 1-0=1 \]
Logo, \(x=-1\) é aceitável.
Para \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1} = \sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1 \]
Logo, \(x=3\) também é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{ou} \quad x=3} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Resultado
\[ x=7 \]
Resolução
Estratégia de resolução
O domínio exige \(x-3\ge0\), isto é, \(x\ge3\). Isolamos uma raiz e, em seguida, elevamos ao quadrado.
Passo 1
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Passamos \(\sqrt{x-3}\) para o segundo membro.
\[ \sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3} \]
Agora a raiz \(\sqrt{x+9}\) está isolada.
Passo 2
\[ x+9=(6-\sqrt{x-3})^2 \]
Elevamos ambos os membros ao quadrado.
\[ x+9=36-12\sqrt{x-3}+x-3 \]
Desenvolvemos o quadrado do binómio \((6-\sqrt{x-3})^2\).
Passo 3
\[ x+9=x+33-12\sqrt{x-3} \]
Somamos os termos numéricos \(36-3=33\).
\[ 9=33-12\sqrt{x-3} \]
Subtraímos \(x\) de ambos os membros.
\[ 12\sqrt{x-3}=24 \]
Isolamos o termo radical.
\[ \sqrt{x-3}=2 \]
Dividimos ambos os membros por \(12\).
Passo 4
\[ x-3=4 \]
Elevamos ao quadrado para eliminar a última raiz.
\[ x=7 \]
Somamos \(3\) a ambos os membros.
Verificação
Substituímos \(x=7\): \[ \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3} \]
Calculamos os radicandos: \[ \sqrt{16}+\sqrt{4} \]
Calculamos as raízes: \[ 4+2=6 \]
A igualdade é verdadeira, portanto a solução é aceitável.
Resultado
\[ \boxed{x=7} \]