Uma coleção progressiva de exercícios resolvidos passo a passo para aprender a transformar corretamente as equações com valor absoluto, distinguir os casos necessários e verificar as soluções obtidas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
\[ |x|=7 \]
Resultado
\[ x=-7 \quad \text{ou} \quad x=7 \]
Resolução
Se o valor absoluto de um número é igual a \(7\), então o número pode ser \(7\) ou \(-7\).
\[ |x|=7 \iff x=7 \quad \text{ou} \quad x=-7 \]
Portanto: \[ \boxed{x=-7 \quad \text{ou} \quad x=7} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
\[ |x-3|=5 \]
Resultado
\[ x=-2 \quad \text{ou} \quad x=8 \]
Resolução
Aplicamos a propriedade: \[ |A|=k \iff A=k \quad \text{ou} \quad A=-k \] com \(k\ge 0\).
Então: \[ x-3=5 \quad \text{ou} \quad x-3=-5 \]
Resolvemos a primeira equação: \[ x-3=5 \Rightarrow x=8 \]
Resolvemos a segunda: \[ x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{ou} \quad x=8} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
\[ |2x-1|=9 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=5 \]
Resolução
O valor absoluto é igual a \(9\), pelo que a expressão interna pode valer \(9\) ou \(-9\).
\[ 2x-1=9 \quad \text{ou} \quad 2x-1=-9 \]
Primeiro caso: \[ 2x-1=9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Segundo caso: \[ 2x-1=-9 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4 \]
Então: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=5} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ |x+2|=0 \]
Resultado
\[ x=-2 \]
Resolução
Um valor absoluto é igual a zero apenas quando a expressão no seu interior é igual a zero.
\[ |x+2|=0 \iff x+2=0 \]
Resolvemos: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Então: \[ \boxed{x=-2} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
\[ |3x+6|=12 \]
Resultado
\[ x=-6 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Resolução
A expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a \(12\) ou a \(-12\).
\[ 3x+6=12 \quad \text{ou} \quad 3x+6=-12 \]
Primeiro caso: \[ 3x+6=12 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \]
Segundo caso: \[ 3x+6=-12 \Rightarrow 3x=-18 \Rightarrow x=-6 \]
Então: \[ \boxed{x=-6 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
\[ |x-4|=-3 \]
Resultado
\[ \varnothing \]
Resolução
O valor absoluto de uma expressão é sempre maior ou igual a zero: \[ |x-4|\ge 0 \]
Por esse motivo, nunca pode ser igual a um número negativo.
Como: \[ -3<0 \] a equação é impossível.
Então: \[ \boxed{\varnothing} \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
\[ |x-1|=x+3 \]
Resultado
\[ x=-1 \]
Resolução
O segundo membro tem de ser não negativo: \[ x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3 \]
Resolvemos distinguindo os dois casos do valor absoluto.
Primeiro caso: \[ x-1=x+3 \] \[ -1=3 \] impossível.
Segundo caso: \[ -(x-1)=x+3 \] \[ -x+1=x+3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]
A solução encontrada respeita a condição \(x\ge -3\), pelo que é aceitável.
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-1} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
\[ |2x-5|=x+1 \]
Resultado
\[ x=\frac{4}{3} \quad \text{ou} \quad x=6 \]
Resolução
Primeiro impomos que o segundo membro seja não negativo: \[ x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1 \]
Em seguida resolvemos os dois casos.
Primeiro caso: \[ 2x-5=x+1 \] \[ x=6 \]
Segundo caso: \[ -(2x-5)=x+1 \] \[ -2x+5=x+1 \] \[ -3x=-4 \] \[ x=\frac{4}{3} \]
Ambas as soluções respeitam \(x\ge -1\).
Então: \[ \boxed{x=\frac{4}{3} \quad \text{ou} \quad x=6} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ |x+4|=2x-1 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolução
O segundo membro tem de ser não negativo: \[ 2x-1\ge 0 \] \[ x\ge \frac{1}{2} \]
Primeiro caso: \[ x+4=2x-1 \] \[ x=5 \]
Segundo caso: \[ -(x+4)=2x-1 \] \[ -x-4=2x-1 \] \[ -3=3x \] \[ x=-1 \]
A solução \(x=-1\) não respeita a condição \(x\ge \frac{1}{2}\), pelo que é descartada.
Resta: \[ \boxed{x=5} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ |x-2|=|x+6| \]
Resultado
\[ x=-2 \]
Resolução
Dois valores absolutos são iguais quando as expressões internas são iguais ou opostas.
Primeiro caso: \[ x-2=x+6 \] \[ -2=6 \] impossível.
Segundo caso: \[ x-2=-(x+6) \] \[ x-2=-x-6 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]
Então: \[ \boxed{x=-2} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
\[ |2x+3|=|x-5| \]
Resultado
\[ x=\frac{2}{3} \quad \text{ou} \quad x=-8 \]
Resolução
Resolvemos impondo que as duas expressões sejam iguais ou opostas.
Primeiro caso: \[ 2x+3=x-5 \] \[ x=-8 \]
Segundo caso: \[ 2x+3=-(x-5) \] \[ 2x+3=-x+5 \] \[ 3x=2 \] \[ x=\frac{2}{3} \]
Por conseguinte: \[ \boxed{x=\frac{2}{3} \quad \text{ou} \quad x=-8} \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
\[ |3x-2|=|x+4| \]
Resultado
\[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{1}{2} \]
Resolução
Também neste caso utilizamos: \[ |A|=|B| \iff A=B \quad \text{ou} \quad A=-B \]
Primeiro caso: \[ 3x-2=x+4 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]
Segundo caso: \[ 3x-2=-(x+4) \] \[ 3x-2=-x-4 \] \[ 4x=-2 \] \[ x=-\frac{1}{2} \]
Então: \[ \boxed{x=3 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{1}{2}} \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
\[ |x-1|+|x+3|=6 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Resolução
Os pontos críticos são aqueles que anulam os argumentos dos valores absolutos: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Estudamos então os intervalos: \[ x<-3, \quad -3\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primeiro intervalo: \(x<-3\). Neste intervalo, ambas as expressões são negativas: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=-(x+3) \] Logo: \[ -x+1-x-3=6 \] \[ -2x-2=6 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] A solução pertence ao intervalo \(x<-3\), pelo que é válida.
Segundo intervalo: \(-3\le x<1\). Neste intervalo: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=x+3 \] Logo: \[ -x+1+x+3=6 \] \[ 4=6 \] impossível.
Terceiro intervalo: \(x\ge 1\). Neste intervalo, ambas as expressões são não negativas: \[ |x-1|=x-1, \qquad |x+3|=x+3 \] Logo: \[ x-1+x+3=6 \] \[ 2x+2=6 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] A solução pertence ao intervalo \(x\ge 1\), pelo que é válida.
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ |x+2|+|x-4|=10 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=6 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Consideramos os intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primeiro intervalo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+4=10 \] \[ -2x+2=10 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+4=10 \] \[ 6=10 \] impossível.
Terceiro intervalo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-4=10 \] \[ 2x-2=10 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Válida porque \(x\ge 4\).
Então: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=6} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ |2x-1|+|x+2|=8 \]
Resultado
\[ x=-3 \quad \text{ou} \quad x=\frac{7}{3} \]
Resolução
Determinamos os pontos críticos: \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \] \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Os intervalos a estudar são: \[ x<-2, \quad -2\le x<\frac{1}{2}, \quad x\ge \frac{1}{2} \]
Primeiro intervalo: \(x<-2\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=-(x+2) \] \[ -2x+1-x-2=8 \] \[ -3x-1=8 \] \[ -3x=9 \] \[ x=-3 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<\frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=x+2 \] \[ -2x+1+x+2=8 \] \[ -x+3=8 \] \[ x=-5 \] Não pertence ao intervalo \(-2\le x<\frac{1}{2}\), pelo que é descartada.
Terceiro intervalo: \(x\ge \frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \] \[ 2x-1+x+2=8 \] \[ 3x+1=8 \] \[ 3x=7 \] \[ x=\frac{7}{3} \] Válida porque \(x\ge \frac{1}{2}\).
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-3 \quad \text{ou} \quad x=\frac{7}{3}} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
\[ |x-2|+|x+1|=3 \]
Resultado
\[ -1\le x\le 2 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ x=-1, \qquad x=2 \]
Estudamos os três intervalos: \[ x<-1, \quad -1\le x<2, \quad x\ge 2 \]
Primeiro intervalo: \(x<-1\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+2-x-1=3 \] \[ -2x+1=3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \] Esta solução não pertence ao intervalo \(x<-1\), pelo que não é aceite neste caso.
Segundo intervalo: \(-1\le x<2\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+2+x+1=3 \] \[ 3=3 \] A identidade é verdadeira para qualquer valor do intervalo.
São, portanto, soluções todos os valores: \[ -1\le x<2 \]
Terceiro intervalo: \(x\ge 2\). \[ |x-2|=x-2, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-2+x+1=3 \] \[ 2x-1=3 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Válida porque \(x\ge 2\).
Reunindo os resultados: \[ \boxed{-1\le x\le 2} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
\[ |x-3|-|x+1|=2 \]
Resultado
\[ x=0 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ x=-1, \qquad x=3 \]
Estudamos os intervalos: \[ x<-1, \quad -1\le x<3, \quad x\ge 3 \]
Primeiro intervalo: \(x<-1\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+3-(-x-1)=2 \] \[ -x+3+x+1=2 \] \[ 4=2 \] impossível.
Segundo intervalo: \(-1\le x<3\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+3-(x+1)=2 \] \[ -2x+2=2 \] \[ -2x=0 \] \[ x=0 \] Válida porque \(0\in[-1,3)\).
Terceiro intervalo: \(x\ge 3\). \[ |x-3|=x-3, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-3-(x+1)=2 \] \[ -4=2 \] impossível.
Verificamos a solução por substituição: \[ |0-3|-|0+1|=3-1=2 \;\checkmark \]
Então: \[ \boxed{x=0} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ |2x+1|-|x-4|=3 \]
Resultado
\[ x=-8 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Estudamos os intervalos: \[ x<-\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primeiro intervalo: \(x<-\frac{1}{2}\). \[ |2x+1|=-(2x+1), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -2x-1-(-x+4)=3 \] \[ -2x-1+x-4=3 \] \[ -x-5=3 \] \[ x=-8 \] Válida porque \(-8<-\frac{1}{2}\).
Segundo intervalo: \(-\frac{1}{2}\le x<4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ 2x+1-(-x+4)=3 \] \[ 2x+1+x-4=3 \] \[ 3x-3=3 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Válida porque \(2\in\left[-\frac{1}{2},4\right)\).
Terceiro intervalo: \(x\ge 4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ 2x+1-(x-4)=3 \] \[ x+5=3 \] \[ x=-2 \] Não pertence ao intervalo \(x\ge 4\), pelo que é descartada.
Verificamos as soluções por substituição: \[ x=-8: \quad |-15|-|-12|=15-12=3 \;\checkmark \] \[ x=2: \quad |5|-|-2|=5-2=3 \;\checkmark \]
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-8 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ |x-1|+|2x+4|=9 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 \]
Estudamos os intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primeiro intervalo: \(x<-2\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=-(2x+4) \] \[ -x+1-2x-4=9 \] \[ -3x-3=9 \] \[ -3x=12 \] \[ x=-4 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<1\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ -x+1+2x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Não pertence ao intervalo \(-2\le x<1\), pelo que é descartada.
Terceiro intervalo: \(x\ge 1\). \[ |x-1|=x-1, \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ x-1+2x+4=9 \] \[ 3x+3=9 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Válida porque \(x\ge 1\).
Então: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ |x+2|+|x-1|+|x-4|=9 \]
Resultado
\[ x=-2 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Resolução
Os pontos críticos são: \[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=4 \]
Estudamos os intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad 1\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primeiro intervalo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+1-x+4=9 \] \[ -3x+3=9 \] \[ -3x=6 \] \[ x=-2 \] Este valor não pertence ao intervalo \(x<-2\), mas será incluído no intervalo seguinte se for válido.
Segundo intervalo: \(-2\le x<1\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+1-x+4=9 \] \[ -x+7=9 \] \[ x=-2 \] Válida porque \(-2\in[-2,1)\).
Terceiro intervalo: \(1\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2+x-1-x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Este valor não pertence ao intervalo \(1\le x<4\), mas será incluído no intervalo seguinte se for válido.
Quarto intervalo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-1+x-4=9 \] \[ 3x-3=9 \] \[ 3x=12 \] \[ x=4 \] Válida porque \(x\ge 4\).
Por conseguinte: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{ou} \quad x=4} \]